11.1 幂的运算（第2课时）（题型专练）数学华师大版2024八年级上册

11.1 幂的运算（第二课时） 题型一：幂的乘方选填题中简单运算 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南临沧·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算： ． 7．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） ． 题型二：利用幂的乘方求代数式的值 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求 (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 题型三：已知代数式的值求解 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）若，则的值是 ． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）若，则 ． （2）若．则 ． （3）已知，则 ． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ； 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则 ． 6．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 题型四：用一个字母表示另一个字母 1．（2025·浙江温州·三模）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·三模）若m、n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京平谷·期末）若是正整数，且满足，则与关系正确的是（　　） A． B． C．2 D． 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）若正整数，，使等式成立，则，满足的等式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）若 是正整数，且满足则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·二模）已知，均为正整数，若，则用的代数式表示 ． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 题型五：幂的乘法计算题 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 计算: (1) (2) 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 6．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）计算：． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 9．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 10．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 11．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 题型六：幂的运算比较大小（选填题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若 ，则，x，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 7．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是 ． 题型七：幂的乘方综合应用 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期中）（1）若，，求的值. （2）若，求的值. 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 4．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 5．（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）已知，求的值． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求m的值． 10．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1），，求的值． （2）若，，求的值． 题型一：幂的乘方中定义新运算 1．（23-24六年级下·山东淄博·期末）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______； (2)若，，且，求的值； (3)①若，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）规定两正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：． 证明如下：设， 根据定义可得：， 因为， 所以，即， 所以． 根据前面的经验完成下面各题： (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 7．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 8．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，求的值． 9．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 题型二：幂的运算比较大小（解答题） 1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 3．（23-24八年级上·北京·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 3．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．6 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知，则的值为 ． 8．（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 12．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）五角星是我国国旗的重要组成元素，课堂上静静突发奇想，利用五角星编制了一个数学循环运算程序，如图，点为输入端，点的运算为加上原数的2倍，点的运算为乘，点的运算为乘，点的运算为乘100．运算规则为：．其中为一个运算周期． (1)若输入的数字为3，计算一个运算周期后的运算结果； (2)若输入的数字为，用科学记数法表示五个运算周期后的运算结果． 13．（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： (1)计算：______； (2)已知：，（m，n为正整数），则______； (3)已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 16．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如果，那么我们规定． 例如：因为，所以． （1）【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ； ②若，则 ；若，则 ； （2）【应用】 ①已知，，，若，求y的值； ②若，求t的值． （3）【拓展】若，，令． ①求的值；②求t的值． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 幂的运算（第二课时） 题型一：幂的乘方选填题中简单运算 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，涉及偶次方的符号、奇次方的符号、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，熟记幂的运算性质是解决问题的关键．由偶次方的符号、奇次方的符号、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，逐一分析各选项的运算过程是否正确即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质，需根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项及符号处理等知识逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A． ，但选项结果为，错误． B． ，但选项结果为，错误． C． ，与选项结果一致，正确． D． ，但选项结果为，错误． 综上，仅选项C正确． 故选：C 3．（24-25七年级下·广东清远·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘，根据幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的运算规则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 5．（24-25七年级上·云南临沧·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法及不同底数幂的乘积，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，结果正确； 选项B：，结果正确； 选项C：将变形为，原式化简为，结果正确； 选项D：不同底数的幂相乘时，不能直接合并指数，例如，当，时，左边为，右边为，显然不等，正确结果应为，无法简化为，故选项D错误； 故选：． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型二：利用幂的乘方求代数式的值 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，将已知等式中的转化为，再利用同底数幂相乘的法则，结合指数相等求解．解题的关键是掌握：同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，即， ∴， 即的值是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．逆用同底数幂除法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）若，均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ∴， ∴． 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了幂的乘方，逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：72． 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆用，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）逆用同底数幂乘法计算即可； （2）逆用幂的乘方计算即可； （3）逆用同底数幂乘法和幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 【答案】(1)96； (2)． 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的正用和逆用，掌握这两个运算公式或法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方代入计算即可； （2）利用同底数幂相乘及其逆运算证明即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型三：已知代数式的值求解 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，将转化为是解决本题的关键． 先使用同底数幂的乘法和幂的乘方将转化为，再使用题目已知条件将转化为代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 即的值是6． 故答案为：6 ． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）若，则 ． （2）若．则 ． （3）已知，则 ． 【答案】 8 8 8 【分析】本题考查同底数幂的运算法则，同底数幂的逆运算法则，幂的乘方逆运算法则；掌握相关法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方逆运算法则得到，再根据同底数幂的运算法则即可求解； （2）利用幂的乘方逆运算法则得到，再根据同底数幂的逆运算法则即可求解； （3）利用幂的乘方逆运算法则得到，即可求出，进而求出，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ； 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用． 将看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：25． 6．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四：用一个字母表示另一个字母 1．（2025·浙江温州·三模）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，通过合并同类项和幂的乘方，将等式两边转化为同底数的幂，进而比较指数得出关系式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 2．（2025·河南洛阳·三模）若m、n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法与乘方，同底数幂乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据左边个相加得，右边个相乘得，即可得解． 【详解】解：，， 由题意可知， 则， 即， 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京平谷·期末）若是正整数，且满足，则与关系正确的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算及幂的乘方．将左边的加法转化为乘法，右边的连乘转化为幂的乘方，再通过底数相同指数相等建立方程求解． 【详解】解：左边25个相加，即．右边25个相乘，即． 将左边化简为， 因此等式变为：， 由于底数相同，指数相等， 故， 故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）若正整数，，使等式成立，则，满足的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方．将等式两边化简为同底数幂的形式，比较指数即可得出关系式． 【详解】解：左边：四个相加，即． 右边：四个相乘，即． 因等式两边底数相同， 故指数相等，即． 故选D． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）若 是正整数，且满足则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂相乘和幂的乘方，将题目中的加法与乘法表达式转化为指数形式后，通过底数相同指数相等的性质建立方程求解． 【详解】解：左边为个相加，即，右边为个相乘，即， 将左边变形：， 右边变形为：， ∴方程可化简为：， 由于底数相同，指数相等，得：， 故选：D． 6．（2025·河北邯郸·二模）已知，均为正整数，若，则用的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据相应的运算法则进行运算即可． 【详解】，， ， ， ． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 题型五：幂的乘法计算题 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （2）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （3）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （4）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可，同底数幂乘法解答即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 计算: (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，同底数乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是正确应用整式的相关法则． （1）先算同底数幂的乘法，幂的乘方，最后合并同类项； （2）先算积的乘方，同底数幂相乘，最后合并同类项． 【详解】（1）解：， ， ； （2） ， 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项． （1）（2）根据幂的乘方法则计算即可； （3）（4）先根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． （1）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （2）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （3）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （4）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （5）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （6）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案 【详解】（1）解：= （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 6．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，合并同类项，先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算和合并同类项，先计算同底数幂乘法和幂的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 题型六：幂的运算比较大小（选填题） 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若 ，则，x，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数的大小比较．熟练掌握正分数和它的倒数，它的平方数的大小关系，是解题的关键． 当 时，得且，即． 【详解】由于， 当分数自乘时结果更小，故 ． 如，则． ∵，， ∴ ， ∴ ． 如，则 ． 综上，． 应选项C． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂比较大小，根据底数相同，指数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴ ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解题关键是能熟练运用幂的乘方的逆用求解． 先将a、b、c、d都化为次方，再比较底数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ， ∴． 故选： B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，有理数比较大小，根据积的乘方将、、化为，，，再进行比较大小即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 故选：B． 5．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 7．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，将，，全部化成以为底数的指数幂，再比较即可得出答案，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：； ； ； ， ； 即． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，再由得到，则，据此可得答案． 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：幂的乘方综合应用 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期中）（1）若，，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）72；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算； （2）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：（1）因为，， 所以，， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：∵ ， ∵ ∴， 解得：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)73 (2)576 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 5．（2025·湖南岳阳·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）已知，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，即可得解； （2）将式子变形为，结合同底数幂相乘的法则可得，推出，解方程即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等． （1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案； （2）将变形为，继而得到，后移项计算即可； （3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴，即：； （2）解：变形为：，即：， ∴，即：，，解得：； （3）解：∵，即：， ∵，即：， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，掌握同底数幂的乘法逆用和幂的乘方是解题的关键． （1）根据幂的乘方法则得到，结合即可求解； （2）根据同底数幂的乘法逆用得到，结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：， 的值为． （2）解：，， ， ， ， 解得：， 的值为2． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，求m的值． 【答案】（1）；（2）16；（3）4 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，然后将代入求值即可； （2）将原式整理为，然后将代入求值即可； （3）根据幂的乘方的逆用以及同底数幂的乘法运算法则，可得，进而可得，求解即可获得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴原式； （2）∵， ∴原式； （3）∵， ∴，解得． 10．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1），，求的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的性质； （1）根据幂的乘方和同底数幂乘法的性质，计算得、，通过列二元一次方程组并求解即可； （2）根据同底数幂乘法的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，， ∴． 题型一：幂的乘方中定义新运算 1．（23-24六年级下·山东淄博·期末）在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)2． 【分析】根据题意再利用幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则进行计算即可，本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是掌握对相应的运算法则． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 故，的值为3； （2）因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 故，的值为1； （3）因为，，， 所以， ， ， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以，， 所以，解得， 故，的值为2． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______； (2)若，，且，求的值； (3)①若，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____． 【答案】(1) (2)125 (3)①见解析；②2 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，，的定义可得，，根据再进行计算即可； （3）①根据进行计算即可；②由，，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ，， ， ； （3）①，，， ，，， ， ， ， ； ②，， ， ，， ， 设， 则， 故， 故答案为： 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）规定两正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：． 证明如下：设， 根据定义可得：， 因为， 所以，即， 所以． 根据前面的经验完成下面各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了新定义下实数的运算． （1）利用规定的运算法则即可求解． （2）利用规定的运算法则，逐步运算，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：3； （2）解： ． 故答案为：6． 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 【答案】(1)3 (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查了新运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，理解新运算是解题的关键． （1）根据规定的运算计算即可； （2）根据规定的运算得，，则，由即可求解； （3）①由规定的运算得，，，再根据，即，即可证明结论成立； ②由材料中结论得；设，，则，再由规定的运算即可求得c的值，从而求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ； 设，，则， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 【答案】（1），，；（2）[运用]：；[探究]：见解析；[综合应用]：①；② 【分析】本题考查了新定义，幂的乘方、同底数幂相乘，理解新定义，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算的定义计算即可得解； （2）[运用]：根据例题，将各数写成幂的形式并计算即可得解； [探究]：根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解； [综合应用]：①根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）[运用]： ； [探究]：∵令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； [综合应用]：①∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)________； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方，熟练掌握运算法则，理解题意是解此题的关键． （1）根据结合题意即可得解； （2）由题意可得，，，由结合同底数幂相乘的运算法则得出，即可得解； （3）由题意可得，，由同底数幂的乘法法则结合题意得出，再由幂的乘方法则结合题意得出，即可得出，从而得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 题型二：幂的运算比较大小（解答题） 1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方把各个底数都换成，再进行计算即可； （2）把a、b、c换算成同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·北京·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)72 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （3）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：， ， 原式； （3）解： ． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方运算、根式的性质及合并同类项．根据幂的乘方运算法则、根式的性质及合并同类项法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、为幂的乘方，根据法则，应得，但选项结果为，错误； B、中，先计算被开方数，三次根号下的结果为，故等式成立，正确； C、中，被开方数为，故，但右侧在实数范围内无意义，等式不成立，错误； D、为合并同类项，系数相加得，但选项结果为，错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】C 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，，确定，，再结合题意求解即可． 【详解】解：根据题意得： ，， ∴，， ∴， ∴微生物的数量是初始数量的45倍， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 4．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知， 是解题的关键；先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方运算，先将原式化简为，再将代入，即可求解． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·二模）若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【答案】12或21或9 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用．根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即． 此时． ∵， ∴． ∵，是正整数，． ∴，或，或，或，， ∴或或或， 故答案为：12或21或9． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．由题意知，，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：∵ ， ∵ ∴， 解得：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则． （1）利用逆用幂的乘方法则计算； （2）逆用同底数幂的乘法计算； （3）逆用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 12．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）五角星是我国国旗的重要组成元素，课堂上静静突发奇想，利用五角星编制了一个数学循环运算程序，如图，点为输入端，点的运算为加上原数的2倍，点的运算为乘，点的运算为乘，点的运算为乘100．运算规则为：．其中为一个运算周期． (1)若输入的数字为3，计算一个运算周期后的运算结果； (2)若输入的数字为，用科学记数法表示五个运算周期后的运算结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，合并同类项，幂的乘方运算； （1）根据循环运算程序的含义列式，再计算即可； （2）根据循环运算程序的含义列式，再计算，发现规律：一个周期的运算是原数的倍，再结合幂的乘方与科学记数法可得答案； 【详解】（1）解：若输入的数字为3 一个运算周期后的运算结果为： （2）解：设输入的数字为，一个运算周期后的运算结果为 ， 一个周期的运算是原数的倍， 若输入的数字为， 一个运算周期后的运算结果为：， 五个运算周期后的运算结果：． 13．（24-25八年级上·广东珠海·期中）幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如，则（m，n为正整数）.请运用所学知识解答下列问题： (1)计算：______； (2)已知：，（m，n为正整数），则______； (3)已知m个相乘的结果为，n个相乘的结果为，若个相乘的结果为64，求的值． 【答案】(1)3； (2)20； (3)4． 【分析】本题考查同底次幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将变形为即可求解； （2）将变形为即可求解； （3）将通过变形以及整体代入可化简为，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3． （2）解：， 故答案为：20． （3）解：由已知可知，， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【答案】(1)4；64 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （3）根据新定义得到，再由幂的乘方计算法则求出，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解 (2)64 (3)16 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】（1）解：不是“共生有理数对”， 理由：，， 不是“共生有理数对”； （2）是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； （3）解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 16．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如果，那么我们规定． 例如：因为，所以． （1）【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ； ②若，则 ；若，则 ； （2）【应用】 ①已知，，，若，求y的值； ②若，求t的值． （3）【拓展】若，，令． ①求的值；②求t的值． 【答案】（1）①；；；②5；；（2）①；②；（3）①；②1 【分析】本题主要考查了新定义：积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用 （1）根据新定义求解即可； （2）①由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；②设，则，，，根据题意得到，则，进而得到，据此可得答案 （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】解：（1）①∵ ∴；；， 故答案为：；；； ②∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5；； （2）①∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$