11.2 整式的乘法（第3课时）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

11.2 整式的乘法（第三课时） 题型一：多项式×多项式选填简单计算 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 题型二：利用多项式×多项式求参数的值 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 2．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）若，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若，则的值为（   ） A．1 B． C．2026 D．-2025 4．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 6．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知，则的值为 ． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）若 ，则 ． 题型三：多项式×多项式计算题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）计算：． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 3．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)． (2)． 4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 7．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算 （2）计算 8．（24-25八年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2)． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 题型四：已知多项式乘法中不含某项求字母的值 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）要使展开式中不含项，则的值等于 ． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）要使关于多项式化简后不含的二次项，则m的值为 ． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 5．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为10，则a的值为 ． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知的结果不含有和的项，求，． 8．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 9．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 题型五：多项式×多项式化简求值 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）化简求值：，其中． 5．（24-25七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 6．（24-25六年级下·上海青浦·期末）化简并求值：，其中． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值，其中． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 题型六：多项式×多项式图形面积问题 1．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； (2)若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 2．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）在乌海市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． (1)用含，的代数式表示该广场的面积； (2)若，满足，求出该广场的面积． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大； 二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示（单位：米）． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某公司门前一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，空白A，B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖，两正方形区域的边长均为米． (1)求铺设地砖的面积是多少平方米． (2)当，时，需要铺地砖的面积是多少？ (3)在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为0.2米的正方形，每块2.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？ 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 8．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 题型七：多项式乘法中某一个项覆盖问题 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型一：多项式乘法中卡片个数问题 1．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，有卡片类，类，类各30张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个长为，宽为的大长方形，则所准备的类卡片的张数（   ） A．够用，余3张 B．够用，余1张 C．不够用，缺3张 D．不够用，缺1张 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，用类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材的面积为，板材的面积为，请比较，的大小 ． 题型二：多项式乘法中图形面积问题 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）【问题情境】学校要在长60米，宽35米的一片空地上修建四块篮球场，空地中间欲铺设纵、横两条道路（图中空白地方），如图所示，设横向道路的宽为米． 【方案设计】 方案一：如图所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍． 方案二：如图所示，横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍． 【方案实施】 （1）方案一中，纵向道路的宽是_____米；方案二中，纵向道路的宽是_____米（用含的代数式表示）； （2）求方案一和方案二中篮球场的面积和分别是多少？（用含的代数式表示） （3）若米，方案一和方案二哪个篮球场面积和最大? 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）某学校举行社团展示活动，计划在室内体育馆和操场两个场地布置展区．已知体育类社团需要有2个边长为的正方形展区，艺术类社团需要8个长为、宽为的长方形展区，科学类社团需要6个边长为的正方形展区．室内体育馆可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图1所示；操场可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图2所示．学校要求在规定的场地内布置展区． (1)通过计算说明，室内体育馆可以安排体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (2)通过计算说明，操场可以安排的体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (3)请在图1、图2中画出展示场地划分方案，并在相应场地上标注社团名称． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个盒子底部的长和宽（用含、的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的面积（用含、的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用（用含、的代数式表示，要求化简）． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动． 任务1：平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格： 长（分米） 36 18 12 9 6 宽（分米） 1 2 3 4 5 周长（分米） 74 40 30 26 24 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小． 为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程． 任务2：立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米） 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为______．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型 （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 题型三：多项式乘法中找规律题型 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 3．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 6．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）计算观察、归纳结论、解决问题． （1）计算下各式： ； ； ； …… 归纳结论：． 利用这个结论，我们可以解决一些复杂的问题． 例计算：． （2）利用（1）中的结论，计算：； （3）利用（1）中的结论，求的个位数字． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 8．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 5．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）当时，代数式的值为 ． 8．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【组合图形求面积】如图是边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为 ． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 13．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)若，求的值． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）（1）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值？ （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 16．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题： (1)图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________； (2)若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值． 17．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 整式的乘法（第三课时） 题型一：多项式×多项式选填简单计算 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘法法则展开并合并同类项，解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算、平方差公式，根据多项式乘多项式的运算法则及平方差公式逐项展开计算即可得出结论． 【详解】A、，与题目结果一致，正确； B、利用平方差公式展开得，，与题目结果一致，正确； C、，题目结果为，系数错误，实际应为，故选项C错误； D、，与题目结果一致，正确． 故选：C． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·青海海北·期末）下列各式中，两式相乘得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的乘法，根据多项式乘以多项式运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则逐项计算即可得． 【详解】解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 7．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 【答案】8 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ．     故答案为：8 题型二：利用多项式×多项式求参数的值 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 2．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）若，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，建立方程组求解和，再计算的值即可． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若，则的值为（   ） A．1 B． C．2026 D．-2025 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 将左边两个多项式相乘，合并同类项后与右边对比，确定一次项系数即可得到的值． 【详解】∵ ∴， 对比一次项系数可得． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 将左边多项式展开，与右边对应项系数比较即可确定和的值． 【详解】解：等式左边， 等式右边， 比较系数可得一次项系数：；常数项：， ，． 故选：． 5．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 6．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘多项式的计算，先将原式化简，对应题中给出的化简结果即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则展开后得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ， 则， 解得：，， 故答案为： 题型三：多项式×多项式计算题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式，再进行合并即可， 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数的乘法，幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，多项式乘多项式，先运算多项式乘多项式，多项式乘单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算单项式乘单项式，积的乘方，再合并即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，再合并即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， ， ， 7．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算 （2）计算 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用多项式乘多项式的法则求解即可； （2）先利用积的乘方、整式的乘法计算，再合并同类项求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 8．（24-25八年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方及整式的乘法混合运算． （1）先计算积的乘方，单项式乘单项式，再合并即可得解； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式的乘以多项式、整式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可； （2）利用多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型四：已知多项式乘法中不含某项求字母的值 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）要使展开式中不含项，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中特定项系数的计算，解题的关键是明确项的产生来源，准确计算其系数并令系数为0求解参数． 确定展开式中项的所有生成方式；分别计算各生成方式对应的系数并求和；令项的系数为0，解方程得a的值． 【详解】解：多项式展开式中，项由以下三类乘积组成： ：系数为； ：系数为； ：系数为． ∵多项式展开式中不含项， ∴，解得． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算，直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）要使关于多项式化简后不含的二次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 根据题意，得，结合展开式中不含，得，解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为10，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多项式乘法以及根据多项式系数的条件求解参数，解二元一次方程组；熟练掌握多项式乘法法则（用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ），并能根据展开式中项的系数特征列方程是解题的关键．先将两个多项式相乘展开，然后根据展开式中不含的二次项且一次项系数为这两个条件，列出关于、的方程，进而求解的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的二次项，且一次项系数为， ∴， 由得，代入， ∴， ， ； 把代入， 得 ． 故答案为：6． 6．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知的结果不含有和的项，求，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后根据题意可得，，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵的结果不含有和的项， ∴，， ∴，． 8．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 9．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 题型五：多项式×多项式化简求值 1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先把原式去括号合并同类项，得到最简结果，然后再把和的值，代入计算即可求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式求值等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）化简求值：，其中． 【答案】；4 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键，先根据整式的乘法法则和合并同类项化简，再利用整体代入的思想即可求值． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式． 5．（24-25七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先化简原式，求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵ ∴ ∴原式 6．（24-25六年级下·上海青浦·期末）化简并求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减、多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的加减、多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 本题可先根据多项式乘法法则将式子展开，然后合并同类项进行化简，最后将和的值值代入化简后的式子求值． 【详解】解： 把，代入可得： ． 题型六：多项式×多项式图形面积问题 1．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； (2)若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 【答案】(1)平方米 (2)156平方米 【分析】此题考查了列代数式和求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、计算． （1）先分别表示出音乐喷泉池的长和宽，再运用长方形的面积公式和多项式乘多项式知识进行求解； （2）先运用非负数知识求得a，b的值，再代入计算． 【详解】（1）解：由题意得，该音乐喷泉池的长为：，宽为 ， 该音乐喷泉池的面积为：， 该音乐喷泉池的占地面积是 平方米； （2）解：由题意得， 且 ， 解得 ，， 该广场音乐喷泉的面积为：， 即该广场音乐喷泉的面积 是156平方米． 2．（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）在乌海市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． (1)用含，的代数式表示该广场的面积； (2)若，满足，求出该广场的面积． 【答案】(1) (2)140 【分析】（1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． 解：（1）． （2）， ，， ，， ， 该广场的面积是140． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大； 二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示（单位：米）． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 【答案】(1)回字形福建土楼的占地面积为平方米，山西大院的占地面积为平方米 (2)山西大院的占地面积更大，见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算，根据字母的值求代数式的值，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图形特点，利用多项式乘以多项式运算法则求解； （2）根据，分别求两个代数式的值，比较值的大小，判断哪个建筑物的占地面积更大即可． 【详解】（1）解：根据题意得：回字形福建土楼面积为： ； 山西大院的占地面积为： ． （2）解：时， 回字形福建土楼的占地面积； 山西大院的占地面积， 而， 故山西大院的占地面积更大． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某公司门前一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，空白A，B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖，两正方形区域的边长均为米． (1)求铺设地砖的面积是多少平方米． (2)当，时，需要铺地砖的面积是多少？ (3)在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是边长为0.2米的正方形，每块2.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要多少钱？ 【答案】(1)铺设地砖的面积是平方米 (2)平方米 (3)需要元 【分析】本题考查多项式乘以多项式， （1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把，代入计算即可； （3）计算出需要的地砖的块数，再求出总金额． 【详解】（1）解： 平方米， 答：铺设地砖的面积是平方米． （2）解：当，时，原式平方米； （3）解：元， 答：要购买此种地砖，需要元． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【分析】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【详解】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】(1)平方米 (2)平方米，平方米 【分析】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是根据题意列式求解． （1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积，利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【详解】（1）解： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米． （2）解： 平方米， 当，时，原式平方米， 答：厨房的用地面积为平方米． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 【答案】(1)平方米 (2)72平方米 【分析】本题考查了整式运算的应用； （1）阴影部分面积正方形的面积矩形的面积，即可求解； （2）将，代入面积，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （平方米）； （2）解：当，时， （平方米）． 8．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【详解】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 题型七：多项式乘法中某一个项覆盖问题 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【详解】解：， 则被污染的部分为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 题型一：多项式乘法中卡片个数问题 1．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，有卡片类，类，类各30张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个长为，宽为的大长方形，则所准备的类卡片的张数（   ） A．够用，余3张 B．够用，余1张 C．不够用，缺3张 D．不够用，缺1张 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解：大长方形的面积为：， ∵C类卡片的面积为, ∴需要33张， ∵C类30张 ∴不够，还缺3张， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，用类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据题意列式为，将其计算后求得的系数即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， 则的系数为， 即需要类卡片的张数为， 故选：． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与面积．利用多项式乘以多项式计算即可求解． 【详解】解：， ∴需C类卡片张数为4张． 故选：B 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 【答案】19 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于19张． 故答案为：19． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材的面积为，板材的面积为，请比较，的大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，准确识图，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分别求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴， 即， 故答案为：． 题型二：多项式乘法中图形面积问题 1．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）【问题情境】学校要在长60米，宽35米的一片空地上修建四块篮球场，空地中间欲铺设纵、横两条道路（图中空白地方），如图所示，设横向道路的宽为米． 【方案设计】 方案一：如图所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍． 方案二：如图所示，横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍． 【方案实施】 （1）方案一中，纵向道路的宽是_____米；方案二中，纵向道路的宽是_____米（用含的代数式表示）； （2）求方案一和方案二中篮球场的面积和分别是多少？（用含的代数式表示） （3）若米，方案一和方案二哪个篮球场面积和最大? 【答案】（1），；（2）方案一中篮球场面积和为平方米；方案二中篮球场面积和为平方米．（3）方案二中篮球场面积和最大． 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘多项式，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据两个方案中长与宽的关系求出纵向道路宽即可； （2）用大长方形的面积减去2条道路的面积，即可求出结果； （3）将分别代入求出方案一和方案二中的面积和，进行比较即可． 【详解】解：（1）∵方案一中，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽为米， ∴纵向道路的宽是米， ∵方案二中，横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设横向道路的宽为米． ∴纵向道路的宽是米， 故答案为：，． （2）解：方案一中篮球场的面积和为： 平方米． 方案二中篮球场的面积和为： 平方米． （3）解：当米时， 方案一中篮球场的面积和为：平方米； 方案二中篮球场的面积和为：平方米； ∵， ∴方案二中篮球场面积和最大． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）某学校举行社团展示活动，计划在室内体育馆和操场两个场地布置展区．已知体育类社团需要有2个边长为的正方形展区，艺术类社团需要8个长为、宽为的长方形展区，科学类社团需要6个边长为的正方形展区．室内体育馆可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图1所示；操场可以提供一块长为、宽为的长方形展示场地，如图2所示．学校要求在规定的场地内布置展区． (1)通过计算说明，室内体育馆可以安排体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (2)通过计算说明，操场可以安排的体育类、艺术类、科学类社团展区的个数分别是多少？ (3)请在图1、图2中画出展示场地划分方案，并在相应场地上标注社团名称． 【答案】(1)室内体育馆展区可安排1个体育类、3个艺术类、2个科学类社团 (2)安排1个体育类、5个艺术类、4个科学类社团 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，解题时要熟练掌握运算技巧并能灵活运用是关键． （1）依据题意，室内体育馆展示场地，进而可以判断得解； （2）依据题意，室外操场展示场地，进而可以判断得解； （3）依据（1）（2），进而可以画图得解． 【详解】（1）解：∵， ∴室内体育馆展区可安排1个体育类、3个艺术类、2个科学类社团； （2）解：∵， ∴操场部分展区，可安排1个体育类、5个艺术类、4个科学类社团； （3）解：如图所示． ． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个盒子底部的长和宽（用含、的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的面积（用含、的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用（用含、的代数式表示，要求化简）． 【答案】(1)这个盒子底部的长为米，宽为米 (2)这个盒子底部的面积为平方米 (3)喷漆共需要的费用为元 【分析】本题考查了整式加减的应用，整式乘法的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：这个盒子底部的长为． 这个盒子底部的宽为． 答：这个盒子底部的长为米，宽为米． （2）解：． 答：这个盒子底部的面积为平方米． （3）解： ； ． 答：喷漆共需要的费用为元． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动． 任务1：平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格： 长（分米） 36 18 12 9 6 宽（分米） 1 2 3 4 5 周长（分米） 74 40 30 26 24 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小． 为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程． 任务2：立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米） 【答案】任务1：长和宽相等；，证明见解析；任务2：这样的改进合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，圆柱和长方体的表面积计算，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为，则当时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小； 任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论． 【详解】解：任务1：∵矩形两邻边长分别为和， ∴矩形的周长为， ∵， ∴矩形的周长为， ∵n为定值， ∴当有最小值时，矩形的周长有最小值， ∴当时，矩形的周长有最小值， ∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小； （2）合理，理由如下： 长方体的表面积为平方厘米， 圆柱的表面积为平方厘米， ∵， ∴这样的改进合理． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为______．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型 （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 【答案】（1） ；（2）需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）先求出长方形的面积为，然后得出答案即可； （3）根据得出用3张A型卡片，2张B型卡片，7张C型卡片，组成一个长为，宽为的长方形，然后画出图形即可； （4）根据长方形的面积为63，，得出可以拼一个长为，宽为的长方形，从而列出方程组或，解方程组，取正整数解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴； （2）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：， ∴需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张； （3）解：∵， ∴可以用3张A型卡片，2张B型卡片，7张C型卡片，组成一个长为，宽为的长方形，如图所示： （4）解：能；理由如下： ∵长方形的面积为63， 又∵， ∴可以拼一个长为，宽为的长方形， ∴或 解得：（不符合题意舍去）或， ∴a，b皆为正整数，能使得（3）中拼出的长方形的面积为63，此时． 题型三：多项式乘法中找规律题型 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 【答案】(1) ， (2)； (3) 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律探索，乘方，理解材料的计算方法是关键． （1）根据材料的计算方法，找出规律即可求解； （2）根据题意，将原式变形得，运用材料提示方法计算即可； （3）根据材料提示方法得到，则或，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ， ∴； （2）解： ； （3）解：， ∴， 解得，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 3．（24-25七年级下·江西吉安·期末）已知： _____ _____ …… （1）当时，_____． （2）试求：的值． （3）判断的值的个位数是_____． 【答案】，；（1）；（2）；（3）7 【分析】本题考查整式乘法的规律性问题、数字类的规律探究，根据已知等式，正确归纳出一般变化规律是解答的关键． 根据所给前两个算式发现规律解答即可； （1）根据规律计算即可； （2）根据前几个变化规律，将时的等式恒等变形即可得出答案； （3）找到变化规律，再恒等变形，依次分析2的n次方的个位数字变化规律即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：，； （1）， 故答案为：80； （2）归纳类推得：，其中，且为整数， 则， ， ； （3）， ， ，且， 的个位数与的个位数相同，即为8， 的个位数为7， 即的值的个位数为7， 故答案为：7． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式乘法相关的数学规律，理解题意是解题的关键． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）观察规律求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意有：； 故答案为：，，； （2）解：设这个数的十位数字为，个位数字为，这个两位数可表示为， ； （3）解：由题意，两个因数分别表示为：，， 则 ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①1，6；② 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，得到前几个式子的各项系数的规律是解题的关键． （1）由可求展开式，由杨辉三角可得展开式中系数为，即可求解展开式； （2）①由系数为，即可求解中的系数； ②把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴， 故答案为：，； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数， 故答案为：1，6； ②当时，， 即． 6．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）计算观察、归纳结论、解决问题． （1）计算下各式： ； ； ； …… 归纳结论：． 利用这个结论，我们可以解决一些复杂的问题． 例计算：． （2）利用（1）中的结论，计算：； （3）利用（1）中的结论，求的个位数字． 【答案】（1）；；；；（2）3280；（3）3 【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题. （1）先计算出各式，进而找出规律即可； （2）利用（1）中的规律计算即可； （3）利用（1）中的规律求出，再根据的个位数字规律计算即可. 【详解】（1）解： …… 可知 故答案为：；；；； （2）解： （3）解： ∵，，，，，， ∴（为正整数）的个位数字，按照2→4→8→6→2循环． ∵． ∴的个位数字为4． ∴的个位数字为3． ∴的个位数字为3． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 8．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)5621，7224； (2)； (3)见解析． 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）找出规律即可； （3）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）解：， 故答案为：； （3）证明：∵， ． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意列式为，计算后根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ， 项的系数是6， ， 解得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是根据题意求出大正方形的面积．先根据长方形的面积公式求出大长方形的面积，然后根据整式乘法法则计算结果进行判断即可． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1张A型卡片的面积是，1张B型卡片的面积是，1张C型卡片的面积是，所以要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张． 故选：D． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根． 【详解】解：， 又， ，， ， ． 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 5．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，用多项式乘以多项式的法则求出两个长方形的面积，相减即可． 【详解】解： ； 故选A． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据乘法公式计算乘法，再合并同类项，即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【组合图形求面积】如图是边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式，由解析图中所示，设出对应线段的长度，根据三角形面积计算公式可求出空白部分的面积，再根据阴影部分面积等于正方形面积减去空白部分面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，列出关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，先设正方形的边长为，再表示正方形的边长为，，根据面积关系列式得，代入代数式，进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为， ∵这两个正方形的边长之差为， ∴正方形的边长为， 依题意， ∵四边形、是正方形 ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵阴影部分的面积是9， 即 ∴ 得 解得 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 13．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算以及整体代入思想等知识内容，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据新定义代入计算求解即可； （2）根据新定义代入化简，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解： 当时，原式 14．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）（1）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值？ （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）；（2） ；20 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及加减法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，再根据已知条件列出关于，的方程组，解方程组求出，，再代入进行计算即可； 设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，列出关于和的方程，解方程求出，，从而求出另一个因式即可． 【详解】解： ， 关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， ， 得：， 得：， 把代入得：， ； 设另一个因式为， ， ， ， ，， 解得，， 另一个因式为，． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，多项式乘法，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）分别计算各年级人数，相加即可； （2）将，代入（1）所得代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，该校学生总人数为： 答：该校学生总人数用含、的代数式表示为人． （2）解：当，时， 答：当，时，该校学生总人数为人． 16．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题： (1)图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________； (2)若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出代数式和关于y的方程成为解题的关键． （1）根据图1、图2分别表示出中间画面的面积的面积即可； （2）先根据图1、图2分别两幅画空白区域面积并求值，然后根据两幅画空白区域面积相等得到关于y的方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中间画面的面积为； 图1中间画面的面积为． 故答案为：，． （2）解：图1中空白区域的面积为：； 图2中空白区域的面积为： 由题意得，，解得：． 17．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】(1)成立，过程见解析； (2)①0；②； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【详解】（1）展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． （3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $$