精品解析：广东省云浮市新兴县2024—2025学年下学期期末质量监测八年级数学试卷

2024—2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，为的三条边长，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 已知一组数据13，22，22，2●，31，62，其中第四个两位数的个位数字被墨水污染了．关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 关于函数，下列结论不正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为（ ） A 10 B. 11 C. 12 D. 17 8. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点B的坐标为，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 12. 甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，方差如下：，．甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩更稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 13. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是_____． 14. 如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为_____． 15. 如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则_________ ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）计算：． （2）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，．求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 18. 小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为________． 20. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 118 （1）求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． （2）当碗数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 21. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级中各抽取25名学生的竞赛成绩并整理绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出：_______，______．把七年级竞赛成绩统计图补充完整． （2）依据表格中数据，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好？请说明理由． （3）若该校七、八年级各有600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午8：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午9：00，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图2所示． （1）军车的速度为______，图2中的值为______． （2）求大巴车离营地的路程s与所用时间t之间的函数解析式．（并写出t的取值范围） （3）部队官兵在仓库领取研学物资期间，求大巴车离仓库的路程（单位：）的取值范围． 23. 如图1，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E，F在上，平分，平分，点G在上，且，连接，． （1）求的度数． （2）如图2，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形菱形． ②若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，判定最简二次根式等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的形式． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数为，即，分母含非整数，可化为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项B：，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简条件，故符合题意； 选项C：，被开方数是完全平方数（），可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项D：，被开方数，其中是平方数，可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知，，为的三条边长，满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，，， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不能构成直角三角形， 故C符合题意； 故选：C． 3. 已知一组数据13，22，22，2●，31，62，其中第四个两位数的个位数字被墨水污染了．关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是22，据此解答即可． 【详解】A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； B、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； C、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，若被涂污数小于22，则中位数与它无关，若大于22，则有关，故本选项不符合题意； D、已知数据中出现次数最多的数是22，无论被污染的数是不是22，众数都是22，与被涂污数字无关；故本选项符合题意； 故选：D． 4. 关于函数，下列结论不正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象经过第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x为何值，总有 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】A、当时，， ∴函数图象过点，正确，不符合题意； B、， 函数图象经过第一、三象限，正确，不符合题意； C、， 随x的增大而增大；正确，不符合题意； D、∵当时，，例如当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 6. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 7. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为（ ） A 10 B. 11 C. 12 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．根据平行四边形的性质可得出，，，根据已知条件可得出，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 8. 如图，O是坐标原点，菱形的顶点B的坐标为，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 利用菱形性质确定边长，过作轴，则，根据勾股定理算出，进而得，结合位置求出，即 ．依据菱形且，点向右平移个单位得到，横坐标为，纵坐标不变为，即 ． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点A作轴于点D， ∵， ∴ ∴． ∴ ∴在轴负半轴， ∴，即 ． ∵四边形是菱形，且，，在轴上， ∴点坐标点向右平移个单位 ∴的横坐标为，纵坐标不变为， ∴． 故选：D． 9. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，根据二次根式、分式有意义的条件列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩平均分相同，方差如下：，．甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩更稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可 【详解】解∶ ∵甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，，，， ∴， ∴甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩更稳定的是甲， 故答案为∶甲． 13. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，． 故答案为： ． 14. 如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 由四边形是矩形，得，，，结合平分，得出，则，证明，得出，则，再求得，利用，，列式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）计算：． （2）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握运算法则及平行四边形的判定定理确保正确无误 （1）根据二次根式的性质和二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证确保正确无误 【详解】（1）原式 ； （2）证明：∵是的中线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 17. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，，， ； 【小问2详解】 解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 18. 小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为________． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 20. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 11.8 （1）求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． （2）当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用； （1）由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间满足一次函数关系，设与的函数关系为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个之间满足一次函数关系， 设与的函数关系为， 将点和代入，得：， 解得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； 【小问2详解】 解：当时，， 当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是． 21. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级中各抽取25名学生的竞赛成绩并整理绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出：_______，______．把七年级竞赛成绩统计图补充完整． （2）依据表格中的数据，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好？请说明理由． （3）若该校七、八年级各有600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）9，10；补全统计图见解析 （2）七年级更好，理由见解析 （3）720人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以600即可作出估计． 【小问1详解】 解：七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分， ， 八年级等级人数最多， ， 故答案为：9，10； 七年级成绩等级人数为：（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： ； 【小问2详解】 解：七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午8：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午9：00，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图2所示． （1）军车的速度为______，图2中的值为______． （2）求大巴车离营地的路程s与所用时间t之间的函数解析式．（并写出t的取值范围） （3）部队官兵在仓库领取研学物资期间，求大巴车离仓库的路程（单位：）的取值范围． 【答案】（1）80，1.25 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）结合函数图象可求出军车和大巴车的速度，再根据时间路程速度可求的值； （2）根据大巴车的速度为，结合函数图象可得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）分别求出部队官兵在仓库领取物资的开始时间和结束时间，进而得对应的的取值，再结合函数图象可得路程的取值范围． 小问1详解】 解：军车的速度为， 大巴车的速度为， ∴， 故答案为：80，1.25； 【小问2详解】 解：由（1）知大巴车的速度为， ∴， 当时，解得， ∴大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：， 此时， ∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地， ∴， 解得， 即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为， 此时， 结合图象可知，． 23. 如图1，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E，F在上，平分，平分，点G在上，且，连接，． （1）求的度数． （2）如图2，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形． ②若，求m的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据角平分线的定义求出，，即可求解； （2）根据正方形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等可求出，，证明，得出，，进而求出，则可证，根据三角形的内角和定理求出，得出，根据等角对等边得出，则，然后根据菱形的判定即可得证； ②根据菱形的性质得出，，根据平行线的性质，正方形的性质得出， 则可判定是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵四边形是正方形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形； ②∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$