第二十三章 旋转（单元测试·基础卷）数学人教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十三章 旋转·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B A A C D A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．③⑤/⑤③ 12．M 13．9 14．1 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，；..............3分 （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：．..............6分 18． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ..............2分 （2）如图，即为所求； ..............4分 （3）由图可知：．..............6分 19． 【详解】（1）证明：由旋转性质得：，， 是等腰直角三角形， ，， 即， ， 即， 在和中， ， ， ．..............3分 （2）解：依题得：，， 中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 中，， ．..............6分 20． 【详解】（1）解：如图，连接，由题意得， 是等边三角形， ， 故点与点之间的距离为．..............3分 （2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点． 由题易得四边形为矩形， ， 由（1）可知，则 答：点到的距离为．..............6分 21． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ， ；..............4分 （2）解：如图所示，过点作于， ∵在正方形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴．..............8分 22． 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组得，， 解得，， ∴；..............2分 （2）解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∵平移后的直线与抛物线仅有1个公共点， ∴，整理得，， ∴， 解得，；..............5分 （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线于抛物线为方程得，， 解得，， ∴．..............8分 23． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在上，线段与的数量关系是相等，位置关系是垂直； 故答案为：相等；垂直..............2分 （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；..............5分 （3）解：如图，当射线在直线上方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当射线在直线的下方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长的长为17或31．..............8分 24． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，45；..............4分 （2）解：由（1）可知，， 设直线的表达式为， 把点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 设的函数表达式为， 过点G作轴于点A， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把点代入得，， 解得， ∴的函数解析式为；..............8分 （3）解：如图，过点M作于点N，连接、， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， ∵C、E、F三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为2；..............12分 25． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：；..............4分 （2）解：；理由如下： 连接，如图2： ∵为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴；..............8分 （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或．..............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十三章 旋转·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接应用即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为． 故选：C． 2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键． 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故选：B 5．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案． 【详解】解：绕点O旋转得到， A、与关于点O成中心对称，符合题意 B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意； C、∵绕点O旋转得到， ∴，， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； D、∵绕点O旋转得到， ∴， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； 故选A． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一个周期，由得到第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解即可．掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到， ∴每旋转4次一个周期 ∵ ∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等 ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 7．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 8．如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：令，则， ， 设点的坐标为，过点作于点， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 把代入得， 解得，舍去， 点的坐标为， 故选：D． 9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； ，,， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ，， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 10．如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质．核心素养表现为空间观念和推理能力． 根据正多边形的内角和定理得到，，如图，连接，过点作于点，由含角的直角三角形的性质，旋转的性质，数学结合分析即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即， ∵顶点对应的坐标分别为和， ∴正六边形的边长为2，即， 如图，连接，过点作于点，则， ，， ，，， 滚动一次后，点落在处， 点的坐标为，①正确； 点的坐标为，每滚动一次，落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2， 正六边形的顶点不可能和点重合，②正确； 由图可知，当正六边形滚动三次后，点的坐标为，③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：等边三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；一般的直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤ ． 12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 13．如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 15．如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ①如图1中， 当时， 在和中， ， ， ． ②如图2中，当时，同理可证， ， ． ③如图3中，当时，同理可证， ， 故答案为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【答案】(1)A， (2) 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； (2)作关于坐标原点成中心对称的； (3)的坐标_________，的坐标_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换，旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据图形直接写出两个点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：． 19．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由旋转性质得：，，结合等腰直角三角形性质可利用“边角边”证明，最后由全等三角形性质即可得证； （2）结合全等三角形性质、等腰直角三角形性质推得是直角三角形，由勾股定理求出、，则． 【详解】（1）证明：由旋转性质得：，， 是等腰直角三角形， ，， 即， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：依题得：，， 中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 中，， ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判定是等边三角形，解答即可； （2）过点作于点，垂足为点，且与交于点．利用等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，由题意得， 是等边三角形， ， 故点与点之间的距离为． （2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点． 由题易得四边形为矩形， ， 由（1）可知，则 答：点到的距离为． 21．如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接． (1)如图2，求证：； (2)如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）过点作于，根据正方形的性质与勾股定理得，从而求得，再在在中，由勾股定理，求得，即可由求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作于， ∵在正方形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值． (3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与二次函数交点的计算，一次函数图形平移的性质，二次函数与几何图形的综合运用是关键． （1）联立方程组求解即可； （2）根据函数的平移得到平移后的解析式为，根据只有一个交点得到关于的一元二次方程的判别式，由此即可求解； （3）根据题意，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则，可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，则，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组得，， 解得，， ∴； （2）解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∵平移后的直线与抛物线仅有1个公共点， ∴，整理得，， ∴， 解得，； （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线于抛物线为方程得，， 解得，， ∴． 23．如图，两个等腰直角和中，． (1)观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________． (2)探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由； (3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)相等，垂直 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3)的长的长为17或31 【分析】（1）延长交于，证明，得出，，再由三角形内角和定理求出，即可得解； （2）延长交于，证明，得出，，再由三角形内角和定理求出，即可得解； （3）分两种情况：当射线在直线上方时，作于；当射线在直线的下方时，作于，分别利用等腰三角形的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在上，线段与的数量关系是相等，位置关系是垂直； 故答案为：相等；垂直 （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当射线在直线上方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当射线在直线的下方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长的长为17或31． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G． (1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度． 【答案】(1)，45； (2)； (3)2 【分析】（1）由矩形的性质得，，，，根据勾股定理求得，进而可求出，进而可求出旋转角； （2）由（1）可得，求得直线的表达式为，过点G作轴于点A，利用勾股定理求得，设的函数表达式为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点M作于点N，连接、，旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，证明四边形是矩形，可得，可证，可得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，45； （2）解：由（1）可知，， 设直线的表达式为， 把点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 设的函数表达式为， 过点G作轴于点A， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把点代入得，， 解得， ∴的函数解析式为； （3）解：如图，过点M作于点N，连接、， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， ∵C、E、F三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为2； 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 25．【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据题型先证明，进而即可得出线段之间的数量关系； ②根据，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 连接，如图2： ∵为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十三章 旋转·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 10．如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 13．如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 15．如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 16．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； (2)作关于坐标原点成中心对称的； (3)的坐标_________，的坐标_________． 19．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 21．如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接． (1)如图2，求证：； (2)如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长； 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值． (3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标． 23．如图，两个等腰直角和中，． (1)观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________． (2)探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由； (3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G． (1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度． 25．【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十三章 旋转·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 10．如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 13．如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 15．如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 16．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； (2)作关于坐标原点成中心对称的； (3)的坐标_________，的坐标_________． 19．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长； 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 21．如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接． (1)如图2，求证：； (2)如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长； 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值． (3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标． 23．如图，两个等腰直角和中，． (1)观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________． (2)探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由； (3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G． (1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度． 25．【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$