专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 正负数的实际应用 题型七 有理数的混合运算的实际应用 题型八 有理数的新定义问题 题型九 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【答案】(1)26 (2)或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离． （1）最小的两位正整数为，得到，根据非负性，求出的值，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的两位正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、C两点间的距离为：； （2）∵，P、B两点间的距离是8，点P在数轴上， ①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，； ∴或． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 3．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm） (1)若，则______，并求的和； (2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式． 【答案】(1)1， (2)，点D的移动方式为向左移动 【分析】（1）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后问题可求解； （2）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由可知数轴的原点在直尺的处，则有，， ∴； （2）解：由可知数轴的原点在直尺的处， ∴， ∵， ∴， ∴点D的移动方式为向左移动． 【点睛】本题主要考查数轴上的有理数的表示、有理数的运算及相反数，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【答案】(1)3 (2)， (3)或时，P、A之间距离为3个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧）， ∴点A到对称中心的距离为，且A点在的右边，点B到对称中心的距离为，且B点在的左边， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （3）解：∵动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P对应的数为， 当P、A之间距离为3个单位长度时， 或 ， 解得或， ∴或时，P、A之间距离为3个单位长度． 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知：数轴上点、对应的数分别为、，点对应的数为，是最小的正整数，，且， (1)求和的值； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为每秒3个单位长度；点的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间，两点相遇． (3)在（2）的条件下，另一点与点、同时出发，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t．当点运动到点立即停止运动，点仍以原速度、原方向继续运动，同时点速度变为每秒4个单位，运动方向不变，在整个运动过程中，当为何值时，点，之间的距离等于点、之间距离．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)经过，两点相遇； (3)当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，正确的建立方程求解是关键． （1）先求解，再利用，且，得到； （2）先表示：，对应的数分别为，，，再利用相遇建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，对应的数为，，对应的数分别为，，当时，为，，对应的数分别为，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点对应的数分别为，是最小的正整数，，且， ∴，， ∴； （2）由题意可得：，对应的数分别为，， 当两点相遇时，， 解得：； 即经过，两点相遇． （3）当时，由题意可得：，对应的数分别为，， 对应的数为， ∵点之间的距离等于点之间的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或； 当时，为，，对应的数分别为，， ∴， 解得：； 综上：当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 6．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【答案】(1)C1； (2)①点P所表示的数为或； ②P表示的数为19或16或22 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点表示的数和相关线段的长度． （1）求出，知是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”； （2）设点P表示的数为x，①求出，可或，即可解得解得或； ②求出，，然后分三种情况求解：当A是B，P“关联点”时；当B是A，P“关联点”时；当P为A，B的“关联点”时． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 7．（24-25七年级上·湖南益阳·单元测试）小虫从某点A出发在一条直线上来回爬行7次，如果向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行过的各段路程依次如下(单位：cm)：+5，-3，+11，-8，+12，-6，-11． （1）小虫最后是否回到了出发点A?为什么？ （2）小虫一共爬行了多少厘米？ 【答案】（1）是，理由见解析；（2）小虫一共爬行了56厘米． 【分析】（1）只需求出这些正负数的代数和即可； （2）只需要求出这些正负数的绝对值的和． 【详解】解：（1）小虫最后是回到了出发点A， 理由是：（+5）+（-3）+（+11）+（-8）+（+12）+（-6）+（-11） =0， 即小虫最后是回到了出发点A； （2）|+5|+|-3|+|+11|+|-8|+|+12|+|-6|+|-11|=56（厘米）， 答：小虫一共爬行了56厘米． 【点睛】本题考查了有理数的加减，正数、负数，数轴，绝对值的应用，关键是能根据题意列出算式． 8．（24-25七年级上·湖南娄底·课后作业）某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记为正数，比规定直径短的毫米数记为负数，检查记录如下： 抽取次数 1 2 3 4 5 6 直径 指出第几个零件最好？并说明理由． 【答案】第三个零件最好，理由见解析 【分析】根据绝对值越小质量越好，越大质量越差即可知道哪些零件的质量相对来讲好一些； 【详解】解：第三个零件最好． 理由：，，，，，， 因为， 所以第三个零件的尺寸最接近规定尺寸， 故第三个零件最好． 【点睛】本题主要是考查了正数与负数以及学生对绝对值的应用，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 9．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读理解： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用： (1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 【答案】(1)a；；或 (2)6 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程．掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键． （1）根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）根据a的取值范围，去掉绝对值再整理即可． 【详解】（1）解：，它在数轴上的意义表示a的点与的点之间的距离为1， ∵， ∴， 解得：或． （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴，， ∴． 10．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）【教材呈现】 华师版七年级上册数学教材有一道题目： 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与；（2）与； （3）与；（4）与． 你能发现所得的距离与这两个数的差有什么关系吗？ 【归纳概括】 （1）请将你的发现用文字语言叙述如下：_____________________________________________； （2）数轴上表示数与1的两点之间的距离可用符号语言记作_________； （3）的含义是数轴上表示数与_________的两点之间的距离； 【解决问题】 （4）请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是_________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）5 【分析】此题考查了的是数轴上两点间的距离，解此类题目要会分区间讨论和数形结合的思想方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式解答即可； （2）由数轴上两点之间的距离公式直接得到答案； （3）将式子变形为，根据数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （4）当表示数x的点在与3之间移动时，，化简绝对值计算即可． 【详解】解：（1）数轴上两点之间的距离等于这两点对应的数差的绝对值； （2）数轴上表示数与1的两点之间的距离为； （3），含义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； （4）如图，当表示数x的点在与3之间移动时，， ∴， ∴的值总是一个固定的值，这个值是5． 11．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 【答案】（1）4；；（2）；（3）成立的x的值是或3 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； （3）如图： 当时，， 当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述：成立的x的值是或3． 12．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 13．（24-25七年级上·湖南永州·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握去绝对值的性质，根据数轴，得，，的大小，进行解答，即可． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ， ， ． 14．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简： 【答案】 【分析】先根据数轴确定出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后去掉绝对值号，再进行计算即可求解． 【详解】解：由图得，，， 原式 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及合并同类项法则，根据数轴确定出a、b、c以及相关代数式的正负情况是解题的关键． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 【答案】（1）①②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值性质是解本题的关键． （1）根据数轴可得点的值，再将点在数轴上画出来即可； （2）根据数轴先判断的大小关系，再判断、、的符号，进而去绝对值化简即可． 【详解】（1）①由数轴可知，点表示的数为， 点表示的数为， ②数轴如图所示， ． （2）由数轴可知，， ， ，， ， ， ． 16．（24-25七年级上·湖南常德·期中）数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图在数轴上有数，，在数轴上标出数，，并借助数轴比较，，，的大小，用连接； (2)如图在数轴上有数，，， 若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； 在的条件下，化简：． 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析； 【分析】本题考查了在数轴上表示数，借助数轴比较大小，去绝对值化简． （1）根据数轴上，的位置关系可得：，，，据此在数轴上标出，，进而即可判断大小关系； （2）根据数轴上，的位置关系，结合，，即可确定原点的位置； 根据数轴上，，的位置关系可得，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 根据数轴，得：； （2）如图所示，即为所求 ，， ， 原式 ． 17．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 18．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________； ________； (2)【拓展延伸】 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． （1）根据进行化简绝对值即可； （2）先根据化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【经典例题四 有理数的简便运算】 19．（24-25七年级上·湖南娄底·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 20．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数乘法运算律． （1）运用分配律进行简便计算； （2）运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算． 【详解】（1） ； （2） ． 21．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 22．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）运算律在运算中有重要作用，它是解决许多问题的基础．    请你参考上面例题，用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将原式化为计算即可； (2)根据乘法分配律的逆运算解答． 【详解】（1）解： 原式= ． （2） 原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算律，在进行基础计算时，有时可以利用运算律进行简便的计算，达到事半功倍的效果． 23．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法交换律与结合律将小数部分相同的数结合在一起，再根据加法法则计算即可； （2）将化为，再利用乘法分配律计算即可； （3）每一项都有，逆用乘法分配律，即可计算； （4）利用加法的结合律，将相邻的两个数组成一组，得和为，共组，由此即可计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，解题是要注意灵活运用加法的结合律和乘法的分配律，凑整计算． 24．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)①；②99900 (2) 【分析】（1）①变形为，再根据乘法分配律简便计算即可解答；②先变形，然后根据乘法分配律简便计算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法即可解答． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、有理数的运算律等知识点，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 25．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列等式： ，，，， (1)按照上述规律填空：______，______． (2)计算：． (3)探究并计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字类的规律问题，找出规律是解题的关键： （1）根据规律即可得出答案； （2）根据已知等式将等式依次拆项相加可得结论； （3）先依次拆项得出，再计算即可． 【详解】（1）； （2）      （3） 26．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知一些两位数相乘的算式：，，，．（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和等于10） (1)计算已知算式中两个数的积，观察计算结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速直接写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； (2)请用整式乘法的知识证明（1）中的规律； (3)利用你总结的规律计算：，． 【答案】(1)十位数字相同、个位数字的和等于10的两个两位数相乘，其结果为：十位数字（十位数字）个位数字个位数字． (2)证明见解析 (3)， 【分析】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题． （1）计算各式结果，并找出规律． （2）设算式中前一个因数的十位数字为，个位数字为，则计算出结果即可． （3）按照（1）的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：（1），，，． 由观察计算结果可以得出： 十位数字相同、个位数字的和等于10的两个两位数相乘，其结果为：十位数字（十位数字）个位数字个位数字． （2）设算式中前一个因数的十位数字为，个位数字为，则： ． （3）解：； ． 27．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法，规律型：数字的变化类，解题关键在于掌握计算法则找到规律. （1）首先根据前面的式子的规律即可求解； （2）探索当个数相加时，每个式子等号左右两边与的关系，然后根据规律求解； （3）利用（2）中的规律即可得； （4）由上述规律得：，，则，计算即可. 【详解】（1）解：根据所给算式规律可得， 故答案为：； （2）解：由题意，得，，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）中规律可得， 故答案为：； （4）解：由上述规律得：，， ∴ ． 28．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|6﹣7|=7﹣6；|7﹣6|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7. (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式； ①|7﹣21|=___________； ②|﹣|=___________； (2)用合理的方法计算：|﹣|+|﹣|﹣|﹣|； (3)用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|. 【答案】(1)①21﹣7，② (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的性质进行化简； （2）先把式子写成去掉绝对值符号的形式，再进行计算； （3）先把式子写成去掉绝对值符号的形式，再进行计算． 【详解】（1）解：①|7﹣21|＝21﹣7，②， 故答案为：21﹣7，； （2）解：原式； （3）解：原式=． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，正确求绝对值是解题的关键． 29．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 【答案】（1）3；；；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为3；第三项与第二项之比为3；第四项与第三项之比为3；所以每一项与前一项之比是3，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】解： ∵，； ，； ，； ，； 以此类推：， ∴， 故答案为：3；；； （2）可令，则，因此，所以，即． 30．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）观察下面的式子，解答下列问题 ，； ，； ，； ，； …… (1)________； (2)_____； (3)利用上面的规律计算： (4)计算：___________． 【答案】(1)225 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出，进行计算即可； （2）根据题意材料即可得出，进行计算即可； （3）首先求出和的值，然后作差求解即可； （4）同（3）的方法求出的值，然后将变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，； ，； ，； ，； …… ∴； （2）根据题意得， ； （3）根据题意得， ∴ ． （4）根据题意得， ∴ ， ∴ ． 【经典例题六 正负数的实际应用】 31．（24-25七年级上·湖南永州·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 【答案】正数，理由见详解 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的定义是解答本题的关键． 由，可得，因为，所以，据此可得答案． 【详解】解：正数； 理由：， ， 又， ， ， 即， 的结果是正数． 32．（24-25七年级上·湖南娄底·随堂练习）下面是几个家庭五月份用电支出与上月用电支出相比的变化情况： 赵力家减少      肖刚家增加 王辉家减少      李玉家增加 田红家增加       陈佳家减少 分别用带“”或“”的数写出这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率． 【答案】赵力家，肖刚家，王辉家，李玉家，田红家，陈佳家 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数表示增加，负数表示减小即可，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率分别为：赵力家，肖刚家，王辉家，李玉家，田红家，陈佳家． 33．（24-25七年级上·湖南常德·期末）元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 【答案】(1)美团支付 (2)143元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键； （1）根据图中数据即可求解； （2）将图中得数据相加即可求解； 【详解】（1）解：由图可得，账单中支出费用最大的交易是美团支付155元； （2）解：（元） 答：小湖的当日的微信红包余额是143元． 34．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 35．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 36．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是米 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则； （1）根据正负数进行加减运算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 （2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低， ∵戒水位是米， ∴，， ∴它们都位于警戒水位之上， ∴，， ∴与警戒水位的距离分别是米． 【经典例题七 有理数的混合运算的实际应用】 37．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）何小虎一周连续五天的加工零件数分别是62个，57个，58个，63个，65个． (1)何小虎连续五天加工零件数的平均值是________个； (2)若以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？ 【答案】(1)61 (2)它们对应的数分别是：个，个，个，个，个 【分析】本题考查正负数是应用，有理数的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）运用有理数的除法可求出何小虎连续五天加工零件数的平均值； （2）根据有理数减法求出对应的数． 【详解】（1）解： （个） 故答案为：61； （2）解：（个）， （个）， （个）， （个）， （个）， 所以，它们对应的数分别是：个，个，个，个，个 38．（25-26七年级上·湖南常德·开学考试）有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 【答案】(1)70米；60米 (2)10500米 (3)3300米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用； （1）根据题意列式计算即可； （2）先列式计算出总时间，再根据路程等于速度乘以时间来列式计算即可； （3）先计算出小姜与小琳再次相遇所需的时间，再计算出小姜开始返回时与A地的距离，用此距离减去返回时行驶的距离即可． 【详解】（1）解：小仪： 小琳：， 答：小仪行走的速度为每分钟70米，小琳行走的速度60米． （2）解： ； ； 答：若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距10500米． （3）解： ； ； 答：小姜与A地的距离3300米． 39．（2025·湖南娄底·模拟预测）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇．如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此处相遇．那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】A、B两地相距千米． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用．根据两种情况分别求出甲原来的速度和乙原来的速度，根据相遇时间为20分钟即可求出答案． 【详解】解：当乙比甲提前2分钟出发，甲到达相遇点的时间：（分钟）， 甲原来的速度：（米/分钟）， 当甲比乙晚4分钟出发，乙到达相遇点的时间：（分钟）， 乙原来的速度：（米/分钟）， A、B两地相距：米（千米） 答：A、B两地相距千米． 40．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）身体健康是人生最大的财富．本学期开始，“某校教师跑团”正式成立，蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000 米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)上周，蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米? (2)若蔡老师跑步的平均速度为200米/分钟，那么，上周他平均每天用了多少分钟跑步? 【答案】(1)米 (2)（分钟） 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减乘除混合运算，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据最大值与最小值的差就是跑得最多的一天比最少的一天多跑的距离，从而可得答案； （2）利用总路程除以速度即可求解． 【详解】（1）解：跑步最多的一天是星期日，跑步最少的一天是星期五， 米； （2）跑步的总路程为：． 蔡老师跑步的总时间为：（分钟）， 每天跑步的时间为：（分钟）． 41．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)28元 (2)本周内每股最高价30.5元，最低价28元 (3)会获利，获利3000元 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）分别计算本周内每天的股价，比较即可获得答案； （3）结合（2）可知周五的收盘价大于买入价，然后计算获利即可． 【详解】（1）解：元， ∴星期三收盘时，每股是28元； （2）星期一股票价格为：元， 星期二股票价格为：元， 星期三股票价格为：元， 星期四股票价格为：元， 星期五股票价格为：元， ∵， ∴本周内每股最高价30.5元，最低价28元； （3）由（2）可知，周五的收盘价为30元， ∵， ∴会获利， 又∵元， ∴他会获利3000元． 42．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表，单位：），每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”， 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶大约需用汽油，汽油价为8元；新能源汽车每行驶耗电量大约为20度，每度电价为元，则小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)47； (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； (3)这7天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，四则混合运算的应用，正确理解题意，列式计算是解题的关键． （1）根据有理数的减法列式计算即可； （2）将天的里程求和即可得解； （3）用汽油车的费用减去电车的费用即可得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：47； （2）解：， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省160元． 【经典例题八 有理数的新定义问题】 43．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知，为有理数，定义一种新运算“※”：． 计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干提供的信息，列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 44．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)探索与的关系，并用等式把它们表示出来． 【答案】(1)5 (2)17 (3) 【分析】本题主要考查新定义下运算法则， （1）根据给定的运算规则计算即可； （2）根据给定的运算法则，先算中括号里面再算外面即可； （3）根据新定义运算法则将各代数式开展，结合各自结果找到关系即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）， ， 则． 45．（24-25七年级上·湖南永州·期中）对于有理数和,定义一种新运算“⊙”，规定:． （1）计算：的值 （2）若在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，且，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 2⊙（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6； （2）从a，b在数轴上的位置可得，且， ∴，， ∴. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 46．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定．如． (1)计算的值． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式计算即可； （2）根据几个非负数的和为0，每一个都是0，求出a和b的值，再根据新定义法则代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义规定的运算公式和有理数的混合运算顺序及运算法则． 47．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）定义新运算：对于任意数，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法乘方运算， 比如： (1)求的值 (2)求的值 (3)求的值 (4)猜想式子化简的结果 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义进行计算即可求解； （3）根据新定义进行计算即可求解； （4）观察（1）（2）（3）的结果即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 48．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）ABD；（3）；（4） 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A．因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：ABD； （3）， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． 【经典例题九 新考向—材料阅读型问题】 49．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值方程的解法，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据题中所给解法求解即可； （2）根据的最小值为，得出表示的点与表示的点的距离为，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 当，即时，原方程可化为：，解得：， 当，即时，原方程可化为：，解得． ∴原方程的解是：或． （2）解：的最小值为， 表示的点与表示的点的距离为， ，， 或． 50．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：；；． 那么： (1) ； ； (2)用含有n的式子表示你发现的规律； (3)直接写出计算结果：= ； (4)已知与互为相反数，试求代数式 的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读部分的提示规律直接进行计算即可； （2）根据阅读部分的提示规律用含n的代数式表示即可； （3）根据得到的规律把原式化为：，再计算即可； （4）先利用非负数的性质求解x，y，再代入代数式结合规律进行计算即可. 【详解】（1）解：∵；； ∴， 故答案为：， （2）解：由题意得： （3）解：由（2）得：原式 = = = （4）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴=0，=0 x=1，y=2 ∴ = = = = 【点睛】本题考查与分数裂项相关的阅读题型，能够读懂题目并进行推导运用是解题关键． 51．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量___________来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，___________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． (3)若是大于1的正数，试利用上述方法比较和的大小． 【答案】(1) ，绝对值 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可； （3）找中间量，然后根据题中所给解法进行求解即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）解：， ， ． （3）解：∵是大于1的正数，且，， ∴， ∴． 52．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以的值为或2． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以的值为3或． 任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值． (1)． (2)． 【答案】(1)或8 (2)8或 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程； （1）根据可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上x表示的点与2对应的点的距离，据此求解可得． 理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为和8， ∴x的值为或8． （2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和， ∴x的值为8或． 53．（24-25七年级上·湖南永州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【详解】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 54．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读并解决相应问题： (1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“节点”．如图1，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“节点”．填空： ①若点表示的数为，则的值为__________． ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为、的“节点”，请直接写出整点所表示的数． (2)类比探究：如图2，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请你求出点表示的数及的值，并说明理由． (3)拓展延伸：在（1）（2）的条件下，若点在数轴上运动（不与点、重合），满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“的节点”，求点表示的数及的值，并说明理由． 【答案】(1)①5；②，，0，1，2，3 (2)点表示的数是，或点表示的数是， (3)点表示的数是，或点表示的数是，，理由见解析 【分析】（1）①由题意可求出点到点A的距离与点到点的距离之和为5，故；②由若整点为A、的“5节点”，可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，0，1，2，3； （2）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出n的值； （3）设点表示的数是，分类讨论：当在线段上时和当在点的左侧时，根据点到点的距离等于点到点A的距离的2倍，可分别列出关于x的方程，解出x，进而可求出n的值． 【详解】（1）①点到点A的距离与点到点的距离之和为， ， 故答案为：5； ②为A、的“5节点”， ，即在线段上， 整点所表示的数是，，0，1，2，3； （2），， 点表示的数是或． 当点表示的数是时，，即， 当点表示的数是时，，即， 综上所述，点表示的数是，或点表示的数是，； （3）设点表示的数是， 当在线段上时，，， ， 解得， 点表示的数是，此时； 当在点的左侧时，，， ， 解得， 点表示的数是，此时． 综上所述，点表示的数是，或点表示的数是，． 【点睛】本题考查新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．理解题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 正负数的实际应用 题型七 有理数的混合运算的实际应用 题型八 有理数的新定义问题 题型九 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 3．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm） (1)若，则______，并求的和； (2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知：数轴上点、对应的数分别为、，点对应的数为，是最小的正整数，，且， (1)求和的值； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为每秒3个单位长度；点的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间，两点相遇． (3)在（2）的条件下，另一点与点、同时出发，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t．当点运动到点立即停止运动，点仍以原速度、原方向继续运动，同时点速度变为每秒4个单位，运动方向不变，在整个运动过程中，当为何值时，点，之间的距离等于点、之间距离．（直接写出答案） 6．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 7．（24-25七年级上·湖南益阳·单元测试）小虫从某点A出发在一条直线上来回爬行7次，如果向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行过的各段路程依次如下(单位：cm)：+5，-3，+11，-8，+12，-6，-11． （1）小虫最后是否回到了出发点A?为什么？ （2）小虫一共爬行了多少厘米？ 8．（24-25七年级上·湖南娄底·课后作业）某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记为正数，比规定直径短的毫米数记为负数，检查记录如下： 抽取次数 1 2 3 4 5 6 直径 指出第几个零件最好？并说明理由． 9．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读理解： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用： (1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 10．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）【教材呈现】 华师版七年级上册数学教材有一道题目： 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与；（2）与； （3）与；（4）与． 你能发现所得的距离与这两个数的差有什么关系吗？ 【归纳概括】 （1）请将你的发现用文字语言叙述如下：_____________________________________________； （2）数轴上表示数与1的两点之间的距离可用符号语言记作_________； （3）的含义是数轴上表示数与_________的两点之间的距离； 【解决问题】 （4）请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是_________． 11．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 12．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 13．（24-25七年级上·湖南永州·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 14．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简： 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 16．（24-25七年级上·湖南常德·期中）数轴是重要的数学工具，体现了数形结合思想，解决以下问题： (1)如图在数轴上有数，，在数轴上标出数，，并借助数轴比较，，，的大小，用连接； (2)如图在数轴上有数，，， 若，，原点在刻度上，请在数轴上标出原点； 在的条件下，化简：． 17．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 18．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________； ________； (2)【拓展延伸】 【经典例题四 有理数的简便运算】 19．（24-25七年级上·湖南娄底·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）简便方法计算： (1)． (2)． 21．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）运算律在运算中有重要作用，它是解决许多问题的基础．    请你参考上面例题，用运算律简便计算： (1)； (2)． 23．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) 24．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 25．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列等式： ，，，， (1)按照上述规律填空：______，______． (2)计算：． (3)探究并计算： 26．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知一些两位数相乘的算式：，，，．（每个算式中两个因数的十位数字相同，个位数字的和等于10） (1)计算已知算式中两个数的积，观察计算结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速直接写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； (2)请用整式乘法的知识证明（1）中的规律； (3)利用你总结的规律计算：，． 27．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 28．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|6﹣7|=7﹣6；|7﹣6|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7. (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式； ①|7﹣21|=___________； ②|﹣|=___________； (2)用合理的方法计算：|﹣|+|﹣|﹣|﹣|； (3)用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|. 29．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 30．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）观察下面的式子，解答下列问题 ，； ，； ，； ，； …… (1)________； (2)_____； (3)利用上面的规律计算： (4)计算：___________． 【经典例题六 正负数的实际应用】 31．（24-25七年级上·湖南永州·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 32．（24-25七年级上·湖南娄底·随堂练习）下面是几个家庭五月份用电支出与上月用电支出相比的变化情况： 赵力家减少      肖刚家增加 王辉家减少      李玉家增加 田红家增加       陈佳家减少 分别用带“”或“”的数写出这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率． 33．（24-25七年级上·湖南常德·期末）元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 34．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 35．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 36．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【经典例题七 有理数的混合运算的实际应用】 37．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）何小虎一周连续五天的加工零件数分别是62个，57个，58个，63个，65个． (1)何小虎连续五天加工零件数的平均值是________个； (2)若以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？ 38．（25-26七年级上·湖南常德·开学考试）有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 39．（2025·湖南娄底·模拟预测）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇．如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此处相遇．那么A、B两地相距多少千米？ 40．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）身体健康是人生最大的财富．本学期开始，“某校教师跑团”正式成立，蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000 米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)上周，蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米? (2)若蔡老师跑步的平均速度为200米/分钟，那么，上周他平均每天用了多少分钟跑步? 41．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 42．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表，单位：），每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”， 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶大约需用汽油，汽油价为8元；新能源汽车每行驶耗电量大约为20度，每度电价为元，则小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【经典例题八 有理数的新定义问题】 43．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知，为有理数，定义一种新运算“※”：． 计算： (1) (2). 44．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)探索与的关系，并用等式把它们表示出来． 45．（24-25七年级上·湖南永州·期中）对于有理数和,定义一种新运算“⊙”，规定:． （1）计算：的值 （2）若在数轴上的位置如图所示，化简 46．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定．如． (1)计算的值． (2)若，求． 47．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）定义新运算：对于任意数，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法乘方运算， 比如： (1)求的值 (2)求的值 (3)求的值 (4)猜想式子化简的结果 48．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【经典例题九 新考向—材料阅读型问题】 49．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 50．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：；；． 那么： (1) ； ； (2)用含有n的式子表示你发现的规律； (3)直接写出计算结果：= ； (4)已知与互为相反数，试求代数式 的值． 51．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量___________来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，___________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． (3)若是大于1的正数，试利用上述方法比较和的大小． 52．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以的值为或2． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以的值为3或． 任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值． (1)． (2)． 53．（24-25七年级上·湖南永州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 54．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读并解决相应问题： (1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“节点”．如图1，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“节点”．填空： ①若点表示的数为，则的值为__________． ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为、的“节点”，请直接写出整点所表示的数． (2)类比探究：如图2，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请你求出点表示的数及的值，并说明理由． (3)拓展延伸：在（1）（2）的条件下，若点在数轴上运动（不与点、重合），满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“的节点”，求点表示的数及的值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$