专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知0≤a≤4，那么|a﹣2|＋|3﹣a|的最大值等于（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若，则x的最大值与最小值的和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知，求的最大值和最小值的和 ． 3．（2024七年级·湖南娄底·模拟预测）已知有理数满足，则式子的最大值是 ，最小值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）当 时，有最大值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】 （3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）用字母a表示一个实数，则一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 （填“大”或“小”）值 ； (2)有最 （填“大”或“小”）值 ； 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）（1）填空：①正数： ， ； ②负数： ， ； ③零： ； （2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即 （3）请认真阅读下列材料，求的最小值 解：，当，即时，的最小值是2 解答下列问题 ①求的最小值；   ②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）对照数轴填写下表： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； （4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ； （5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并求出最小值 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料，回答问题 距离能够产生美． 唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无． 当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道： “世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚” 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB． （1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|． （2）当A，B两点都不在原点时， ①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|； ②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|； ③如图4，点A，B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|． 综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5． 利用上述结论，回答以下三个问题： （1）若表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=______； （2）若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____； （3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围； （4）若未知数x，y满足（|x-1|+|x+3|）（|y+1|+|y-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25七年级上·广西崇左·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简结果等于（    ） A． B．0 C． D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）已知，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． 化简 ． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）将1，2，3，，80这80个自然数，任意分成40组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到40个值． （1）当时，化简得 ． （2）上述40个值的和的最大值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为．例如：数轴上表示和的两点之间的距离是． 【问题解决】 （1）数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点，，表示的数为，，，设点在数轴上对应的数为． 若点为线段的中点，则______； 若点为线段上的一个动点，化简； 动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若时，化简（    ） A．1 B． C． D． 1．（2024七年级上·湖南·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）设是一个四位数，是的自然数，且，则式子化简的结果为 ，其最大值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)判断： 0， 0， 0（在括号里填“”、“”、“”） (2)化简： 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（） A． B． C． D．4 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）定义一种新运算：．例如：． (1)求和的值； (2)猜想：与的关系（不必说明理由）； (3)若※，※，且，求的值．                     【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知，对多项式任选两个字母，在它们的两侧添加一个绝对值运算（保持原字母顺序不变），称这种操作为“绝对操作”．例如：，，下列说法：①存在一种“绝对操作”，其化简的结果与原多项式的和为0；②不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等；③所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果；其中正确的个数是（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算或化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ； （7） ；（8） ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 4．（24-25七年级上湖南邵阳·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）绝对值大于1小于3的整数的和是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·湖南永州·模拟预测）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，则 ． 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 8．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 10．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 11．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (2)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“”连接起来． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知0≤a≤4，那么|a﹣2|＋|3﹣a|的最大值等于（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 【答案】B 【分析】由于则及的符号不能确定，故应分类讨论出及的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可． 【详解】①当时， |﹣2|＋|3﹣|＝2﹣＋3﹣＝5﹣2， 当＝0时达到最大值5． ②当时， |﹣2|＋|3﹣|＝﹣2＋3﹣＝1 ③当时， |﹣2|＋|3﹣|＝﹣2＋﹣3＝2﹣52×4﹣5＝3． 当＝4时，达到最大值3． 综合①、②、③的讨论可知，在上，|﹣2|＋|3﹣|的最大值是5． 故选择：B． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若，则x的最大值与最小值的和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据的符号分类讨论，根据绝对值的意义，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：当时， ， 当时， 当异号时，， ， ∴x的最大值与最小值的和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘除法法则，有理数的加法运算，分类讨论是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知，求的最大值和最小值的和 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键．先讨论： 、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值，再求和即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，x最小取，最大取2， 当时，y最小取，最大取2， 当时，z最小取，最大取3 ∴的最大值为∶ ， 的最小值为∶ ， ∴； 故答案为：． 3．（2024七年级·湖南娄底·模拟预测）已知有理数满足，则式子的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 9 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据题意可得表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：根据题意得：表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和， ∵有理数满足， ∴当数x表示的点在表示的点与数x表示的点到2表示的点之间时，最小，最小值为， 当时，最大，最大值为． 故答案为：9；5 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，化简绝对值，有理数的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和，据此结合数轴求解即可； （3）①②仿照题意去绝对值即可；③先仿照题意去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：； ； ③ ． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 【答案】B 【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案． 【详解】， ， ， ∴当时，|有最大值， 即当时，|有最大值，最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）当 时，有最大值是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查的是代数式的值，绝对值非负性的应用，理解时最小是解本题的关键，从而可得本题的答案． 【详解】解：∵时最小， ∴此时，则有最大值是． 故答案为：1，． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的非负性、化简绝对值以及绝对值的几何意义等知识点，熟练掌握绝对值的相关结论是解题关键． 【详解】解：①若，则， ∴ ∴ 故①错误； ②若，则 ∴ ∴ 故②错误； ③∵， 又， ∴ 即：当时，有最大值5 故③正确； 由绝对值的几何意义可知：表示数轴上对应的点到、对应的点之间的距离之和， 故当时，有最小值， 故④正确； 故选：B 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②③；④；⑤若x为数轴上任意一点，的最小值为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负以及化简绝对值, 由数轴可知：，，推出即可判断①；根据，，可得即可判断②；即可判断③；根据即可判断④；表示数轴上表示的点到表示数a，b的两点的距离之和，据此即可判断⑤； 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∴，故②错误； ，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 当时，的最小值为．故⑤正确； 故正确结论有3个． 故选：B 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为14，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 4．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】 （3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）或；或；（3）或；（4）当时，有最小值，最小值为2500 【分析】此题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键： （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据绝对值几何意义列方程解答； （4）利用数轴分析出几何意义，即可得到答案 【详解】解：（1）， 故答案为：9； （2） ∴x到的距离为3， ∴，， ∵， ∴x到和x到5的距离和为10， 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得 故答案为：或；或； （3）表示数轴上表示数x的点与1的距离，与的距离，与a的距离的和， ∵存在最小值8， ∴， ①若，则当时，存在最小值8， ∴， 解得（舍去）或； ②若，则当时，存在最小值8， ∴，无解，舍去； ③若，则当时，存在最小值8， ∴， 解得（舍去）或； 综上，a的值为6或； （4）∵表示数轴上表示a的点与1，与2，与3，，与100的距离和， 当时，有最小值为， 当时，有最小值为， 当时，有最小值为； ， 当时，有最小值为， ∴当时，有最小值， 最小值为 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）用字母a表示一个实数，则一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 （填“大”或“小”）值 ； (2)有最 （填“大”或“小”）值 ； 【答案】(1)小，3 (2)大，5 【分析】本题主要考查了非负数的性质： （1）根据|，可得有最小值，最小值为3； （2）根据，可得，进而可得得出答案； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴有最小值，最小值为3， 故答案为：小，3； （2）解：∵， ∴， ∴， 即有最大值，最大值为5， 故答案为：大，5； 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）（1）填空：①正数： ， ； ②负数： ， ； ③零： ； （2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即 （3）请认真阅读下列材料，求的最小值 解：，当，即时，的最小值是2 解答下列问题 ①求的最小值；   ②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值 【答案】（1）①，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a=5 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案； （2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案； （3）①要使有最小值，则需使最小，结合（2）中结论有，可得出时，最小，即可得出答案； ②由，得出当时，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案． 【详解】解：（1）①正数：，8； ②负数：0.7，12； ③零：0； （2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即； （3）① 当即时 ∴有最小值是2020 ②有最大值． 当，即时 有最大值25，此时a=5． 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）对照数轴填写下表： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； （4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ； （5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并求出最小值 ． 【答案】（1）见表格；（2）d=|a-b|；（3）P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，所有这些整数的和为0；（4）-2、-1、1、2；（5）点C在-1到2之间时，最小值是3． 【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解； （2）根据绝对值的意义即可得到结果； （3）求出5到-5的距离正好等于10可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可； （4）将（3）中的P点依次尝试即可得到答案； （5）根据数轴，求出-1到2的距离即为所取得的最小值． 【详解】解：（1）数轴为： 填表如下： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 2 10 12 0 （2）根据绝对值的意义可知，d和a、b的数量关系为：d=|a-b|； （3）如图，∵5-（-5）=5+5=10， 因此从-5到5范围内所有的整数点都可以使它到5和-5的距离之和为10， P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5， ， 所有这些整数的和为0； （4）在（3）中满足到5和-5的距离之差大于1且小于5的整数只有-2、-1、1、2， 故答案为：-2、-1、1、2； （5）|x+1|+|x-2|=|x-（-1）|+|x-2| ∵-1到2的距离是2-（-1）=2+1=3， ∴点C在-1到2之间时，|x+1|+|x-2|取得的值最小，最小值是3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料，回答问题 距离能够产生美． 唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无． 当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道： “世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚” 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB． （1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|． （2）当A，B两点都不在原点时， ①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|； ②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|； ③如图4，点A，B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|． 综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5． 利用上述结论，回答以下三个问题： （1）若表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=______； （2）若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____； （3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围； （4）若未知数x，y满足（|x-1|+|x+3|）（|y+1|+|y-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值． 【答案】（1）1或-5；（2）7；（3）x＞1或x＜-3；（4）最大值是5，最小值是0． 【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可； （2）由题意可得a+5＞0，a-2＜0，去绝对值化简可得结果 （3）分类讨论当x＞1、x＜-3、3≤x≤1，再去绝对值，化简求解即可； （4）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解． 【详解】解：（1）|a-（-2）|=3， 所以，a+2=3或a+2=-3， 解得：a=1或a=-5． 故答案为：1或-5； （2）∵表示数a的点位于-5与2之间， ∴a+5＞0，a-2＜0， ∴|a+5|+|a-2|=（a+5）+[-（a-2）]=a+5-a+2=7． 故答案为：7； （3）当x＞1时，原式=x-1+x+3=2x+2＞4，解得：x＞1； 当x＜-3时，原式=-x+1-x-3=-2x-2＞4，解得：x＜-3； 当-3≤x≤1时，原式=-x+1+x+3=4，不符合题意，故舍去； ∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜-3； （4）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6 又∵|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3， ∴1≤x≤3，-1≤y≤2， ∴代数式x+y的最大值是5，最小值是0． 【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25七年级上·广西崇左·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简结果等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减运算；根据数轴上两个有理数的位置可确定的大小关系，从而判断出的符号，则可以脱去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知：，且， 所以， 所以； 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）已知，，三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小和化简绝对值．数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．首先从数轴上，，的位置关系可知：，且，接着可得，，，然后即可化简可得结果． 【详解】解：解：从数轴上，，的位置关系可知：，且， 故，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． 化简 ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减，根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而得，，，再根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ． 故答案为：a． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）将1，2，3，，80这80个自然数，任意分成40组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到40个值． （1）当时，化简得 ． （2）上述40个值的和的最大值为 ． 【答案】 1210 【分析】（1）先去绝对值符号，再进行化简即可； （2）设将代数式化简可知：将每组中的两个数，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数的．如果求这40个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，如果按1和2，3和4，5和6，……，79和80这样分组，则这40个值的和的最大值为：，计算这个算式即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）每组中的两个数记为，，设， 则． 将每组中的两个数，，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数的． 如果求这40个值的和的最大值，每组中的两个数应为中的一个数和中的一个数， 这样，这40个值的和的最大值为： ． 故答案为：1210． 【点睛】本题主要考查了数字变化类，求和的最大值，找出分组的规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为．例如：数轴上表示和的两点之间的距离是． 【问题解决】 （1）数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点，，表示的数为，，，设点在数轴上对应的数为． 若点为线段的中点，则______； 若点为线段上的一个动点，化简； 动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 【答案】（），，；（）；；当时，的值为或或． 【分析】（）根据数轴上两点距离公式即可求解； （）由点为线段的中点，则，然后解出方程即可； 由点为线段上的一个动点，可得，然后化简绝对值即可； 分当时，和当时，两种情况分析即可． 【详解】解：（）根据距离公式可得： 数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （）∵点为线段的中点， ∴， 解得：， 故答案为：； ∵点为线段上的一个动点， ∴， ∴ ； 由题意得：点表示的数为，点从到需要（秒），点从到需要（秒）， ∴当时，点表示的数为，当时，点从到运动，此时 点表示的数为， ∵， ∴当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或（舍去）， 综上可知：当时，的值为或或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若时，化简（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了绝对值的性质．直接利用绝对值的性质化简求出答案． 【详解】解：， ∴，， ． 故选：A． 1．（2024七年级上·湖南·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值，有理数加法，整式的加减，利用数轴判断出式子的正负是解题关键．由数轴可得：，且，进而得到，再去绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， 所以， 则原式． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）设是一个四位数，是的自然数，且，则式子化简的结果为 ，其最大值是 ． 【答案】 16 【分析】根据绝对值的性质化简式子，得到原式，再根据条件得出的最小值为1，的最大值为9，进而求解即可． 【详解】解：， ， 是一个四位数，、、、是阿拉伯数字，且， 最小值为1，最大值为9， 的最大值为， 即的最大值为16． 故答案为：，16． 【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)判断： 0， 0， 0（在括号里填“”、“”、“”） (2)化简： 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较和化简绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及取值范围即可； （2）据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由图可知，， 所以，，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，绝对值的意义，根据新定义运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为 ． 【答案】0 【分析】由题目中给出的新运算方法，即可推出原式，通过计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算和绝对值是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了数字规律探索，绝对值的意义，解题的关键是理解题意，根据题目中给出的信息，得出每个整数a都有7个“和谐数”，根据，得出第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数，然后求出结果即可． 【详解】解：∵，，，， ∴当时，“和谐数”为，14，15，16，17，18，19共7个， ∵，，，，，，， ∴当时，“和谐数”为22，23，24，25，26，27，28共7个， 根据以上可知，对于每个整数a都有7个“和谐数” ， ∵， 又∵， ∴第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数， ∴第118个“和谐数”为，， 故答案为：402． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）定义一种新运算：．例如：． (1)求和的值； (2)猜想：与的关系（不必说明理由）； (3)若※，※，且，求的值． 【答案】(1) (2)互为相反数 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）利用（1）的结果，进行猜想即可； （3）由（2）可知，互为相反数，根据相反数的性质和非负性，求出的值，进行计算即可． 【详解】（1）解：※，                  ※． （2）由（1）可知：， ∴和互为相反数， 故猜想：与互为相反数． （3）因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以，，             所以． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）已知，对多项式任选两个字母，在它们的两侧添加一个绝对值运算（保持原字母顺序不变），称这种操作为“绝对操作”．例如：，，下列说法：①存在一种“绝对操作”，其化简的结果与原多项式的和为0；②不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等；③所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果；其中正确的个数是（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查新定义题型，根据“绝对操作”的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论，需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②说法③需要对绝对操作分析添加两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴，，，，， ∴； ； ； ； ； ； ； 所以，不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等，故②正确； ③由②知，所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果，故③正确； 所以，正确的个数共有3个， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算或化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ； （7） ；（8） ． 【答案】 4 0 1 【分析】（1）直接运用有理数加法运算法则计算即可； （2）直接运用有理数减法运算法则计算即可； （3）直接运用有理数乘法运算法则计算即可； （4）直接运用有理数除法运算法则计算即可； （5）先算乘方，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （6）先按有理数减法运算法则计算，然后再求绝对值即可； （7）直接合并同类项即可； （8）直接去括号即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 故答案为：，，，4，0，1，，． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算、乘除运算、有理数的乘方、绝对值、整式的加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 4．（24-25七年级上湖南邵阳·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）绝对值大于1小于3的整数的和是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的意义是解题的关键；根据绝对值的几何意义计算即可； 【详解】绝对值大于1且小于3的整数有：， ∴， 故选A． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值、平方和大小比较的应用能力，运用相反数、绝对值、平方和大小比较的知识进行逐一辨别、求解，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：∵若a、b互为相反数，当时，； 当时，无意义， ∴说法①不正确； ∵若a为有理数，且， 则当时，； 当时，， ∴说法②不正确； ∵若，且，则， ∴说法③正确； ∵若，，， ∴，， 则， ∴说法④正确； ∵若三个有理数a，b，c满足，则． ∴说法⑤正确， ∴其中正确的有3个， 故选：C． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【详解】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 6．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若，则的值为 ；若，则是 数． 【答案】 非正 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 若，则的值为， 若，则是非正数， 故答案为：，非正． 8．（2024七年级上·湖南娄底·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离；弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或， 故答案为：，或； （2），表示点到和的距离相等，即点为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等， 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得：， 的值为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这6位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，， ∵ 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 10．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 11．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的大小．绝对值的意义等知识，准确识图，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可知，进而可得出答案． （2）根据数轴可知，进而可得出答案． 【详解】（1）解：根据数轴可知：， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可知：， ∴． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题： (1)若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______； (2)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“”连接起来． 【答案】(1) (2)数轴见解析， 【分析】本题考查数轴表示数，有理数的减法运算，绝对值和相反数，掌握绝对值、相反数的定义是正确解答的关键． （1）根据绝对值、相反数将原数据化为，，，，，，再求最大值与最小值的差即可； （2）在数轴上表示这组数，再根据数轴上右边的数总比左边的大进行大小比较即可． 【详解】（1）解：这组数：、、、、、可变为，，，，，， 则这组数据的极差为， 故答案为：； （2）将这组数：、、、、、在数轴上表示如下： 用“”连接起来为． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键； （1）把直接代入进行求解即可； （2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解； （3）由题意可分当和进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）七年级一班去实践基地采摘苹果，一共采摘了9筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： (1)有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？ (2)这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重多少千克？ (3)请你计算这9筐苹果一共多少千克？ 【答案】(1)4，5 (2) (3) 【分析】本题考查正负数的实际意义及有理数混合运算的实际应用； （1）根据超过标准的为正数，不足标准的为负数，即可判断得解 （2）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （3）先计算总质量，再根据单价乘以数量等于总价，可得答案． 【详解】（1）质量超过标准质量有：，共4筐 质量不足标准质量有：，共5筐 故有4筐苹果的质量超过标准质量，有5筐苹果的质量不足标准质量； （2） ∴（千克） 故这9筐苹果中，最接近标准质量的一筐苹果重千克 （3） （千克） （元） 出售这9筐苹果一共元 学科网（北京）股份有限公司 $$