专题08 有理数数轴上的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题08 有理数数轴的动点问题模型专训专题（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ）      A．7 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则：左移减右移加，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：点表示的数为； 故选C． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B．-405 C． D． 【答案】B 【分析】根据每向左运动3秒就向右运动2秒，可得每经过5秒就向左移动1个单位，根据2021÷5=404……1可得答案． 【详解】∵动点每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴每经过5秒就向左移动1个单位， ∴2021÷5=404……1，即经过404个5秒后，又向左移动1秒， ∴404+1=405个单位， ∴动点运动到第2021秒时所对应的数是-405， 故选：B． 【点睛】本题考查·数轴及数字变化规律，正确得出动点的运动规律是解题关键． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 【答案】2 或 10 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的差的绝对值，也等于两点之间的线段长度，进行解答即可． 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类】 【例2】（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据题目中所描述的数量之间的关系列出正确的代数式，再进行判断即可． 【详解】解：A选项：如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为，故A选项中所求的量可以用代数式表示； B选项：图中长方形的周长为，故B选项中所求的量不可以用代数式表示； C选项：若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为，故C选项中所求的量可以用代数式表示； D选项：分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有只，故D选项中所求的量可以用代数式表示． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）． 【答案】/ 【分析】本题考查了两点间的距离，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【答案】(1)；； (2) (3)和分别是点运动了第次和第6次到达的位置 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，熟练掌握数轴和一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意得到，，从而得到的值，进而得到两点之间的距离． （2）根据点P在数轴上运动的规律，可找到最后点P的位置，从而得到答案； （3）设点P所对应的有理数为，由题可分三种情况： ①当点在点的左侧时， ②当点在点和点之间时， ③当点在点的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴两点之间的距离． 故答案为：；7； ． （2）解：依题可得： ． ∴点P所对应的有理数为． （3）解：设点P所对应的有理数为， ①当点在点的左侧时：，， 由题可得：， 解得：， ②当点在点和点之间时：，， 由题可得：， 解得：， ③当点在点的右侧时：，， 由题可得：由题可得：， 解得：，这与点在点的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点所对应的有理数分别是和， ∴和分别是点运动了第次和第6次到达的位置． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】规定向右为正，向左为负，构造数的和为3的方式就是不同运动方案 【详解】规定向右为正，向左为负， ∵；； ； ； ； ∴质点的不同运动方案共有5种， 故选D． 【点睛】本题考查了相反意义的量，有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【答案】12或36 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．分，，讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设时间为秒， ∵A、B两定点对应的数是，40， ∴， ∴M到达B需要的时间为秒， N到达B需要的时间为秒， M从到A出发，然后返回到A需要的时间为秒， 当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得， 综上，经过12秒或36秒，点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 故答案为：12或36． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数是8，且A、两点之间的距离为12． (1)数轴上点表示的数是______； (2)若数轴上有一个点到点A的距离为4，则点对应的数是______； (3)若数轴上有两个动点、，动点从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当运动几秒时，点到点的距离是点到点的距离的3倍？ 【答案】(1) (2)4或12 (3)秒或4秒 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据两点之间的距离公式，分C点在A点左侧，和C点在A点右侧两种情况求解即可； （3）设运动时间为t秒，则t秒后，P点表示的数为，R点表示的数为， 则, ，由题意得，然后分R点在O点左边，和R点在O点右边，两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：∵点在A点的左边，且A、两点之间的距离为12， ∴点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：若C点在A点左侧，则C点表示的数为：， 若C点在A点右侧，则C点表示的数为：． 故答案为：4或12． （3）解：设运动时间为t秒，则t秒后，P点表示的数为，R点表示的数为， 则，， 由题意得， ∴． ①当，即时，此时R点在O点左边， ， 解得； ②当，即时，此时R点在O点右边， ， ． 综上，当运动秒或4秒时，点到点的距离是点到点的距离的3倍． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，掌握数轴上两点间距离和找到相等关系是解题的关键． 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25七年级上·湖南岳阳期末）如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 【答案】D 【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前， 依题意有 ， 解得； P、Q相遇后， 依题意有 ， 解得． 故运动的时间为15秒或20秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键． 1．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程在数轴上的应用，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏．分为①当点在上，点在上时；②当点在上，点在上时；③当点在上，点在上时；④当点在上，点在上时；四种情况讨论即可求解． 【详解】解：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等有种可能， ①当点在上，点在上时， 则， 解得：； ②当点在上，点在上时， 则， 解得：； ③当点在上，点在上时， 则， 解得：； ④当点在上，点在上时， 则， 解得：； 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【答案】(1)， (2)D所表示的数为或，理由见详解 (3)①或 ② 【分析】（1）根据多项式的次数及常数项定义解题； （2）分三种情况讨论，当当点D在点A的左侧时，或当点D在点A和点C之间时，或当点D在点C的右侧时，根据数轴上两点间距离的数量关系解题即可； （3）①t秒后，，，根据时，列出绝对值方程求解即可得出答案． ②设运动时间为t秒时，分别写成出点表示的数为，点表示的数为，可以用t表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是a，次数是c ∴， （2）解：由（1）得 设点D表示的数为n ①如图，当点D在点A和点C之间时 ， ∵， ∴， ∴ ②如图，当点D在点A的左侧时 ， ∵ ∴ ∴ ③如图，当点D在点C的右侧时 此时不满足 ∴不合题意，舍去 综上所述点D所表示的数为或 （3）解：①∵点B所表示的数是1，点A代表的数是，点C代表的是20， ∴后，A代表的数是：，点B代表的数是：，点C代表的数是：， ∴，， 则当时， 即， 则，或者 解得：或． ②∵点B所表示的数是1 ∴， 当运动时间为t秒时，根据题意得： ， ∴ ∵的值与t无关， ∴， ∴ 【点睛】本题考查数轴上的动点、利用数轴求两点间的距离，整式加减运算涉及多项式的次数、常数项、一元一次方程、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，解题的关键是掌握相关知识． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数相加为0，数轴的单位长度为1，则点C对应的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的性质，数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想解决问题是解题关键．结合相反数性质得到点A，B表示的数为，，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为点A，B表示的数相加为0， 所以点A，B表示的数到原点的距离相等， 又数轴的单位长度为1，， 所以点A，B表示的数为，， 因为， 所以点C对应的数是， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离，设对应的数为，分三种情况讨论：①当点P在M的左侧时，则有：，②当点P在M、N之间时，则有或，③当点P在N的右边时，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：设对应的数为， ①当点P在M的左侧时，则有：， 即， ∴， 解得：； ②当点P在M、N之间时，则有或， 即或， 解得：或； ③当点P在N的右边时，则， ∴， 解得：， ∴点P表示的数为或或或． 故答案为：或或或． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)，13，7 (2)①；②或6； (3)点M追上点Q后再经过2秒或秒，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7； （2）解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：； ②当时，， ∴， 解得或6； （3）解：点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·湖南张家界·期末）某动点从数轴上的点出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点，且点，所表示的数的绝对值相同，则点表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数、相反数、绝对值、一元一次方程的应用等知识，理解相反数的定义是解题关键．根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同，即点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数，设点所表示的数为，则点所表示的数为，列出关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同， 所以点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数， 设点所表示的数为，则点所表示的数为， 则，解得， 即点表示的数为． 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可． 【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴①正确； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴②正确； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴点P，Q之间的距离为8， ∴③正确； ④小俐：当时， 若点P，Q相对而行， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴此时点P，Q之间的距离为6， ∴④正确． 综上所述，正确的有①②③④，有4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 【答案】或 【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分两种情况：点P向左运动，点Q向右运动；点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：∵厘米，厘米， ∴（厘米）； （1）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒） （2）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒） ∴经过或秒时线段的长为6厘米． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴上，两点表示的数分别为、10，点C是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的点处．则点C表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据点的对应点落在数轴上的点处．则点C表示线段的中点，据此即可求解． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：2． 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．    (1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）． (2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】（1）根据线段的和与差可得，即可求得； （2）根据P的速度和矩形的周长，求得P运动的总时间，进一步求得矩形的速度，即可求得； （3）根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度，求解即可． 【详解】（1）解：若矩形速度为l，则点A的速度也为l，则运动的距离为，故， 即的值为 故答案为：． （2）解：点P的速度为2，则运动总时间为（秒）， 从M到N，长度为70，所以矩形运动速度为， 所以当点Р在边上时，点Р对应的数为， 故答案为：． （3）解：点P对应的数不变，说明矩形向右运动，点Р向左运动，二者速度“抵消”了， 所以矩形的运动速度与点P的运动速度相等， 所以， 解得， 故答案为：100． 【点睛】本题看了数轴，矩形的周长，动点问题等，根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)； (2)3或5秒 (3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得； （3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4， 点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：， 解得：； 若点在点左侧时：， 解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分， 点在点的左侧， ， ， 重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半， ， ∵， ， 解得：； 如图2，均在线段外， ， 重叠部分面积， ， ∵， ， 解得：， 故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】（1）①，；②当或时，；（2）当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ②先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； 故答案为：；； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴，， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：； ②当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时，有， 解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·湖南常德·期中）已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 【答案】(1)； (2)；； (3)秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及点的运动情况即可解答； （2）由数轴上两点间的距离公式先求出，由题意得，则，根据列出关于的方程，解方程即可； （3）由题意得，点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为秒，当点、第一次相遇时有：；当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则，解方程判断是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，且秒， ，， 故答案为：，； （2）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， 点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动， ， ， ， 解得：， 故答案为：，，； （3）解：由题意得：，， 点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， 当点、第一次相遇时有：，解得：； 当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则， 解得：， ，符合题意， 所以，当，两点运动秒时，它们第二次相遇． 1．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； 【答案】(1)或20 (2)9 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， ∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14，， ∴，点D表示的数为， ∴； 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点D的右侧时，，解得． 故答案为：或20． （2）解：设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，二者相距12个单位长度时，， 解得， 又∵点P的速度为3单位长度每秒， ∴点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，二者相距12个单位长度时， ∵点N速度比点P速度快， ∴无法做如此往返运动， ∴此种情况不存在． 故答案为：9． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点在数轴上对应的数，及A，B之间的距离． (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉头向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，三点立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位/秒，点M，N分别是，的中点，设运动的时间为，在运动过程中的值是否发生改变？若不变，请直接写出答案，若改变，说明理由． 【答案】(1)点A，B两点在数轴上对应的数分别为，200，A，B之间的距离为300 (2)P走的路程为270 (3)不变， 【分析】本题考查了非负数，数轴，一元一次方程的应用，理解题意，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据题意和非负数的性质可求出x，y的值，即可得； （2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．由题意得，，解得，或，即可得； （3）运动t秒后A，P，B三点所表示的数为,根据得，，，，根据点M，N分别是，的中点得N表示的数为，M表示的数为，可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 即点A，B两点在数轴上对应的数分别为，200，A，B之间的距离为300； （2）解：设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度． 由题意得， 解得：， 则此时点P移动的路程为， 即P走的路程为270； （3）解：运动t秒后A，P，B三点所表示的数为，，， ∵， ∴，，，， ∵M，N分别是，的中点， ∴N表示的数为，M表示的数为， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据点的移动方向列式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得点表示的数为， 故选：D． 2．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知AP=3t，BQ=t，AB=2，然后分类讨论:①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答. 【详解】解:设运动时间为t秒，由题意可知: AP=3t， BQ=t， AB=|-6-(-2)|=4，BO=|-2-0|=2， ①当动点P、Q在点O左侧运动时， PQ=AB-AP+BQ=4-3t+t=2(2-t)， ∵OQ= BO- BQ=2-t， ∴PQ= 2OQ ； ②当动点P、Q运动到点O右侧时， PQ=AP-AB-BQ=3t-4-t=2(t-2)， ∵OQ=BQ- BO=t-2， ∴PQ= 2OQ， 综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的2倍， 即PQ= 2OQ一定成立. 故选: A. 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用. 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据列方程，求解即可．找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， ，或， 解得或． 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 6．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点．若点表示的数是，则点原来表示的数是 ．    【答案】 【分析】根据题意，先求得点表示的数，根据，进而得出点表示的数，即可求解． 【详解】解：∵表示的数是，， ∴点表示的数为， 又∵， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． 8．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ． 【答案】1 【分析】根据“联动点”定义列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴将点A向右移动2个单位长度，得到点P，则点P表示的数是， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了数轴上点的移动，正确理解“联动点”的定义是解题的关键． 9．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 【答案】 5 或 【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程的实际应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键． （1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出求出即可； （2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出或，进而求出即可． 【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：， 解方程，得． 故答案为：5． （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． 或， 或 或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·湖南常德·单元测试）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （A）、两点相遇时，相遇点所对应的数是 ； （B）当为 时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】 2或或11或17 【分析】（A）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为秒，确定相遇点M对应的数是； （B）由路程、速度、时间三者关系，根据PO=QB分类求出三种情况下的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【详解】解：（A）依题意得：， 解得， 此时相遇点在“折线数轴”上所对应的数是为； 故答案为：； （B）当点在，点在上运动时，依题意得： ， 解得：， 当点、两点都在上运动时， ， 解得：， 当在上，在上运动时， ， 解得：； 当在上，在上运动时， ， 解得：； 即时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 故答案是：2或或11或17． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 11．（24-25七年级上·湖南株洲·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 12．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当运动秒时，点追上点；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为6，是数轴上在原点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，点P表示的数为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意，得， 解得， ∴当运动秒时，点追上点； ②根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离8个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离8个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 13．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 【答案】(1)1 (2)4 (3)①或；②或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及用数轴表示有理数： （1）根据两点间的距离得点N表示的有理数； （2）点P在和1之间时得点P到点M和点N的距离和的最小值； （3）①利用分类讨论思想：当点P在点M的左侧时和当点P在点N的右侧时，利用两点间的距离公式即可；②分三种情况：当点P表示的有理数是时：点Q未追上点P时和当点Q超过点P时及当点P表示的有理数是2时，利用数量间的关系即可求解； 掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 则点N所对应的有理数为1． （2）点P到点M和点N的距离和， 即：点P到和到1的距离和， 则点P到点M和点N的距离和的最小值，即点P在和1之间时， 即：点P到点M和点N的距离和的最小值为：． （3）①设点P所表示的有理数为， 由题意得：点P只能在点M的左侧或点N的右侧， 当点P在点M的左侧时： ， 解得：， 当点P在点N的右侧时： ， 解得：， 综上所述，点P所对应的有理数是或； ②由①得：点P所对应的有理数是或， 当点P表示的有理数是时， 分两种情况： 点Q未追上点P时： ， 解得：； 当点Q超过点P时： ， 解得：； 当点P表示的有理数是2时， ， 解得：， 综上所述，或或． 14．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 15．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【答案】(1)①；②点所表示的数为或； (2)点所表示的数为或或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解数轴上表示数的特征是解答关键． （1）利用当时，点是的中点来求解；分两种情况：若在左侧，若在之间，分别进行计算求解； （2）利用，画出图形进行计算求解． 【详解】（1）解：①， 当时，点是的中点， 点所表示的数． ②当时， 若在左侧，， 点所表示的数 若在之间，， 点所表示的数 点所表示的数为或． （2）解：，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，, 点所表示的数 点所表示的数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 有理数数轴的动点问题模型专训专题（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ）      A．7 B．3 C． D．2 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B．-405 C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【经典例题二 单动点问题（规律变化类】 【例2】（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数是8，且A、两点之间的距离为12． (1)数轴上点表示的数是______； (2)若数轴上有一个点到点A的距离为4，则点对应的数是______； (3)若数轴上有两个动点、，动点从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当运动几秒时，点到点的距离是点到点的距离的3倍？ 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25七年级上·湖南岳阳期末）如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 1．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点表示，点表示，点表示，我们称点和点相距个单位长度．动点，同时出发，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒，问：当，两点相距的长度与，两点相距的长度相等时，的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数相加为0，数轴的单位长度为1，则点C对应的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·湖南张家界·期末）某动点从数轴上的点出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点，且点，所表示的数的绝对值相同，则点表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴上，两点表示的数分别为、10，点C是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的点处．则点C表示的数是 ． 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．    (1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）． (2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示） (3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·湖南常德·期中）已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 1．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点在数轴上对应的数，及A，B之间的距离． (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉头向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，三点立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位/秒，点M，N分别是，的中点，设运动的时间为，在运动过程中的值是否发生改变？若不变，请直接写出答案，若改变，说明理由． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 2．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 3．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 7．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点．若点表示的数是，则点原来表示的数是 ．    8．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ． 9．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 10．（24-25七年级上·湖南常德·单元测试）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： （A）、两点相遇时，相遇点所对应的数是 ； （B）当为 时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 11．（24-25七年级上·湖南株洲·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 12．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 13．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 14．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$