专题03 绝对值与相反数重难点题型专训（6个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+9大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 求一个数的绝对值 题型四 绝对值的非负性 题型五 绝对值方程 题型六 绝对值的几何意义 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数的大小比较 题型九 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题 拓展训练四 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．的相反数是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：A、是5的相反数，原说法错误，不符合题意； B、是的相反数，原说法错误，不符合题意； C、正数与负数不一定互为相反数，原说法错误，不符合题意； D、的相反数是5，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数互为相反数． 根据相反数的定义得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：5． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列四组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多重复号的化简，掌握多重符号化简的计算方法是解题的关键． 【详解】A. 与不相等，不符合题意； B. 与不相等，不符合题意； C. 与，不相等，不符合题意； D. 与，相等，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2025七年级上·湖南怀化·专题练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列式子中，化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，绝对值的含义，掌握相反数的定义是解答本题的关键．根据相反数的定义，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正，有绝对值先计算绝对值． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）化简： ， ． 【答案】 / 【分析】分别利用多重符号化简的法则及绝对值化简即可． 【详解】解：， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查多重符号的化简及绝对值，若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“-”的个数来决定，即奇数个符号“-”则该数为负数，偶数个符号“-”，则该数为正数.掌握多重符号化简的法则和绝对值的意义是解题的关键． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵a是有理数 ∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知： ∴ 即：的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·湖南常德·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若都是有理数，且 ，，那么与 的关系是（ ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据题意得到整理得，根据相反数的定义即可得到与的关系． 【详解】解：，， ， ， 与互为相反数， 故选：A ． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）式子所表示的意义是 ． 【答案】的相反数 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义即可求解； 【详解】解：根据题意可知，式子所表示的意义是的相反数； 故答案为：的相反数 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的定义； （1）根据相反数的定义及确定点表示的数是，点表示的数是，由，得点所表示的数，即可求出； （2）根据数轴上两点间的距离分别得到点，，表示的数，即可求出的值． 【详解】（1）解：点，所表示的数互为相反数，， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， 点所表示的数是， 此时， （2）数轴上点表示的数为，， 点所表示的数是， ， 点所表示的数是， ． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键．根据化简多重符合的方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，根据多重符号的计算顺序去括号即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【经典例题三 求一个数的绝对值】 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知是整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 由，是整数，可得，然后求解作答即可． 【详解】解：∵，是整数， ∴， 解得，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·单元测试）填空：（1） 的相反数是它本身；   （2）若x，y互为相反数，则 ； （3）绝对值等于7.9的数是 ；     （4） 的绝对值是 ， 【答案】 0 0 5 【分析】本题考查相反数和绝对值以及多重符号化简；根据相反数的定义和绝对值定义求解即可． 【详解】（1）0的相反数是它本身； （2）若x，y互为相反数，则； （3）绝对值等于7.9的数是 （4） ，5绝对值是5 故答案为：0，0，，5． 4．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 【经典例题四 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 【经典例题五 绝对值方程】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解法，掌握解法是解题的关键． 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的两点间的距离，绝对值方程，关键是理解数轴上两点间的距离的含义； 设所求数为x，依据数轴两点距离公式列出绝对值方程，根据绝对值定求解即可。 【详解】解：设所求的数为x， ∵数轴上一点为，它与的距离是个单位长度， ∴，即． 当时，解方程可得； 当时，解方程可得． ∴距离表示的点是个单位长度的数是或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了绝对值方程，根据题意得到，则或，即可求出答案． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得或， 故答案为：或． 3．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值方程，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的相关知识及运算法则是解题的关键． 解绝对值方程可得，，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 【经典例题六 绝对值的几何意义】 【例6】（24-25七年级上·湖南常德·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 1．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）若，，，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义可得，，进而由即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【经典例题七 绝对值的其他应用】 【例7】（2025·湖南常德·模拟预测）一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选：C 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（    ） A．0 B．﹣1009 C．﹣1011 D．﹣2021 【答案】C 【分析】根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从a3开始2个一循环，本题即可求解． 【详解】解：∵a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|， ∴a2=-2，a3=-1，a4=0，a5=-1，a6=0，a7=-1，……，a2020=0，a2021=-1， ∴从a3开始2个一循环， ∴a1+a2+a3+…+a2021=（1-2）+（-1+0）×1009+（-1）=-1011． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是得到这列数从a3开始2个一循环的规律． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的应用，正确掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或， (2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 【经典例题八 有理数的大小比较】 【例8】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：A．是正数，是负数，正数恒大于负数，故，A错误． B．比较与：绝对值，故，B错误． C．，与比较，，故不成立，C错误． D．比较与：绝对值，故，D正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较．法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 先化简，然后根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】A、∵1.5>1， ∴， ∴A不正确；     B、∵， ∴， ∴B不正确；     C、∵，，， ∴， ∴C正确；     D、∵，，， ∴， ∴D不正确． 故选：C． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）分数的整数部分是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的比较大小，根据题意，先求出分母的取值范围，再根据分数的性质，求出分数的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴分数的整数部分是， 故答案为：. 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解． 【详解】解：（1）； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以． 故答案为：；； 4．（2024七年级上·湖南·专题练习）已知某地某一天的气温如下表： 2时 6时 8时 10时 12时 15时 根据上表中的气温，回答： (1)从左到右，表中的气温是由 到 （填“高”或“低”）变化； (2)根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系（用“＜”或“＞”填空）： 0 1 3； (3)在如图所示的数轴上画出表示数、、、0、1、3的各点； (4)根据（3）中各点在数轴上的位置关系，你能总结出在数轴上比较数大小关系的方法吗？ 【答案】(1)低，高 (2)＜，＜，＜，＜，＜ (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大． （1）根据表中数据直接回答即可； （2）由正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可解答； （3）直接在数轴上表示各数即可； （4）结合（2）中的大小关系与（3）中各数在数轴上的位置可总结出在数轴上比较数大小关系的方法． 【详解】（1）解：从左到右，表中的气温是由低到高； 故答案为：低，高； （2）解：根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系为： ； 故答案为：＜，＜，＜，＜，＜； （3）解：在数轴上画出表示数、、、0、1、3的各点如图所示： （4）解：根据（3）中各点在数轴上的位置关系，总结出在数轴上比较数大小关系的方法为：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大． 【经典例题九 有理数大小比较的实际应用】 【例9】（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（   ） A．铝 B．酒精 C．水银 D．水 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．比较四个晶体物质的凝固点，即可得到答案． 【详解】解：， 凝固点最低的是酒精， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）立冬是冬季的第一个节气，通常标志着气温逐渐下降，进入冬季．如图记录了某地连续5天的日最低气温，则这5天中日最低气温中最低的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，根据题意比较大小，即可求解． 【详解】解： ∴这5天中日最低气温中最低的一天是星期二， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）甲地海拔为米，乙地海拔为米，丙地海拔为米．甲、乙、丙三地中最高处为 地，最低处为 地． 【答案】 甲 丙 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较出各数的大小即可求解，掌握正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最高处为甲地，最低处为丙地， 故答案为：甲，丙． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【答案】14 【分析】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和有理数大小比较是解题的关键；． 根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 在这五笔交易中，支出用负数表示， ，，，， ， 由于是最大的绝对值， 所以4月14日的支出是最多的， 故答案为：14． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)增加衣服，因为莫斯科的温度比北京温度低 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案； （2）用求出8400减去7500的结果，再把结果前面添上负号即可得到答案； （3）比较出莫斯科和北京的温度高低即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴此时莫斯科的时间为凌晨1点， ∴他看到天空的景象可能是繁星点点， 故选：B； （2）解：， ∴陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作， 故答案为：； （3）解：增加衣服，理由如下： ∵， ∴莫斯科的温度比北京的温度低， ∴应该增加衣服． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案． 【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下， 开始时+ + + + + + 第一次- - - - + + 第二次- + + + - + 第三次- - - - - - ∴n的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】根据相反数的性质和绝对值的性质判断即可； 【详解】∵若a、b互为相反数， ∴， ∴当a，b不为0时，＝﹣1，故①不正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0，＜0 ， ∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b， 故③正确； ∵|a|＞|b|， ∴， ∴， ∴（a+b）•（a﹣b），故④正确； ∴正确的是③④． 故答案是③④． 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，绝对值的性质，准确分析判断是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）（1）已知与互为相反数，试求的值； （2）设a、b、c为整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据相反数的定义以及绝对值和平方的非负性求得，将代入式子，化简求解即可； （2）根据平方的非负性以及题意，求得a、b、c的关系，代入绝对值式子，求解即可． 【详解】解：（1）由题可知+=， 解得，； 原式= = （2）因为，，为整数，且， 所以①，即，； ②，即，； 综上所述， 所以． 【点睛】此题考查了相反数的定义、绝对值以及平方的非负性，解题的关键是结合题意，利用性质正确求得的值或a、b、c的关系． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴和绝对值，由可知，，，所以，然后根据数轴上a和b的位置判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 只有选项C符合． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与绝对值的综合，解题的关键是掌握绝对值的性质和数轴的性质．结合数轴可知，得到，进而即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可得， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 【拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，  A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，   如图甲，； 当A、B两点都不在原点时，                            ① 如图乙，点A、B都在原点的右边，                                                                 ； ② 如图丙，点A、B都在原点的左边， ； ③ 如图丁，点A、B在原点的两边 ． 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2） 回答下列问题： ① 数轴上表示 2和的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 ， 如果，那么 ； ③ 代数式，x的取值范围是 ． ④ 当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是 ． 【答案】①7；②，2或③④ 【分析】本题考查了数轴、绝对值等，解题关键是理解数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值． ①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和的两点之间的距离； ②同①可求数轴上表示x和的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x； ③分三类情况进行化简得出方程，即可求出x为2或； ④当取最大值时，可分三类情况进行讨论，进而得出结论． 【详解】解：①数轴上表示2和的两点之间的距离是， 故答案为：7； ②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是， ∵， ∴ ∴或， 解得，或； 故答案为：；2或； ③∵当时，， 当时，， 当时， 所以，当时，， ④当取最大值时，可分三类情况进行讨论， 当时， 当时，， 当时，当时， 所以，当时， 当时， 综上，当时，有最大值． ∴当|取最大值时，x的取值范围为． 【拓展训练四 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 3．（2025七年级上·湖南永州·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）如果，那么x等于 A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查的是绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：A、，，不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，，不互为相反数，故此选项不符合题意； C、与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、，，互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题可得，则可得到与的关系，即可得到答案． 【详解】为不为零的有理数 ， 互为相反数 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的换算，相反数的性质，熟练掌握是解题关键． 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）9的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的概念，只有符号不同的两个数，可得结果． 【详解】解：9的相反数是； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）化简：(1) ；(2) ；(3) ． 【答案】 / 2 【分析】(1)根据多重符号的化简解答即可； (2) 根据多重符号的化简解答即可； (3)根据绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】解：(1)， 故答案为：． (2)， 故答案为：． (3)， 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知有理数a在数轴上的位置如图所示，试判断a，， 三者的大小关系，并用不等号“<”连接起来，则结果是 ． 【答案】 【分析】根据图示，可得：，据此判定出、、大小关系即可．本题考查了数轴，有理数大小比较，理清的取值范围是解答本题的关键． 【详解】解：， ，， ． 故答案为： 9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 11．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 【答案】（1）①3.1415；②75；（2）5 【分析】本题主要考查化简多重符号及相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； （1）根据“同号得正，异号得负”可进行求解； （2）根据“同号得正，异号得负”及相反数的意义可进行求解． 【详解】解：（1）①； ②； （2）∵，且a是的相反数， ∴． 12．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 13．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+9大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 求一个数的绝对值 题型四 绝对值的非负性 题型五 绝对值方程 题型六 绝对值的几何意义 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数的大小比较 题型九 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题 拓展训练四 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．的相反数是5 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列四组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）化简 ． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2025七年级上·湖南怀化·专题练习）（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算： ． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列式子中，化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）化简： ， ． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若则 ． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（2025·湖南常德·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若都是有理数，且 ，，那么与 的关系是（ ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）式子所表示的意义是 ． 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）下列各式中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）的值是 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题三 求一个数的绝对值】 【例3】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知是整数，且，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·单元测试）填空：（1） 的相反数是它本身；   （2）若x，y互为相反数，则 ； （3）绝对值等于7.9的数是 ；     （4） 的绝对值是 ， 4．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【经典例题四 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【经典例题五 绝对值方程】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 2．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若，则 ． 3．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）已知，，且，则m的值为 ；n的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【经典例题六 绝对值的几何意义】 【例6】（24-25七年级上·湖南常德·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 1．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）若，，，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，则的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【经典例题七 绝对值的其他应用】 【例7】（2025·湖南常德·模拟预测）一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知2021个整数a1，a2，a3，…，a2020满足下列条件：a1＝1，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+1|，……a2020＝﹣|a2019+1|，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（    ） A．0 B．﹣1009 C．﹣1011 D．﹣2021 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【经典例题八 有理数的大小比较】 【例8】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是(   ) A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D．       2．（2025·湖南娄底·模拟预测）分数的整数部分是 ． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 4．（2024七年级上·湖南·专题练习）已知某地某一天的气温如下表： 2时 6时 8时 10时 12时 15时 根据上表中的气温，回答： (1)从左到右，表中的气温是由 到 （填“高”或“低”）变化； (2)根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系（用“＜”或“＞”填空）： 0 1 3； (3)在如图所示的数轴上画出表示数、、、0、1、3的各点； (4)根据（3）中各点在数轴上的位置关系，你能总结出在数轴上比较数大小关系的方法吗？ 【经典例题九 有理数大小比较的实际应用】 【例9】（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（   ） A．铝 B．酒精 C．水银 D．水 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）立冬是冬季的第一个节气，通常标志着气温逐渐下降，进入冬季．如图记录了某地连续5天的日最低气温，则这5天中日最低气温中最低的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期五 2．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）甲地海拔为米，乙地海拔为米，丙地海拔为米．甲、乙、丙三地中最高处为 地，最低处为 地． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期末）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）（1）已知与互为相反数，试求的值； （2）设a、b、c为整数，且，求的值． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，  A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，   如图甲，； 当A、B两点都不在原点时，                            ① 如图乙，点A、B都在原点的右边，                                                                 ； ② 如图丙，点A、B都在原点的左边， ； ③ 如图丁，点A、B在原点的两边 ． 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2） 回答下列问题： ① 数轴上表示 2和的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 ， 如果，那么 ； ③ 代数式，x的取值范围是 ． ④ 当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是 ． 【拓展训练四 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 3．（2025七年级上·湖南永州·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）如果，那么x等于 A．5 B． C．5或 D．不能确定 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（    ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）9的相反数是 ． 7．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）化简：(1) ；(2) ；(3) ． 8．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知有理数a在数轴上的位置如图所示，试判断a，， 三者的大小关系，并用不等号“<”连接起来，则结果是 ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 11．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）（1）化简下列各数： ①； ②； （2）若a是的相反数，求a的值． 12．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 13．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 14．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$