专题07 有理数90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

第07讲 有理数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 题型九 有理数的新定义运算 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： 2．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算：． 3．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算异号两数相加： (1)（+32）+（−14） (2)（+4）+（−9） (3)0.2+（） (4)（−9.75）+0 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1) (2) 5．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 6．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： (1)； (2)； 8．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）若，计算： (1)x，y，z的值． (2)求的值． 9．（2025七年级上·湖南·模拟预测）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【经典计算题二 有理数的减法计算】 11．（24-25七年级上·湖南常德·课后作业）计算：（﹣4）﹣5 12．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 15．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 17．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 18．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 19．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是_______； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、_______； (3)请将过程补充完整． 20．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】（1）把下列式子写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ① ；② ； 【深入运用】（2）当时， ；当时， ； 【拓展运用】（3）计算：． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 21．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算和猜想∶ (1) (2) 22．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）计算：． 23．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1)； (2)． 25．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)． 26．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）计算： (1)； (2) 27．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 28．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3) 29．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)填空： ； (2)若为有理数，则______；（填“”“”或“”） (3)求的值． 30．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：， 所以： ． 计算： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 31．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（24-25七年级上·湖南株洲·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 33．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)﹣91÷13； (2)﹣56÷（﹣14）； (3)（﹣42）÷12； (4)16÷（﹣3）； (5)﹣600÷15； (6)（﹣48）÷（﹣16）． 34．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 35．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 36．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 37．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算： (1)若，则______． (2)计算：． (3)根据以上信息可知：______． 38．（24-25七年级上·湖南永州·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 39．（24-25七年级上·湖南常德·期中）可可在计算时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为，则被墨水污染的这个数为______． (2)请你正确计算此题，结果为______． 40．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）在学习了有理数的四则运算后，老师布置了一道计算题，小明的演算过程如下：     第一步     第二步 ． 第三步 请认真阅读小明的解题过程并完成相应任务． (1)小明运算步骤中第一步对应的依据为________． (2)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出正确的结果．   【经典计算题五 有理数的乘方计算】 41．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 42．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 43．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算： 44．（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）计算： 45．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）计算： (1)； (2)． 46．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知，求的值． 47．（24-25七年级上·湖南株洲·单元测试）（为正整数） 48．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 49．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 50．（24-25七年级上湖南娄底·期中）为了计算，我们采用如下方法： 设，① 则．② 由②①，得， 即， 利用上述方法，请你计算． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 51．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算：．            52．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算： （1）     （2） 53．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算： 54．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）简便计算． (1) (2) (3) (4) 55．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算下面各题． (1) (2) (3) (4) 56．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算． (1)； (2)； (3)． 57．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 58．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 59．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 60．（24-25七年级上·湖南怀化·单元测试）观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想：__________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②__________； (3)探究并计算：． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 61．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）用简便方法计算： 62．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 63．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1)； (2) 64．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 65．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 66．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 67．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算下列各题（能用简便计算的要用简便计算）： ① ② ③99×（－4）－×24          ④ 68．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 69．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）利用加法运算律简便运算． (1)； (2)； (3)． 70．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 71．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知：；；；…… (1)探索：第n个式子= ； (2)按上述规律计算：……. 72．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 73．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 74．（24-25七年级上·湖南常德·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 75．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）； ①_____； ②_____； ③_____． 【拓广应用】 （2）计算： ④； ⑤． 76．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）学习情境·阅读理解先阅读材料，再解相关的问题： ； ； … 请运用上述规律计算： ． 77．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）（1）请观察下列算式： ， ， ，， 则第个算式为 ； 第个算式为 ； （2）运用以上规律计算： （3）如果，求的值． 78．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）阅读下列材料，并完成填空． 你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较和（，且n为整数）的大小，然后从分析的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算（可用计算器）比较下列①-⑦组两数的大小：（在横线上填上“>”“=”或“<”） ①_______；②_______；③_______；④_______；⑤_______⑥_______；⑦_______； (2)归纳第（1）问的结果，可以猜想出和的大小关系； (3)根据以上结论，可以得出和的大小关系． 79．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察以下图案和算式，思考其中蕴含的对应关系，并解答问题： (1)___________； (2)___________； (3)求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中是下标，5是上标，是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：．结合你在（2）中发现的规律，求出的值，要求写出计算过程． 80．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对于有理数a，b，定义新运算： 例如 (1)计算：5☆4的值； (2)计算：的值． 【经典计算题九 有理数的新定义运算】 81．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）七年级（1）班的小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求 (2)求 82．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．，，，请你想一想： (1)________；________； (2)若，那么________（填入“”或“”）； (3)计算：． 83．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 84．（24-25七年级上·湖南永州·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 85．（24-25七年级上·湖南常德·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 86．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）用“*”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定， 如． (1)求的值为； (2)求的值． 87．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ；；； （1）请你算一算：_____； （2）请你想一想：_____； （3）若，请计算的值． 88．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）我们知道：，，． 根据规律填空：__________，__________． 根据以上规律计算： （1）； （2）若与互为相反数，求 89．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）定义一种新运算“”，其规则为．例如，． (1)计算值为 ； (2)已知，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 90．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 题型九 有理数的新定义运算 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据有理数加法法则和运算律进行解答即可得． 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查了有理数加法，解题的关键是掌握有理数加法的法则和运算律． 2．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握裂项法．将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算异号两数相加： (1)（+32）+（−14） (2)（+4）+（−9） (3)0.2+（） (4)（−9.75）+0 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：（+32）+（−14） （2）（+4）+（−9） （3）0.2+（） （4）（−9.75）+0 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，运算法则为：同号的两数相加，取与加数相同的正负号，再把绝对值相加，绝对值不相等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，0与一个数相加仍得这个数；掌握与理解法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可以把分数化成小数，利用加法运算律进行简便运算； （1）可以先去括号，再利用加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案】（1）；（2）4；（3）13；（4）22；（5）；（6）；（7）；（8）9；（9） 【分析】根据有理数加减混合运算规则逐个算出答案即可． 【详解】（1）原式=-（8+9） =-17 （2）原式=21-17 =4 （3）原式=25-12 =13 （4）原式=45-23 =22 （5）原式=-（45-23） =-22 （6）原式=-（29+31） =-60 （7）原式=-（39+45） =-84 （8）原式=37-28 =9 （9）原式=0-13 =-13 【点睛】本题考查最基本的有理数加减，注意符号是正确解题的关键． 6．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键： （1）直接根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）若，计算： (1)x，y，z的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)18 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数加法运算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． （1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出方程，即可解出、、的值； （2）将（1）中求出的、、的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得，，； （2）解：当，，时， ． 9．（2025七年级上·湖南·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5050 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）把相邻两个数放一起做加法得到结果为，而一共可以分成50组，据此求和即可； （2）把第1个数和最后1个数相加得到101，第2个数和倒数第2个数相加得到101，第3个数和倒数第3个数相加得到101，据此可得一共有50个101求和，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 11．（24-25七年级上·湖南常德·课后作业）计算：（﹣4）﹣5 【答案】 【分析】根据有理数减法的运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握运算法则是解题关键． 12．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；将减法化为加法进行运算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的减法运算法则． 14．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了有理数的加法和减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据加法法则进行计算，即可作答． （2）根据加法法则进行计算，即可作答． （3）根据减法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）16；（2）2；（3）0；（4）－3；（5）－30；（6）－14.6． 【解析】略 16．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 18．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是_______； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、_______； (3)请将过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，转化 (2)交换律；结合律 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则解答即可； （2）根据运算法则解答即可； （3）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，体现了数学中的转化思想； 故答案为：有理数的减法法则，转化； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法的交换律和结合律； 故答案为：交换律；结合律； （3） 原式 20．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】（1）把下列式子写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ① ；② ； 【深入运用】（2）当时， ；当时， ； 【拓展运用】（3）计算：． 【答案】（1）①；②；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简，正确化简绝对值是解答本题的关键． （1）结合有理数减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数加减运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】解：（1）①， ②， 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，； 故答案为：；； （3） ． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 21．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算和猜想∶ (1) (2) 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题主要考查了有理数和零相乘，掌握任何数与零的积均为零成为解题的关键． （1）直接根据任何数与零的积均为零即可解答； （2）直接根据任何数与零的积均为零即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 22．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算括号内的乘法，得，再算减法，得，即可作答． 【详解】解： 23．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 24．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先把带分数化为假分数，然后进行乘法计算，再计算减法，即可求解； （2）先计算乘法再计算减法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 26．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，灵活运用乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）先对式子进行变形，再利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律及熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键． （1）根据题意得到，原式变形为，即可求解； （2）根据题意得到，原式变形为，即可求解； （3）把原式变形为，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解： ． 29．（24-25七年级上·湖南常德·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)填空： ； (2)若为有理数，则______；（填“”“”或“”） (3)求的值． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）直接利用新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，计算后，进行判断即可； （3）利用新运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0； （2），， ∴； 故答案为：； （3） ． 30．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：， 所以： ． 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中给出的式子找出规律，再进行计算即可得到答案； （2）根据，，得出，再进行计算即可得到答案； （3）将式子化为，再利用题中所给的规律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，， ， ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律及，熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 31．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除，0除以任何不为0 的数都得0，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数除法，掌握有理数除法运算法则，是解答本题的关键． 32．（24-25七年级上·湖南株洲·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 33．（2025七年级上·湖南怀化·模拟预测）计算： (1)﹣91÷13； (2)﹣56÷（﹣14）； (3)（﹣42）÷12； (4)16÷（﹣3）； (5)﹣600÷15； (6)（﹣48）÷（﹣16）． 【答案】(1)-7 (2)4 (3)-3.5 (4) (5)-40 (6)3 【分析】（1）根据有理数的除法法则求出即可； （2）根据有理数的除法法则求出即可； （3）根据有理数的除法法则求出即可； （4）根据有理数的除法法则求出即可； （5）根据有理数的除法法则求出即可； （6）根据有理数的除法法则求出即可． 【详解】（1）解：﹣91÷13＝﹣7 （2）﹣56÷（﹣14）＝4 （3）（﹣42）÷12＝﹣3.5 （4）16÷（﹣3）＝﹣ （5）﹣600÷15＝﹣40 （6）（﹣48）÷（﹣16）＝3 【点睛】本题考查了有理数的除法法则的应用，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 34．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6)6 (7) (8) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是掌握有理数相关的运算法则． （1）先化简，再结合有理数的加减运算的法则进行运算即可； （2）先化简，再结合有理数的加减运算的法则进行运算即可； （3）先化简，再利用有理数的加法的运算律进行运算较简便； （4）先算除法，再算加减即可； （5）把除法转为乘法，再算乘法即可； （6）利用乘法的运算律进行运算即可； （7）把除法转为乘法，再算乘法即可； （8）利用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： （5）解： ； （6）解： ； （7）解： （8）解： 36．（24-25七年级上·湖南常德·期末）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意利用小明解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ； ∴． 37．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）阅读以下材料，完成相关的填空和计算： (1)若，则______． (2)计算：． (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、倒数，灵活运用倒数求解是解答的关键． （1）根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数和乘法分配律求解即可； （3）根据（2）中计算结果和倒数定义可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由上知， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级上·湖南永州·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 39．（24-25七年级上·湖南常德·期中）可可在计算时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为，则被墨水污染的这个数为______． (2)请你正确计算此题，结果为______． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法以及有理数的乘除法． （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入加法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意得：被墨水污染的减数为：； （2）解：． 40．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）在学习了有理数的四则运算后，老师布置了一道计算题，小明的演算过程如下：     第一步     第二步 ． 第三步 请认真阅读小明的解题过程并完成相应任务． (1)小明运算步骤中第一步对应的依据为________． (2)小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出正确的结果． 【答案】(1)除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数 (2)二，运算符号错误（答案不唯一，合理即可） (3) 【分析】本题考查有理数的除法以及乘法分配律； （1）根据有理数的除法法则回答即可； （2）根据乘法法则求解即可； （3）先把除法化为乘法，再利用乘法分配律求解即可 【详解】（1）小明运算步骤中第一步对应的依据为：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数； （2）小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是运算符号错误； （3）           ． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 41．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的运算法则是解本题的关键； （1）由，再计算即可； （2）由，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 42．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 43．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 44．（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算；把原式整理成，进行简便运算即可． 【详解】解： ， ． 45．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加法运算，有理数的乘法运算，有理数的乘方运算，正确运算是解题的关键． （1）按照有理数的加减法法则，把算式写成省略括号的和的形式，再进行加减运算； （2）先进行绝对值，有理数的乘法与乘方运算，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ． 46．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性，求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴． 47．（24-25七年级上·湖南株洲·单元测试）（为正整数） 【答案】0或 【分析】本题考查了乘方的运算，根据的偶次幂为1，奇次幂为，进行分类计算即可，找出数字规律是解题的关键． 【详解】解：当偶数时， ， 当奇数时， ， 48．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 49．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的加法运算等知识点，理解劳格数的定义并正确的列式计算是解题的关键． （1）根据劳格数的定义即可求出答案； （2）根据劳格数的定义列式计算即可； （3）根据劳格数的定义先求出，的值，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为∶，； （2）解：，， ，， ， 故答案为∶； （3）解：， ， ， ， 为正整数， ， ． 50．（24-25七年级上湖南娄底·期中）为了计算，我们采用如下方法： 设，① 则．② 由②①，得， 即， 利用上述方法，请你计算． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给的方法进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得， ， ． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 51．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘除法运算法则是关键． 根据有理数的混合运算，先算乘除，再算加减，注意符号变化． 【详解】解：                  ． 52．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算： （1）     （2） 【答案】（1）0.1；（2）-4； 【分析】（1）先化简，再按照有理数混合运算的顺序计算即可； （2）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减计算即可． 【详解】（1） （2） . 53．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法； 【详解】解： ． 54．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）简便计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)400 (2)25 (3) (4) 【分析】本题考查了小数，分数，百分数之间的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将原算式变形为，再进行计算； （2）将原算式变形为，先利用乘法分配律进行括号内计算，再计算除法； （3）括号内先利用乘法分配律进行计算，再计算除法； （4）将原算式变形为，再由乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 55．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）计算下面各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算是解题的关键， （1）先提公因式，再计算括号内的分数，再相乘即可得到答案； （2）利用有理数混合运算法则计算即可得到答案； （3）观察式子，将分数项、小数项分别结合，再依次计算即可得到答案； （4）利用乘法分配率计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 56．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，四则混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）把分母相同的两个数先加，再计算即可； （3）先计算乘法与除法运算，再计算加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 57．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （4）先将小数化为分数，再对括号内通分计算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （5）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （6）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 58．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （）根据有理数的新定义运算计算先求出的值，进而求出的值即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴． 59．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4)与的和除以与的差，得多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数四则混合运算法则是解题的关键， （1）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （2）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （3）利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案； （4）根据题意列出式子，再利用有理数四则混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：由题可得： ． 60．（24-25七年级上·湖南怀化·单元测试）观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想：__________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②__________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及异分母分式的减法，解答的关键是分析出所存在的规律并灵活运用． （1）仿照例题，裂项相消可得； （2）①仿照例题，用裂项相消的方法，将式子①化简，计算求解即可；②用裂项相消的方法，将式子②化简，计算求解即可； （3）根据（2）的方法将所求式子用裂项相消的方法化简求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ； ② ； （3）原式 ． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 61．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，直接利用运算律把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 62．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据乘法的分配律计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 63．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． （1）根据乘法的交换律进行计算即可； （2）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，除法运算以及乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． ②先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行计算，即可作答． ③先运算括号内，再把除法化为乘法，根据乘法运算律进行计算，即可作答． ④先运算乘法，再运算加减，即可作答． 【详解】解：① ； ② ． ③ ； ④ ． 65．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数计算，加法交换律和结合律，分配律，将分数拆项计算是解题的关键． （1）先提取公因数，再对各分数拆项后相加即可； （2）对分母提取公因数4，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，乘法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）利用交换律和结合律计算，再进行加减计算； （2）先利用乘法分配律得到，再进行剩余部分计算； （3）直接利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 67．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算下列各题（能用简便计算的要用简便计算）： ① ② ③99×（－4）－×24          ④ 【答案】①－20；②-3（或-3.75）；③373（或373.5）；④－8 【分析】①根据有理数乘法的分配律求解即可； ②首先同分母分数相加减，然后再根据有理数的加减运算法则求解即可； ③根据有理数乘法的分配律求解即可； ④先算乘方和绝对值，然后根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】① = = =-20； ② =-（）-（） =-4-7 =-3（或-3.75） ③ 99×（－4）－×24 =（100）×4 =（100 =399 =373（或373.5） ④ =4×（2）9 =4+69 =8 【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和简便运算方法． 68．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 69．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）利用加法运算律简便运算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查有理数加法运算： （1）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行简算即可； （3）利用加法交换律和结合律进行简算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 70．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 71．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）已知：；；；…… (1)探索：第n个式子= ； (2)按上述规律计算：……. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了探索数与式的规律，解题的关键是要找出数与式之间的规律． （1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为，； （2）解：+…+ ． 72．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 73．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）按照题目中得出的规律得出结果即可； （2）按照题目中得出的规律进行计算即可； （3）将方程变形为，根据解析（2）中的结果原方程可变为，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； … ∴； 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知条件得出一般规律． 74．（24-25七年级上·湖南常德·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 探索以上等式的规律，解决下列问题： (1) ； (2)完成第n个等式的填空：； (3)利用上述结论，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律探究，有理数的混合运算； （1）根据题目中的规律,写出答案即可； （2）根据题目中的规律，推论答案即可 （3）利用规律通式，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2）由题意可得，， 故答案为：； （3） ． 75．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）； ①_____； ②_____； ③_____． 【拓广应用】 （2）计算： ④； ⑤． 【答案】（1）①；②；③；（2）④；⑤ 【分析】（1）根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （2）④根据题意可去绝对值得到，据此求解即可；⑤根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）④ ； ⑤ ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意掌握去绝对值的方法是解题的关键． 76．（2025七年级上·湖南株洲·模拟预测）学习情境·阅读理解先阅读材料，再解相关的问题： ； ； … 请运用上述规律计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数混合运算中的简便计算，依照阅读材料中的方法，将原式变形为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 77．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）（1）请观察下列算式： ， ， ，， 则第个算式为 ； 第个算式为 ； （2）运用以上规律计算： （3）如果，求的值． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）根据规律即可写出第个算式及第个算式； （）根据进行计算即可； （）根据非负性求出的值，然后再根据进行计算即可； 本题主要考查有理数的运算法则，非负性质，熟练掌握有理数的运算法则以及正数、负数的符号表示的实际意义是解题的关键． 【详解】解：（）第个算式： 第个算式为： （）解： ； （）∵ ∴，， ． 78．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）阅读下列材料，并完成填空． 你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较和（，且n为整数）的大小，然后从分析的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算（可用计算器）比较下列①-⑦组两数的大小：（在横线上填上“>”“=”或“<”） ①_______；②_______；③_______；④_______；⑤_______⑥_______；⑦_______； (2)归纳第（1）问的结果，可以猜想出和的大小关系； (3)根据以上结论，可以得出和的大小关系． 【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞ (2)当n=1或2时，；当n≥3且为整数时，； (3)＞． 【分析】（1）通过计算比较大小即可； （2）根据（1）的结果，猜想即可； （3）由（2）当n=2021时，＞，即可求解． 【详解】（1）解：①∵=1，=2， ∴＜； 故答案为：＜； ②∵=8，=9， ∴＜； 故答案为：＜； ③∵=81，=64， ∴＞； 故答案为：＞； ④∵=1024，=625， ∴＞； 故答案为：＞； ⑤∵=15625，=5556， ∴＞； 故答案为：＞； ⑥∵=279936，=117649， ∴＞； 故答案为：＞； ⑦∵=5764801，=2097152， ∴＞； 故答案为：＞； （2）解：当n=1或2时，； 当n≥3且为整数时，； （3）解：当n≥3且为整数时，， ∴当n=2021时，＞． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，猜想出一般规律，并运用规律是解题的关键． 79．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察以下图案和算式，思考其中蕴含的对应关系，并解答问题： (1)___________； (2)___________； (3)求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中是下标，5是上标，是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：．结合你在（2）中发现的规律，求出的值，要求写出计算过程． 【答案】(1)100 (2) (3)625 【分析】 （1）利用所得规律计算可得； （2）利用（1）中所得规律计算可得； （3）由，利用所得规律计算可得． 【详解】（1） ， 故答案为：100； （2） ， 故答案为：； （3） 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是掌握连续个奇数的和等于的规律． 80．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对于有理数a，b，定义新运算： 例如 (1)计算：5☆4的值； (2)计算：的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）按照定义的新运算代入数值进行计算即可； （2）按照定义的新运算分步进行计算即可． 【详解】（1）解：， 即5☆4的值为3； （2）， ， 即的值为． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则和顺序是解题的关键． 【经典计算题九 有理数的新定义运算】 81．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）七年级（1）班的小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求 (2)求 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义和有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据新定义和有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得： ； （2）解： ． 82．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．，，，请你想一想： (1)________；________； (2)若，那么________（填入“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1)28； (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将和计算出来，再用作差法比较即可； （3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：总结规律得：；； 故答案为：28，． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 83．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 84．（24-25七年级上·湖南永州·期中）定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 85．（24-25七年级上·湖南常德·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 86．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）用“*”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定， 如． (1)求的值为； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)41 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算； （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； 理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 87．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ；；； （1）请你算一算：_____； （2）请你想一想：_____； （3）若，请计算的值． 【答案】（1）-21；（2）5a+b；（3）10 【分析】（1）根据题意列出算式，根据有理数的混合运算法则计算； （2）根据题意列出代数式； （3）根据得到5a-b=5，再将化简变形，最后代入计算． 【详解】解：（1）（-3）×5-6=-21， 故答案为：-21； （2）由题干以及（1）可猜想： 5a+b， 故答案为：5a+b； （3）∵， ∴5a-b=5， ∴ =5a-5b+5a+3b =2（5a-b） =10 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握它们的运算法则是解题的关键． 88．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）我们知道：，，． 根据规律填空：__________，__________． 根据以上规律计算： （1）； （2）若与互为相反数，求 【答案】，；（1）；（2） 【分析】直接根据题干中的式子变形即可解答； （1）先将原式写成，然后运用加法结合律、拆项，然后再进行计算即可解答； （2）根据与互为相反数列式求得a、b的值，然后再化简所求代数式，最后代入计算即可． 本题主要考查了数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现式子的变化特点是解答本题的关键． 【详解】解：，， 故答案为：， （1）； ． （2）解：∵与互为相反数， ∴， 解得， ∴ ． 89．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）定义一种新运算“”，其规则为．例如，． (1)计算值为 ； (2)已知，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)5 (2) (3)不满足，举例见解析 【分析】（1）按照新运算“”的规则进行计算即可； （2）按照新运算“”的规则建立方程，解方程即可； （3）按照新运算“”的规则计算，举例说明不满足即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：由得，， 解得，． （3）不满足，举例：；． 【点睛】本题考查了新定义运算和有理数计算，解题关键是正确理解题意，按照新定义运算法则进行计算． 90．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或 【分析】本题考查有理数混合运算及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$