期中数学试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

答案和解析 1.【答案】  解：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且， 解得：且． 故选：． 2.【答案】  解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位即可得到二次函数的图象． 故选：． 3.【答案】  解：、平分弦非直径的直径必垂直弦且平分弦所对的弧，原说法错误，该选项不符合题意； B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，该选项不符合题意； C、过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原说法错误，该选项不符合题意； D、同弧所对的圆周角相等，该选项符合题意； 故选：． 4.【答案】  解：， 抛物线开口向下，对称轴位置线，最大值为，当时，随的增大而减小，函数图象与轴有个交点， 故A，，C错误，D正确， 故选：． 5.【答案】  解：圆心到弦的距离为， ， 弦的长为， ， ， 即圆的半径长是， 故选：． 6.【答案】  解：连接， 是的直径， ． ， ， ． 故选：． 7.【答案】  解：在二次函数中，对称轴， 在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ， 故选：． 8.【答案】  解：设方程中，， 则方程变为， 关于的方程的解为，， 关于的方程的解为，， 对于方程，或， 解得：，， 故选：． 9.【答案】  解：依题意， 解得： 设 有最大值，最大值为， 代数式的值可以是， 故选：． 10.【答案】B 解：【解答】解：连接OC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OC＝OB， ∵点I是△ABC的内心，∠CAI＝36°， ∴AI平分∠BAC， ∴∠BAI＝∠CAI， ∴∠BAC＝2∠CAI＝72°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝144°， ∵∠OCB＝∠OBC，且∠OCB+∠OBC+∠BOC＝180°， ∴2∠OBC+144°＝180°， ∴∠OBC＝18°， 故选：B． 11.【答案】  解：直角边长分别为和， 斜边是， 这个直角三角形的外接圆的半径为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：， ， 所以，， 而， 所以三角形第三边长为， 所以此三角形的周长为． 故答案为：． 13.【答案】   解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：连接，， 、分别与圆相切于、两点， ， ， ； 故答案为：． 15.【答案】  解：由题意，不等式的解集就是的解集， 不等式的解集可以看作是在，之间的图象抛物线在直线下方对应的自变量的取值范围． 又点横坐标为，点横坐标为， 时，，即． 故答案为：． 16.【答案】．  解：连接， 的度数为， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为． 17.【答案】  【解析】解：已知二次函数的顶点坐标， 对称轴是直线， 与关于对称， ， 解得． 故答案为：． 18.【答案】  解：， 抛物线的对称轴为直线，开口向上， 分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， 点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， 解得： 又， 解得： ， 故答案为：． 19.【答案】【小题】 解：， ， ， 解得：，； 【小题】 解：， ， 分解因式，得：， 或， 解得：，．   20.【答案】（1） （2）  （3），，， ≌， ， ， ，即， 则的长．   21.【答案】（1）证明：连接， 为直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， 是的切线； （2）解：，， 设，则， ， ， ， 解得， 答：的半径是．   22.【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， 解得， 经检验，是方程的解，且 ．   23.【答案】（1）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ．   24.【答案】（1）   （2）解：根据题意得： 整理，得， 解得：，舍去， 元， 答：房价应该为元； （3）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， 当时，取得最大值，此时元， 房价为元， 答：房价为元时，宾馆的利润最大，最大利润是元．   25.【答案】（1）解：当时，代入可得， 化简得：， 解得：； （2）解：函数的图象同时经过点，根据函数图象对称性，可得到对称轴为：直线， 因为，即， 解得； （3）解：点和在函数的图象上， 则， ， ， ， 化简为：， 解得：．   26.【答案】  或  【解析】证明：是的直径，弦， 垂直平分， ． ， ， ， ， 是的“相望角”； 解：弧的度数为， ． 由知：，， ， ． ． ． 弧的“相望角”度数为． 故答案为：； 解：连接，，设与交于点，如图， 的“相望角”为， ， ， 是的直径，弦， 垂直平分， ，． ． ． ，， 为等腰直角三角形， ； ，， 为等腰直角三角形， ，． 设，则，， ， ， ， 或． 或． 故答案为：或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中数学试卷 2025-2026学年苏科版九年级数学上册 （考试时间为100分钟，满分为120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 2.要得到二次函数的图象，需将的图象(    ) A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向右平移个单位，再向上平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 3.下列说法中，正确的是(    ) A. 平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B. 三点确定一个圆 C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 同弧所对的圆周角相等 4.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，随的增大而增大 B. 函数图象的对称轴是直线 C. 这个函数有最大值 D. 函数图象与轴有个交点 5.如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为，则圆的半径长是(    ) A. B. C. D. 第5题 第6题 第10题 第13题 6.如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.抛物线过，，三点，则，，大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.若关于的方程的解为，，则方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.若实数，，满足，，则代数式的值可以是(    ) A. B. C. D. 10.如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝36°，则∠OBC的度数为（　　） A．20° B．18° C．16° D．15° 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.直角三角形的两直角边长分别为和，它的外接圆的半径是______． 12.三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为        ． 13.如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为          ． 14.如图，、分别与圆相切于、两点，点为圆上一点，连接、，若，则的度数为______． 15.如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是______． 16. 如图，点、、、、在上，的度数为，则的度数是          ． 第14题 第15题 第16题 17.已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ______． 18.已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分解方程： ； ． 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、，其中点坐标为． 请写出该圆弧所在圆的圆心的坐标          ． 的半径为          ； 求弧的长结果保留． 21.本小题分 如图，为的直径，是上一点，在的延长线上，． 求证：是切线； 若，，求的半径． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； 如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 23.本小题分 如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求图中阴影部分的面积． 24.本小题分 某宾馆有间客房，当客房的定价为元天时，客房全部住满；当房价每上调元时，会有间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出元天的费用，根据规定，房价不得高于元天．设房价上调元为的正整数，设一天订住的房间数为． 直接写出与的函数关系式：          ，自变量的取值范围是          ． 若宾馆一天的利润为元，则房价应该为多少元？ 房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 25.本小题分 在平面直角坐标系中，设函数，其中为常数，且． 当时，求的值． 若函数的图象同时经过点，求的值． 已知点和在函数的图象上，且，求的取值范围． 26.本小题分 如图，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， 如图，是的直径，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接． 求证：是的“相望角”； 设弧的度数为，请用含的式子表示弧的“相望角”度数为______； 如图，若直径，弦，的“相望角”为， 求弦的长； 当时，则 ______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 期中数学试卷 2025-2026 学年苏科版九年级数学上册 （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若关于�的一元二次方程��2 − 6� + 9 = 0有两个不相等的实数根，则�的取值范围是( ) A. � > 1 B. � ≠ 0 C. � < 1 D. � < 1 且� ≠ 0 2.要得到二次函数� =− � − 2 2 + 1 的图象，需将� =− �2的图象( ) A.向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 B.向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 C.向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D.向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 3.下列说法中，正确的是( ) A.平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B.三点确定一个圆 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.同弧所对的圆周角相等 4.对于二次函数� =− (� − 1)2 + 4，下列说法正确的是( ) A.当� > 1 时，�随�的增大而增大 B.函数图象的对称轴是直线� =− 1 C.这个函数有最大值 1 D.函数图象与�轴有 2 个交点 5.如图，在⊙�中，弦��的长为 4，圆心到弦��的距离��为 2，则圆�的半径长是( ) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 第 5 题 第 6 题 第 10 题 第 13 题 6.如图，若��是⊙�直径，��为是⊙�的弦，∠��� = 52 ∘，则∠���的度数为( ) A. 36 ∘ B. 37 ∘ C. 38 ∘ D. 39 ∘ 7.抛物线� = 2(� − 1)2 + �过( − 2, �1)，(0, �2)，( 5 3 , �3)三点，则�1，�2，�3大小关系是( ) A. �2 > �3 > �1 B. �1 > �2 > �3 C. �2 > �1 > �3 D. �1 > �3 > �2 8.若关于�的方程��2 + �� + � = 0 的解为�1 =− 1，�2 = 3，则方程�(� + 1)2 + �(� + 1) + � = 0 的解为( ) A. �1 = 0，�2 = 2 B. �1 =− 2，�2 = 2 C. �1 = 0，�2 = 4 D. �1 = 0，�2 =− 2 第 2页，共 5页 9.若实数�，�，�满足� + � + � = 2，2� + � − � = 4，则代数式 2�� − 1 的值可以是( ) A. 3 B. 4 C. 0 D. 5 10.如图，四边形����是⊙�的内接四边形，∠��� = 90°，�� = �� = 4 2，�为��上一点，且�� ⊥ ��， 则��的最小值为( ) A. 2 2 − 2 B. 2 5 − 2 C. 4 2 − 4 D. 4 5 − 4 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，它的外接圆的半径是______． 12.三角形两边的长分别是 2 和 4，第三边的长是方程�2 − 10� + 24 = 0 的根，则该三角形的周长为 ． 13.如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形．球的半径为 10��，瓶内液体的最 大深度�� = 4��，则截面圆中弦��的长为 ��． 14.如图，��、��分别与圆�相切于�、�两点，点�为圆�上一点，连接��、��，若∠� = 80°，则∠���的 度数为______． 15.如图，直线� = �� + �(� ≠ 0)与抛物线� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)交于�(1, �)，�(4, �)，不等式��2 + (� − �)� + � − � < 0 的解集是______． 16.如图，点�、�、�、�、�在⊙�上，��的度数为 40°，则∠� + ∠�的度数是 ． 第 14 题 第 15 题 第 16 题 17.已知二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)，图象上部分点的坐标 �, � 的对应值如下表所示，则方程��2 + �� + 2.52 = 0 的根是 ． �…0 56… �…0.52−22… 18.已知抛物线� = ��2 − 2�� + �(� > 0)经过� 2� + 3, �1 , � � − 1, �2 两点，若�, �分别位于抛物线对称轴 的两侧，且�1 < �2，则�的取值范围是 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 3页，共 5页 19.(本小题 8 分)解方程： (1)�2 − 4� − 1 = 0； (2)� � + 2 = � + 2． 20.(本小题 8 分) 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点�、�、�，其中点�坐标为(4,3)． (1)请写出该圆弧所在圆的圆心�的坐标 ． (2)  ⊙�的半径为 ； (3)求弧���的长(结果保留�)． 21.(本小题 8 分) 如图，��为⊙�的直径，�是⊙�上一点，�在��的延长线上，∠��� = ∠�． (1)求证：��是⊙�切线； (2)若�� = 2，�� = 2 3，求⊙�的半径． 22.(本小题 8 分) 已知关于�的一元二次方程�2 − 2� − � = 0． (1)如果此方程有两个不相等的实数根，求�的取值范围； (2)如果此方程的两个实数根为�1,  �2，且满足 1 �1 + 1�2 =− 23，求�的值． 第 4页，共 5页 23.(本小题 8 分) 如图，已知▵���中，∠��� = 90 ∘，以��为直径作⊙�，交��与点�，过点�作��/ ​ /��交��于点�，连 接��． (1)判断��与⊙�的位置关系，并说明理由； (2)若∠� = 30 ∘，�� = 6，求图中阴影部分的面积． 24.(本小题 8 分) 某宾馆有 40 间客房，当客房的定价为 210 元/天时，客房全部住满；当房价每上调 10 元时，会有 1 间客 房空置，宾馆对居住的每间房间支出 30 元/天的费用，根据规定，房价不得高于 300 元/天．设房价上调 10� 元(�为的正整数)，设一天订住的房间数为�． (1)直接写出�与�的函数关系式： ，自变量�的取值范围是 ． (2)若宾馆一天的利润为 7770 元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 25.(本小题 10 分) 在平面直角坐标系中，设函数� = (� − �)(� − � − 5) + 4，其中�为常数，且� ≠ 0． (1)当� = 3, � = 4 时，求�的值． (2)若函数的图象同时经过点(�,�), (4 − �,�)，求�的值． (3)已知点(1, �1)和(2, �2)在函数的图象上，且�1 < �2，求�的取值范围． 第 5页，共 5页 26.(本小题 10 分) 如图 1，�，�是半圆���上的两点，点�是直径��上一点，且满足∠��� = ∠���，则称∠���是��的“相 望角”，如图， (1)如图 2，��是⊙�的直径，若弦�� ⊥ ��，�是弧��上的一点，连接��交��于点�，连接��． ①求证：∠���是��的“相望角”； ②设弧��的度数为�，请用含�的式子表示弧��的“相望角”度数为______； (2)如图 3，若直径�� = 10，弦�� ⊥ ��，��的“相望角”为 90°， ①求弦��的长； ②当�� = 7 2时，则�� = ______．