专题1.2 子集、全集、补集重难点题型专训（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学苏教版必修第一册

专题1.2 子集、全集、补集重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 子集、真子集 题型二 判断集合的子集(真子集)的个数 题型三 求集合的子集(真子集) 题型四 包含关系 题型五 判断两个集合的包含关系 题型六 根据集合的包含关系求参数 题型七 相等关系 题型八 判断两个集合是否相等 题型九 根据两个集合相等求参数 题型十 空集 题型十一 空集的概念以及判断 题型十二 空集的性质及应用 拓展训练一 子集(真子集)的个数计算相关问题 拓展训练二 集合间关系的判定 拓展训练三 集合间关系的参数求解问题 知识点一：集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 【答案】 【分析】先求出集合，然后由集合中元素的个数求解子集的个数即可. 【详解】由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 知识点二：集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素、集合间的关系可解. 【详解】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 知识点三：补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【即时训练】 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的补集运算得到答案. 【详解】，，所以， 故选：C. 2．（2024高一·江苏·单元测试）下列命题，是真命题的有 ①两个复数不能比较大小； ②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集. 【答案】④ 【分析】举例说明①③错误；由两复数相等的充要条件说明②错误；由集合间的关系说明④正确. 【详解】解：对于①，若两个复数为实数，则能比较大小，故①错误； 对于②，当且仅当x，y∈R，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故②错误； 对于③，当a=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误； 对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确. 故答案为：④. 【经典例题一 子集、真子集】 【例1】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 【经典例题二 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 故选：C 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ 【答案】元素个数为n，则子集个数为，真子集个数 【分析】根据子集、真子集的定义可得答案. 【详解】元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 2．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 4．（24-25高一上·上海·课前预习）真子集与子集有什么区别？ 【答案】答案见解析 【分析】根据子集和真子集的定义即可求解. 【详解】一个集合的真子集一定是集合的子集，但一个集合的子集（如它自己）不都是其真子集． 【经典例题三 求集合的子集(真子集)】 【例1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的定义求得其元素，再求子集的个数即可. 【详解】，根据集合的定义，故可得，则其子集个数有个. 故选：C. 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】将问题转换为求给定集合的真子集的个数即可求解. 【详解】原问题等价于求的真子集的个数，故所求为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 4．（23-24高一·上海·课堂例题）写出所有满足的集合M． 【答案】 【分析】根据真子集的含义即可. 【详解】满足条件的集合有： . 【经典例题四 包含关系】 【例1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】根据，则，从而可求解. 【详解】因为，所以，即，解得，故A正确. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据两个集合中的元素，即可判断. 【详解】（1）集合的每个元素都是集合的元素，所以 （2）集合的每个元素都是集合的元素,所以 （3）集合，的元素相同，故 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合，且， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 解得 所以实数的取值集合为. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 【答案】真包含 【分析】根据集合间的关系的定义判断两个集合之间的关系 【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含. 故答案为：真包含. 4．（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【详解】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 【经典例题五 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数集与其他数集之间的关系 . 【答案】其他数集是复数集的子集 【分析】根据复数集与其他数集之间的关系及子集定义判断即可. 【详解】其他数集的任意元素都在复数集中，所以其他数集是复数集的子集. 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2．（2024·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两集合中元素的特征，判断集合中的任意一个元素都是集合中的元素，从而可得答案. 【详解】集合中的元素是所有奇数， 集合中的元素是所有被4整除余1的数， 因为任意一个被4整除余1的数都是奇数， 即集合中的任意一个元素都是集合中的元素，所以，， A选项错误，D选项正确； 且，C选项错误； ，B选项错误. 故选：D. 3．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】 ⫋ ⫋ 【分析】由菱形是特殊的平行四边形，等边三角形是特殊的等腰三角形即可得. 【详解】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题），A、B、C之间有什么关系？ 【答案】（子集符号也可以写出真子集）. 【分析】根据包含关系分析判断. 【详解】因为，可知， 所以（子集符号也可以写出真子集）. 【经典例题六 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集的定义以及集合中元素的互异性即可求得结果. 【详解】集合， 则当时，解得或，满足题意， 当时，解得或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 故实数组成的集合为． 故选：C． 【例2】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合间的关系，分情况讨论列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述. 1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系直接得到答案. 【详解】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 2．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【答案】或或 【分析】由，分和两种情况分类讨论，根据几何包含关系可求得参数的值. 【详解】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 【经典例题七 相等关系】 【例1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何判断两个集合是否相等？ 【答案】答案见解析 【详解】方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断； 方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足且. 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ABC选项，由数集字母表示及元素，集合与几何关系可判断选项正误； D选项，由集合相等定义可判断选项正误. 【详解】A选项，为无理数，为有理数集，则，故A错误； B选项，为整数，则，故B正确； C选项，为自然数，不是正整数，则不为正整数集的子集，故C错误； D选项，为数集，为点集，则，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，中不含任何元素，0不是中元素，B错误； 对于C，中不含任何元素，而含有元素0，C错误； 对于D，方程无实数根，因此，D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求集合，进而可得两集合间的关系； （2）根据题意求集合，进而可得两集合间的关系. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为是8的正约数， 所以. 【经典例题八 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·贵州·期中）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的性质逐个判断即可. 【详解】对①，正确； 对②，空集是集合，故正确； 对③，是无理数，故错误； 对④，两集合中元素不一样，故，故④错误. 综上①②正确. 故选：B 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 2．（15-16高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可. 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 3．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【分析】根据相等集合的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求出集合，观察两集合中的元素的关系可判断； （2）求出集合，由两集合之间的包含关系分析判断. 【详解】（1）集合， 所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等； （2）集合，集合中的元素都属于集合， 所以集合是的子集； 反之，集合中元素都属于集合， 所以集合是子集， 即两个集合互为子集，这两个集合相等. 【经典例题九 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【答案】或 【分析】根据集合相等的定义直接计算即可. 【详解】由可知，当时，或当时，，易得或. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 【答案】，或，． 【分析】由已知结合集合相等的条件建立关于，的方程，求解后，需要进一步检查是否满足集合元素的互异性． 【详解】解：由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 【经典例题十 空集】 【例1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】①空集是不含有任何元素的集合，且规定，任何时候都不成立，是恒成立的． ②情景不同，空集的类型也不同，例，． ③不是空集，中含有一个元素，作为元素，则；作为集合，则．是含有一个元素0的集合，与空集不同，，，． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，对选项逐一判定，即可得到结果. 【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据空集的性质判断. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以命题：空集是任何集合的真子集为假命题. 故答案为：假. 4．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）对于集合A，B，C，如果，，则，若AB，呢？ （2）若，则对吗？ 【答案】（1）AC；（2）对． 【详解】（1）若AB，则集合A中每个元素都是集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不属于集合A， 又，则集合B中每个元素都是集合C的元素， 所以集合A中每个元素都是集合C的元素，且集合C中至少有一个元素不属于集合A，即AC； （2）若，则集合A中至少有一个元素不属于，即，结论正确. 【经典例题十一 空集的概念以及判断】 【例1】（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 【例2】（2023高一·全国·课堂例题）下列集合中哪些是空集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实根之集； (2)所有素数之集； (3)满足条件和的所有实数组之集； (4)满足条件和的所有实数组之集． 【答案】(1)空集 (2)无限集 (3)无限集 (4)空集 【分析】根据集合中元素的个数即可逐一求解. 【详解】（1）实数范围内,一元二次方程无实根，所以解构成的集合为空集. （2）素数有2，3，5，7，11，13，….，有无数多个，所以素数构成的集合为无限集， （3）只要满足的实数对均为集合中的元素，故为无限集， （4）没有满足条件和的，所以为空集 1．（2023高一上·北京·阶段练习）下列集合表示空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空集的概念判断即可. 【详解】解：对于A：因为方程无实数根，所以，故A正确； 对于B：集合含有一个元素的集合，故B错误； 对于C：集合含有一个元素的集合，故C错误； 对于D：不是一个集合，故D错误； 故选：A 2．（2025高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于，则或，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. 3．（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 4．（2024高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【答案】（1）错误；         （2）错误； （3）错误；      （4）正确； （5）错误； （6）错误. 【分析】（1）根据空集概念进行判断；         （2）根据空集的子集个数进行判断； （3）根据空集的子集个数进行判断；      （4）根据空集概念进行判断； （5）根据空集概念进行判断； （6）根据子集概念进行判断. 【详解】（1）,所以“∅＝{0}”错误；         （2）空集只有一个子集，所以“任何一个集合必有两个或两个以上的子集”错误； （3）空集有一个子集，所以“空集没有子集”错误；      （4）空集是任何一个集合的子集，正确； （5）空集是任何非空集合的真子集，所以“空集是任何集合的真子集”错误； （6）若∅A，则A可以为，所以A≠∅错误. 【点睛】本题考查空集有关概念、子集概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 【经典例题十二 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1．（2024高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 2．（2023高一上·江苏南通·开学考试）有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用空集的定义和性质判断出①错误，②正确；利用两集合之间的包含关系得到③正确，④错误. 【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确； ，故③正确，④错误，正确的个数为2. 故选：B 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【拓展训练一 子集(真子集)的个数计算相关问题】 【例1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 【例2】（2023高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 1．（2025高三·全国·专题练习）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合S的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】根据集合满足的条件，用列举法将满足条件的集合一一列举即可. 【详解】由题意，中的元素满足条件：如果，则； 令，则原问题等价为：如果、，则； 再根据集合元素的互异性与无序性，集合可以是：或或或或， 或或.故适合条件的集合有7个. 故选：C 2．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 3．（24-25高二下·天津河北·阶段练习）设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）. 【答案】24 【分析】根据条件且，即可确定集合的元素取值情况，然后确定集合P的个数即可． 【详解】集合的子集有：共个； 又，， 所以不能为：，共8个， 则满足且的集合的个数是． 故答案为：． 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 【拓展训练二 集合间关系的判定】 【例1】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 2．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 3．（2023高一上·上海青浦·阶段练习）下列表达式中，正确的序号是 ． ① ②，③ ④ 【答案】②④ 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】因为集合为有理数集，为无理数，所以，所以①错误； 因为空间时任何非空集合的真子集，所以，所以②正确； 根据集合与之间的关系，可得，所以③错误； 由集合为自然数集，为整数集，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 4．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合与集合，其中是一个二次项系数为1的二次函数． （1）判断与的关系； （2）若是单元素集合，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）根据集合元素的属性特征，结合复合函数的性质进行求解即； （2）根据题意可以求出函数的表达式，最后再根据集合元素属性特征，结合函数的解析式进行求解即可. 【详解】（1）任取，则，故，∴．∴； （2）设，则．∴． ．∴．故只有一个根．∴. 【点睛】本题考查了集合之间的关系判断，考查了二次复合函数的运算，考查了数学运算能力和推理论证能力. 【拓展训练三 集合间关系的参数求解问题】 【例1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系可得的范围. 【详解】因为，不等式（1）的解集是：； 不等式（2）的解集是：， 因为，不等式组的解集是， 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，    仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验，从而得出解法的正误． 【详解】解：不正确．原因为：由题意知， ①或②， 由①得，但此时，不满足互异性，故舍去． 由②得（舍）或，经检验符合题意． 综上所述，实数的值为． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】根据判别式判断集合中元素个数，进而确定集合非空子集个数. 【详解】由，则集合有2个元素， 所以的非空子集个数为个. 故选：B 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 3．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 【答案】A 【分析】用列举法找出满足条件的子集即可. 【详解】最小元素是2的有，共10个； 最小元素是3的有，共6个； 最小元素是4的有，共3个； 最小元素是5的有，共1个，所以. 故选：A 4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 6．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 7．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. 故选：B. 8．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 9．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用元素和集合的关系、集合间的关系、集合中元素的特性分析判断即可得解. 【详解】解：对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确； 对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确； 对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误； 对于④，是集合的元素，所以，故④正确； 对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误； 对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确； 综上知，正确的个数为4个. 故选：B. 10．（2023高一上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是相等的 D．若集合，集合，当时，或1 【答案】A 【分析】由第一、三象限的点的特点可判断A，由集合的概念和表示方法可判断BC，由集合间的关系可判断D. 【详解】对于A，第一象限和第三象限内的点， 横坐标与纵坐标同号， 所以有，A正确； 对于B，，则，得， 所以方程的解集为，B错误； 对于C，集合与表示的元素不同，C错误； 对于D，当时，，此时也满足，D错误. 故选：A. 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据子集的定义及集合元素的关系可得出结论． 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据补集运算得到，利用数轴法表示集合间的包含关系，可直接得出结果. 【详解】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 【答案】 【分析】根据条件得，再利用子集的个数得，即可求解. 【详解】因为，又有且仅有个子集， 所以有两个元素，则， 若时，，此时满足题意， 若，则，此时违反互异性， 所以， 故答案为： 14．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若集合，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性求出的值即可求解. 【详解】有意义，则， 因为，所以，解得， 所以， 所以，解得， 又当时，，与元素互异性矛盾，舍去， 当时，满足题意， 所以，，， 故答案为： 15．（2025高一·全国·课后作业）已知 {x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≤ 【解析】由题意得二次方程x2＋x＋a＝0有实数根，利用判别式直接求解 【详解】因为 {x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即 ＝1－4a≥0，得a≤. 故答案为：a≤ 【点睛】本题考查集合间的基本关系，关键是由题意转化为方程有解，是基础题 16．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，且． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合化简，再由集合的补集以及并集运算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为非空集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，则， 又，则或， 所以. （2）是的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则，且等号不能同时取到，解得， 所以的取值范围是. 18．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 19．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 20．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 子集、全集、补集重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 子集、真子集 题型二 判断集合的子集(真子集)的个数 题型三 求集合的子集(真子集) 题型四 包含关系 题型五 判断两个集合的包含关系 题型六 根据集合的包含关系求参数 题型七 相等关系 题型八 判断两个集合是否相等 题型九 根据两个集合相等求参数 题型十 空集 题型十一 空集的概念以及判断 题型十二 空集的性质及应用 拓展训练一 子集(真子集)的个数计算相关问题 拓展训练二 集合间关系的判定 拓展训练三 集合间关系的参数求解问题 知识点一：集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 知识点二：集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 知识点三：补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【即时训练】 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·江苏·单元测试）下列命题，是真命题的有 ①两个复数不能比较大小； ②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集. 【经典例题一 子集、真子集】 【例1】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【例2】（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 4．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【经典例题二 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 4．（24-25高一上·上海·课前预习）真子集与子集有什么区别？ 【经典例题三 求集合的子集(真子集)】 【例1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 2．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）集合的子集有 ；其中真子集有 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）写出所有满足的集合M． 【经典例题四 包含关系】 【例1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 4．（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【经典例题五 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数集与其他数集之间的关系 . 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·专题练习）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 4．（24-25高一上·全国·课堂例题），A、B、C之间有什么关系？ 【经典例题六 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值范围． 1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【经典例题七 相等关系】 【例1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何判断两个集合是否相等？ 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 【经典例题八 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·贵州·期中）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（15-16高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 【经典例题九 根据两个集合相等求参数】 【例1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若，求实数和的值． 【经典例题十 空集】 【例1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）如何理解空集？与，0，有什么关系？ 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 2．（23-24高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 4．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）对于集合A，B，C，如果，，则，若AB，呢？ （2）若，则对吗？ 【经典例题十一 空集的概念以及判断】 【例1】（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高一·全国·课堂例题）下列集合中哪些是空集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实根之集； (2)所有素数之集； (3)满足条件和的所有实数组之集； (4)满足条件和的所有实数组之集． 1．（2023高一上·北京·阶段练习）下列集合表示空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 4．（2024高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【经典例题十二 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 1．（2024高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023高一上·江苏南通·开学考试）有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【拓展训练一 子集(真子集)的个数计算相关问题】 【例1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【例2】（2023高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 1．（2025高三·全国·专题练习）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合S的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（24-25高二下·天津河北·阶段练习）设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）. 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【拓展训练二 集合间关系的判定】 【例1】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 3．（2023高一上·上海青浦·阶段练习）下列表达式中，正确的序号是 ． ① ②，③ ④ 4．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合与集合，其中是一个二次项系数为1的二次函数． （1）判断与的关系； （2）若是单元素集合，求证：． 【拓展训练三 集合间关系的参数求解问题】 【例1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 1．（2025高三·全国·专题练习）已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 3．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 6．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 7．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 9．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（2023高一上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是相等的 D．若集合，集合，当时，或1 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 13．（24-25高一上·上海·期中）已知点的集合，，若有且仅有个子集，则的值是 14．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若集合，，，则的值为 ． 15．（2025高一·全国·课后作业）已知 {x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，且． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 18．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 19．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 20．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$