专题1.1集合的概念与表示重难点题型专训（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题1.1集合的概念与表示重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 集合的概念 题型二 判断元素能否构成集合 题型三 判断是否为同一集合 题型四 元素与集合 题型五 判断元素与集合的关系 题型六 根据元素与集合的关系求参数 题型七 集合中元素的特性 题型八 利用集合元素的互异性求参数 题型九 集合的表示方法 题型十 自然语言表示集合 题型十一 描述法表示集合 题型十二 列举法表示集合 拓展训练一 元素与集合问题 拓展训练二 常见的集合求参问题 拓展训练三 集合的常见表示方式 知识点一：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【即时训练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1） ； （2）3.14 ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）0 ． 知识点二：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 知识点三：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 2．（2024高三·全国·专题练习）集合的三种表示方法： 、 、图示法． 【经典例题一 集合的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）所有的“高个子同学”能否构成一个集合？由此说明什么？ 1．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）只要构成两个集合的元素是 ，就称这两个集合是相等的． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【经典例题二 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 1．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 3．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）确定性：即给定的集合，它的元素是 的． （2）互异性：即给定集合的元素是 的． （3）无序性． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【经典例题三 判断是否为同一集合】 【例1】（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 1．（24-25高一上·山东威海·期末）下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合相等：构成两个集合的元素是 的． 4．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 【经典例题四 元素与集合】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 【经典例题五 判断元素与集合的关系】 【例1】（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 1．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）是集合A的元素，记作 ，不是集合A的元素，记作 ． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 【经典例题六 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 1．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 4．（2025高一上·全国·课后作业）已知集合，且，求的值. 【经典例题七 集合中元素的特性】 【例1】（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是 ． 4．（23-24高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【经典例题八 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【例2】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 1．（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 2．（2024高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 【经典例题九 集合的表示方法】 【例1】（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 1．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）（1）列举法 把集合的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做 ． （2）描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个 ．此时，集合A可以用它的特征性质表示为．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【经典例题十 自然语言表示集合】 【例1】（2025高一·全国·课后作业）下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 4．（2023高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【经典例题十一 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 1．（2025高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【经典例题十二 列举法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 4．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【拓展训练一 元素与集合问题】 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 3．（2025高一上·全国·课后作业）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.( ) （3）由－1，1，1组成的集合中有3个元素.( ) 4．（2023高一上·全国·课后作业）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1∉A， （1）若3∈A，求A. （2）证明:若a∈A，则. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【例2】（23-24高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 1．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 4．（2023高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【拓展训练三 集合的常见表示方式】 【例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 1．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2025高一·全国·课后作业）已知，则集合用列举法表示为 . 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 1．（22-23高一上·贵州黔西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 3．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 5．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．（2025高一上·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·广西南宁·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 9．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把 统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的 叫做集合（简称为 ）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的 是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性： 、 、 ． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 15．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 18．（2023高三·全国·专题练习）设是实数集的真子集，且满足下列两个条件：①；②若．则，问： (1)若，则中一定还有哪几个数？ (2)集合中能否只有一个元素？说明理由． 19．（24-25高二下·河南开封·期末）已知集合M＝{1，m＋2，＋4}，且5∈M，求m的取值集合． 20．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1集合的概念与表示重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 集合的概念 题型二 判断元素能否构成集合 题型三 判断是否为同一集合 题型四 元素与集合 题型五 判断元素与集合的关系 题型六 根据元素与集合的关系求参数 题型七 集合中元素的特性 题型八 利用集合元素的互异性求参数 题型九 集合的表示方法 题型十 自然语言表示集合 题型十一 描述法表示集合 题型十二 列举法表示集合 拓展训练一 元素与集合问题 拓展训练二 常见的集合求参问题 拓展训练三 集合的常见表示方式 知识点一：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【即时训练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）用符号“”或“”填空． （1） ； （2）3.14 ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）0 ． 【答案】 【分析】根据常用数集的表示符号及其含义进行判断，得到答案. 【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 故答案为：，，，，， 知识点二：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据集合元素的定义，判断所给选项中的元素是否在集合中. 【详解】已知集合， 所以集合A有两个元素：和． 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系可得. 【详解】由题可知： 故答案为：， 知识点三：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【分析】根据集合中元素满足互异性即可求解A，根据集合的描述法表示即可求BC. 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）集合的三种表示方法： 、 、图示法． 【答案】 列举法 描述法 【分析】略 【详解】略 【经典例题一 集合的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）所有的“高个子同学”能否构成一个集合？由此说明什么？ 【答案】答案见解析 【详解】不能，其中的元素不确定 1．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合常用数集、元素与集合的关系、相等集合的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，与是不同的有序数对，B错误； 对于C，中不含任何元素，C错误； 对于D，是无理数，D错误. 故选：A 3．（24-25高一上·全国·课前预习）只要构成两个集合的元素是 ，就称这两个集合是相等的． 【答案】一样的 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 【经典例题二 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【答案】(1)能 (2)不能，原因见解析 (3)能 【分析】运用集合的元素的互异性，无序性，确定性解题. 【详解】（1）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合. （2）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合,因为高个子比较模糊，元素不确定. （3）不等式的所有解能组成一个集合，就是不等式的解集. 1．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）确定性：即给定的集合，它的元素是 的． （2）互异性：即给定集合的元素是 的． （3）无序性． 【答案】 确定 互不相同 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据集合的定义判断即可. 【详解】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 【经典例题三 判断是否为同一集合】 【例1】（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 【答案】答案见解析 【详解】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合． 1．（24-25高一上·山东威海·期末）下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过确认各个选项中的集合中的元素即可得到结果. 【详解】集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误； 对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误. 故选：C. 2．（2024高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合相等：构成两个集合的元素是 的． 【答案】一样 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 【答案】否． 【详解】否，因为所表示的点集的坐标不同. 【经典例题四 元素与集合】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断各个选项； 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 【答案】 【分析】由题意可得有两个相等的实数根，可得，求解即可. 【详解】因为集合中仅含有一个元素， 所以有两个相等的实数根， 所以，解得，满足题意，则． 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 3．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 【答案】或 【分析】根据集合元素个数可得，即可求参数值. 【详解】由a和构成的集合只有一个元素，所以，即或. 【经典例题五 判断元素与集合的关系】 【例1】（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【答案】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素. 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】因为A表示高一（3）班全体学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，所以a是集合A中的元素； 因为b表示高一（4）班的一位同学，所以b不是集合A中的元素. 1．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需要注意集合中的元素的形式，本题的A选项和C选项与集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可选出正确答案D. 【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对）， 选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除； 再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上. 故选D． 2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系判断得解. 【详解】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·课前预习）是集合A的元素，记作 ，不是集合A的元素，记作 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 【答案】答案见解析 【分析】由集合元素的确定性即可解题. 【详解】打篮球的人可以组成一个集合，男生是该集合的元素，女生不是该集合的元素，所以是男生就去打篮球，是女生就不去打篮球. 【经典例题六 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 【例2】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 1．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的概念可得集合C中的元素. 【详解】由题意得但 ∴． 故选：A. 2．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性和互异性可求的值. 【详解】因为，故或，且， 故， 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】由题意，，所以，解得： 故答案为：． 4．（2025高一上·全国·课后作业）已知集合，且，求的值. 【答案】 【分析】分两种情况讨论，结合集合元素间的互异性即可求解. 【详解】由于，故或， 解得或. 当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意. 故. 【经典例题七 集合中元素的特性】 【例1】（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）20以内的素数组成集合S，S有多少个元素？ 【答案】8 【分析】根据素数定义及数的范围求出元素即可. 【详解】20以内有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个素数， 所以集合S有8个元素. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性即可判断得解. 【详解】由，，，为集合中的4个元素，得，，，两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等， 则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，ABD不是； 又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，C是. 故选：C 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）若，由两个元素构成的集合中，应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合中的元素的互异性进行判断. 【详解】不正确. 因为集合中的元素是互异的，所以集合中只有4个不同元素1，2，0，5 . 【经典例题八 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 【例2】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可. 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 1．（23-24高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】因为， 当时，，不满足元素的互异性， 当时，，满足互异性， 当时，即或（舍）时，，满足互异性， 所以或2. 故选：C. 2．（2024高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【详解】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性直接构造不等式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可知：，解得：， 实数的取值范围为. 【经典例题九 集合的表示方法】 【例1】（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 1．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 2．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）（1）列举法 把集合的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做 ． （2）描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个 ．此时，集合A可以用它的特征性质表示为．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 ． 【答案】 一一列举 列举法 特征性质 描述法 【分析】略 【详解】略 4．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【经典例题十 自然语言表示集合】 【例1】（2025高一·全国·课后作业）下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 【详解】∵x3=x的解为-1，0，1， ∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{0，1}，故①错误； 实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题． 【例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 【答案】（1）它们是互不相同的集合 ；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据三个集合的代表元素的性质进行判断即可； （2）根据三个集合的代表元素的运算性质、属性特征进行判断即可. 【详解】解：（1）因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合． （2）它们各自的含义列表如下： 集合 代表 元素 集合含义 函数的自变量的取值组成集合，该集合为 函数的函数值的取值组成的集合，该集合为 函数的图像上所有点组成的集合，该集合为点集 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】（1）由集合元素的确定性特征判断；（2）由数集和点集判断；（3）由集合元素的互异性判断；（4）由x，y可以为0判断. 【详解】（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误； （2）集合表示二次函数的值域，是数集， 集合是二次函数图象上的点构成的集合，是点集，故不同一个集合，故错误； （3），，，0.5，这些数组成的集合有，，，是3个元素，故错误； （4）集合是指第二和第四象限内及坐标轴上的点集，故错误. 故选：A 2．（2025高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 4．（2023高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【经典例题十一 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 1．（2025高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【经典例题十二 列举法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【详解】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可. 【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为. 故选：C. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【详解】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 4．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【拓展训练一 元素与集合问题】 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程的解集有一个元素，因此本选项不正确， 故选：C 2．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 3．（2025高一上·全国·课后作业）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.( ) （3）由－1，1，1组成的集合中有3个元素.( ) 【答案】 × √ × 【分析】（1）根据集合中元素的确定性，即可判定； （2）根据集合相等的定义，即可判定； （3）根据集合中的元素要满足互异性，即可求解. 【详解】（1）因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合. （2）根据集合相等的定义知，两个集合相等. （3）因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1，1，1组成的集合有2个元素－1，1. 故答案为：（1）×； （2）√； （3）×. 【点睛】本题主要考查了集合及集合相等的概念，以及集合的元素的互异性的应用，其中解答中熟记集合及集合相等的概念，以及元素的互异性是解答的关键，属于基础题. 4．（2023高一上·全国·课后作业）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1∉A， （1）若3∈A，求A. （2）证明:若a∈A，则. 【答案】（1）;（2）证明见解析. 【分析】根据题意求依次求解即可. 【详解】(1)因为3∈A， 所以， 所以， 所以， 所以. (2)因为a∈A， 所以， 所以. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【例2】（23-24高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 1．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 4．（2023高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【拓展训练三 集合的常见表示方式】 【例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 1．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 3．（2025高一·全国·课后作业）已知，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题中已知条件对的正负进行分类讨论即可得出结果. 【详解】由可得或， 当时， 若，则， 若，则； 当时， 若，则， 若，则； 根据集合元素的互异性可知，列举法表示为. 故答案为： 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 1．（22-23高一上·贵州黔西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 【答案】D 【分析】根据集合的定义直接判断即可. 【详解】对于A，死亡率低没有明确的标准，所以该组对象不能构成集合，A错误； 对于B，平均气温较高没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，B错误； 对于C，的近似值没有明确精确度，即没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，C错误； 对于D，中国古代四大发明：造纸术、印刷术、火药、指南针；满足集合定义，可以构成集合，D正确. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 3．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 5．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【详解】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 6．（2025高一上·北京·期中）已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分情况讨论并判断即可. 【详解】由题意： 当时，，此时集合，不成立； 当时，，时不成立，时，集合，成立； 当时，集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，，时集合，不成立，时集合，成立； 当时，或，时集合，不成立，时不成立； 故， 故选：B. 7．（2024高一上·广西南宁·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】本题首先可根据得出或，然后对、进行分类讨论，即可得出结果. 【详解】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或（舍去），，此时集合为， 故选：A. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数，集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性，考查计算能力，是简单题. 8．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 9．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 11．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【答案】（2）（3） 【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解. 【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3） 12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把 统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的 叫做集合（简称为 ）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的 是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性： 、 、 ． 【答案】 研究对象 总体 集 元素 确定性 无序性 互异性 【分析】略 【详解】略. 故答案为：研究对象，总体，集，元素，确定性，无序性，互异性. 14．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【分析】略 【详解】略 15．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集，也为有限集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 【答案】（1）无解；（2）　0个 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）直接判断即可. 【详解】（1）因为，所以方程无解； （2）因为且，所以集合有0个元素. 18．（2023高三·全国·专题练习）设是实数集的真子集，且满足下列两个条件：①；②若．则，问： (1)若，则中一定还有哪几个数？ (2)集合中能否只有一个元素？说明理由． 【答案】(1). (2)不能，理由见详解. 【分析】（1）按照条件②直接迭代即可得到所有元素； （2）判断是否有实数解即可. 【详解】（1）若，则，，， 所以中一定还有. （2）若中只有一个元素，设，则，即， 因为，所以方程无实数解，故中不可能只有一个元素. 19．（24-25高二下·河南开封·期末）已知集合M＝{1，m＋2，＋4}，且5∈M，求m的取值集合． 【答案】{1,3} 【详解】 试题分析：利用分类讨论思想可得 或，解相应方程，再利用元素互异性检验. 试题解析：∵5∈{1，m＋2，m2＋4}， ∴m＋2＝5或m2＋4＝5， 即m＝3或m＝±1. 当m＝3时，M＝{1,5,13}； 当m＝1时，M＝{1,3,5}； 当m＝－1时，M＝{1,1,5}不满足互异性． ∴m的取值集合为{1,3} 20．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 学科网（北京）股份有限公司 $$