精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年莆田第十五中学上学期第二次月考 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加．故选A 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，根据单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，本选项式子运算错误； B． ，本选项式子运算错误； C． ，本选项式子运算正确； D． ，本选项式子运算错误． 故选：C 4. 若39m27m=，则m的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】∵39m27m=332m33m=31+2m+3m ∴1+2m+3m=21 ∴m=4 故选：B 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 6. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，逆用积的乘方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 作于，根据直角三角形的性质，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案． 【详解】解：如图，作于，则， ∵， ∴， ，平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 8. 若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（ ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的系数为0即可求出结果． 【详解】解：（x+n）（3-x） =3x-x2+3n-nx =-x2+（3-n）x+3n， ∵x+n与3-x的乘积中不含x的一次项， ∴3-n=0， 解得n=3． 故选：D． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 9. ，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据等式两边相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入4m-3n求解即可． 【详解】解：∵=， ∴=， 根据题意列方程，得， 解得， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法法则，涉及到二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图， ∵BD平分∠ABC，BD⊥CD， ∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°， ∵BD=BD， ∴△BDG≌△BDC， ∴BC=BG，CD=DG， ∵BC-AB=2， ∴AG=BC-AB=2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC=5， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG=2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD=DG， ∴D点为CG中点， ∴， ∴△ACD的最大面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的___________．     【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； 根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 15. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值； 先利用平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项得到最简结果，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 如图：若，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由，可得到，再利用证得，从而得到． 【详解】略 20. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用平方差公式和完全平方公式去括号． 根据去括号，移项合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】解： 解得，． 21. 已知，，求多项式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用与表示是正确解答本题的关键． 对要求的式子进行转化，用与表示，代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 22. 某同学在计算一个多项式乘时，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据题意得出多项式，进而利用单项式乘以多项式计算得出答案． 【详解】解：由题意可得，原多项式为：， 故正确计算结果应为： ． 23. 图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：、， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 24. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值； （2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长； （3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值． 【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2； （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6； （3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 25. 在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． （1）如图1，点M、N在坐标轴上，点P在的平分线上，连接，用直尺量得，过点P作向坐标轴作垂线，垂足分别为点E、F．求证：； （2）如图2，为等腰直角三角形（），点B在第二象限，，若， 求点B的坐标； （3）如图3，为等腰直角三角形（），，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，交x轴于点，若平分，探究m、n之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵点P在的平分线上，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； （2） （3） 解：如图，过点C作轴，分别过点A，B作，交x轴于点G，设交y轴于点H，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B在第四象限且纵坐标为m， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 在x轴上取点K，使， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形： （1）证明，可得，即可求证； （2）过点B作轴于点D，证明，可得，再根据非负数的性质可得，即可求解； （3）过点C作轴，分别过点A，B作，交x轴于点G，设交y轴于点H，连接，证明，可得，从而得到，再根据平分，可证得，从而得到，，，，在x轴上取点K，使，证明，可得，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年莆田第十五中学上学期第二次月考 八年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若39m27m=，则m的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 8. 若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（ ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 9. ，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 无法确定 10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的___________．     13. ________． 14. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 15. 若，则的值为________． 16. 如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图：若，，，求证：． 20. 解方程：． 21. 已知，，求多项式的值． 22. 某同学在计算一个多项式乘时，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是多少？ 23. 图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 24. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 25. 在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． （1）如图1，点M、N在坐标轴上，点P在的平分线上，连接，用直尺量得，过点P作向坐标轴作垂线，垂足分别为点E、F．求证：； （2）如图2，为等腰直角三角形（），点B在第二象限，，若， 求点B的坐标； （3）如图3，为等腰直角三角形（），，点C在y轴上，点B在第四象限且纵坐标为m，交x轴于点，若平分，探究m、n之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $