第3章 勾股定理 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第 1页，共 9页 第 3 章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，正方形����和正方形����的面积分别是 100 和 36，则以��为直径的半圆的面积是( ) A. 4� B. 8� C. 12� D. 16� 2.在△ ���中，∠�，∠�，∠�的对应边分别是�，�，�，若∠� + ∠� = 90 ∘，则下列等式中成立的是( ) A. �2 + �2 = �2 B. �2 + �2 = �2 C. �2 + �2 = �2 D. �2 − �2 = �2 3.△ ���的三边长分别为�，�，�.下列条件能判断△ ���是直角三角形的个数是( ) ①∠� = ∠� − ∠�； ②�2 = � + � � − � ； ③∠�: ∠�: ∠� = 3: 4: 5； ④�: �: � = 5: 12: 13． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图是一块农家菜地的平面图，已知�� = 4 �，�� = 3 �，�� = 13 �，�� = 12 �，∠��� = 90∘，则 这块菜地的面积为( ) A. 24 �2 B. 30 �2 C. 36 �2 D. 42 �2 5.若▵���的三边长�，�，�满足�2 + �2 + �2 + 50 = 6� + 8� + 10�，则▵���是( ) A.等腰三角形 B. 直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.如图，一棵树在离地面 5 �处折断，树的顶部落在离底部 12 �处．树折断之前高( ) A. 10 � B. 15 � C. 17 � D. 18 � 第 2页，共 9页 7.如图，网格中小正方形的边长都是 1，四边形����的四个顶点都在格点上，在四条边��，��，��，�� 中，长度是无理数的条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员�向边线��传球，传球落点在边线��上任何位置都 能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员�，图中四边形����为直角梯形，�� = 5，�� = �� = 10，∠� = 60 ∘，则两次传球中足球飞过的最短路径为( ) A. 15 B. 10 3 C. 20 D. 20 3 9.如图①，�� △ ���的三边长�，�，�满足�2 + �2 = �2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图②， △ ���是腰长为 1 的等腰直角三角形，∠��� = 90°，延长��至点�1，使��1 = ��，以��1为底，在△ ��� 外侧作等腰直角三角形��1�1，再延长��1至点�2，使�1�2 = ��1，以��2为底，在△ ��1�1外侧作等腰直 角三角形��2�2……按此规律作等腰直角三角形�����(� ≥ 1, �为正整数)，则�2�2的长及△ ��2025�2025的面 积分别是 ( ) A. 2，22024 B. 4，22025 C. 4，22024 D. 2，22023 10.如图，在�� △ ���中，�� = ��，∠��� = 90°，�、�为��上两点，∠��� = 45°，�为△ ���外一点，且�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，则下列结论： ①�� = ��；②��2 + ��2 = ��2；③�△��� = 1 4�� ⋅ ��；④�� 2 + ��2 = 第 3页，共 9页 2��2.其中正确的是( ) A.①②③④ B. ②③④ C.①③④ D.②④ 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.为了比较 5 + 1 与 10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠� = 90∘，�� = 3，点�在边 ��上，且�� = �� = 1.通过计算，可得 5 + 1 10(填“>”“<”或“=”)． 12.如图，∠��� = 90°，�� = 25�，�� = 5�，一机器人在点�处看见一个小球从点�出发沿着��方向匀 速滚向点�，机器人立即从点�出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点�处截住了小球．如果小球滚动 的速度与机器人行走的速度相等，那么该机器人行走的路程��是 �. 13.如图，在直线�上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1.0，1.21，1.44，正 放置的四个正方形的面积分别为�1，�2，�3，�4，则�1 + �4 = ． 14.如图，一张长 25�的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端 7�.如果梯子的顶端下滑 4�， 那么梯子的底端将向右滑动 �. 15.已知�，�，�是海上的三座小岛，岛�在岛�的北偏东 38 ∘方向上，距离为 5 海里，岛�到岛�和岛�的距 离分别是 13 海里和 12 海里，则岛�在岛�的 方向上． 第 4页，共 9页 16.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，△ ���和△ ���的顶点都是网格线的交点，则∠��� + ∠��� = ． 17.勾股定理最早出自《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五.”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13； 7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差 1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差 2 的 一类勾股数，如 6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为 2�(� ≥ 3,�为正整数)，则其股是 (结 果用含�的式子表示)． 18.如图，在�� △ ���中，∠��� = 90 ∘，�� = 12，�� = 9，�� ⊥ ��，�� = 13��，�� = 1 3��，�是直线�� 上一动点，把△ ���沿��所在的直线翻折后，点�落在直线��上的点�处，��的长是 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点． (1)在图①中，画一个面积为 10 的正方形； (2)在图②③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数． 第 5页，共 9页 20.(本小题 8 分) 如图，在四边形����中，�� = �� = 8，∠� = 60°，∠��� = 150°，四边形����的周长为 32． (1)连接��，试判断△ ���的形状； (2)求��的长． 21.(本小题 8 分) 如图，一段笔直的河流一侧有一旅游地�，河边有两个漂流点�，�，其中�� = ��.由于某种原因，由�到� 的路现在已经不通，为方便游客，旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点�(�, �, �在同一直线上)，并新 修一条路��，测得�� = 5 千米，�� = 4 千米，�� = 3 千米． (1)判断△ ���的形状，并说明理由； (2)求原路线��的长． 第 6页，共 9页 22.(本小题 8 分) 拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，一个某种拉杆箱箱体长�� = 65��， 拉杆最大伸长距离�� = 35��，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的� 处，点�到地面的距离�� = 3��，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移 55��到�′处，求拉杆 把手�离地面的距离(假设�点的位置保持不变)． 23.(本小题 8 分) 如图 1，△ ���和△ ���都是等腰直角三角形，�� = ��，�� = ��，△ ���的顶点�在△ ���的斜边��上， 连接��． (1)求证：△ ��� ≌△ ���． (2)求证：��2 + ��2 = 2��2． (3)如图 2，过点�作�� ⊥ ��于点�并延长交��于点�，请写出线段��，��，��之间的数量关系，并给出 证明． 第 7页，共 9页 24.(本小题 8 分) 如图 1，在▵���中，�� ⊥ ��于点�，且��: ��: �� = 2: 3: 4． (1)试说明：▵���是等腰三角形． (2)已知�▵��� = 40 �� 2，如图 2，动点�从点�出发以 1 ��/�的速度沿线段��向点�运动，同时动点�从点 �出发以相同的速度沿线段��向点�运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点�运动的时间为� �． ①若▵���的边与��平行，求�的值． ②若�是边��的中点，则在点�的运动过程中，▵���能否成为等腰三角形？若能，求出�的值；若不能， 请说明理由． 第 8页，共 9页 25.(本小题 8 分) 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三 角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于�2，另一种是等于四个 直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 1 2 �� × 4 + � − � 2，从而得到等式�2 = 12 �� × 4 + � − � 2，化 简便得结论�2 + �2 = �2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求 法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向 常春在 2010 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的��▵���和��▵���按如图 2 所示的方式放置，其 三边长分别为�，�，�，∠��� = ∠��� = 90∘，显然�� ⊥ ��．(1)请用�，�，�，分别表示出四边形����， 梯形����，▵���的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理�2 + �2 = �2． (2)【方法迁移】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图 3，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得▵���， 边��上的高为_________． (3)如图 4，在▵���中，��是边��上的高，�� = 5，�� = 6，�� = 7.设�� = �，求�的值． 第 9页，共 9页 26.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，∠� = 90°，点�在��上，�� = 2 ��，�� = �� = 6 ��，过点�作射线�� ⊥ ��(�� 与��在��同侧)，若动点�从点�出发，沿射线��匀速运动，运动速度为 1 ��/�，设点�的运动时间为��. (1)当� = 时，△ ��� ≌△ ���． (2)在(1)的条件下，求证：�� ⊥ ��． (3)连接��，是否存在某个�的值，使得△ ���是等腰三角形？若存在，求出�的值；若不存在，请说明理由． 第3章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.的三边长分别为，，下列条件能判断是直角三角形的个数是(    ) ； ； ； ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.如图是一块农家菜地的平面图，已知，，，，，则这块菜地的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 5.若的三边长，，满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B  【解析】提示：将题中等式整理，得，即，所以，，因为，所以为直角三角形． 6.如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 7.如图，网格中小正方形的边长都是，四边形的四个顶点都在格点上，在四条边，，，中，长度是无理数的条数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员，图中四边形为直角梯形，，，，则两次传球中足球飞过的最短路径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于点， 连接，过点作于点，，， ，，， 两次传球中足球飞过的最短路径长等于，依题意得， ，． ，． 又，，． 又，，即两次传球中足球飞过的最短路径为． 故选B． 9.如图，的三边长，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至点，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至点，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形按此规律作等腰直角三角形为正整数，则的长及的面积分别是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】略 10.如图，在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论： ；；；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由条件可知， ， ， 由条件可知， ， ， ≌， ， 与不一定相等， 故BD不成立，故错误； 由中证明≌， ， 连接，如图所示：    ，， ， ≌， ， 由勾股定理可得， ，， ，故正确； 设与的交点为， ，， ，， ，故正确， ，， ， 在中，， ， ， ，故正确， 故选：． 根据等腰直角三角形的性质，判断出≌，即可得出，进而判定；根据勾股定理与等量代换可得正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出；再根据勾股定理以及等量代换即可得出． 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在边上，且通过计算，可得           填“”“”或“”． 【答案】     【解析】提示：因为，，，所以由勾股定理，得，因为，所以． 12.如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么该机器人行走的路程是           【答案】  【解析】略 13.如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则           ． 【答案】  【解析】略 14.如图，一张长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动           【答案】  【解析】略 15.已知，，是海上的三座小岛，岛在岛的北偏东方向上，距离为海里，岛到岛和岛的距离分别是海里和海里，则岛在岛的          方向上． 【答案】南偏东或北偏西  【解析】略 16.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，和的顶点都是网格线的交点，则          ． 【答案】  【解析】提示：连接，设小正方形的边长均为根据勾股定理，得，，，所以，所以是等腰直角三角形，且，因为  ，所以，所以． 17.勾股定理最早出自周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其股是          结果用含的式子表示． 【答案】  【解析】为正整数，为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，，解得． 18.如图，在中，，，，，，，是直线上一动点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，的长是          ． 【答案】或  【解析】当点在点左边时，如图由折叠知，，． ，，，． ，，，． ，，． 设，则，． ，，解得，即． 当点在点右边时，如图由折叠知，， 设，则，． ，，解得，即． 综上，或． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 正方形网格中每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点． 在图中，画一个面积为的正方形； 在图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数． 【答案】(1)如图①即为所作.（合理即可）   (2)如图②③即为所作.（合理即可）   【解析】 略  略 20.本小题分 如图，在四边形中，，，，四边形的周长为． 连接，试判断的形状； 求的长． 【答案】(1)解：∵AB＝AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．  (2)由（1）知∠ADB＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠BDC＝∠ADC-∠ADB＝90°．∵四边形ABCD的周长为32，AB＝AD＝BD＝8，∴BC+DC＝16．  设BC＝x，则CD＝16-x，由勾股定理可知  x2＝(16-x)2+82，解得x＝10，∴BC的长为10．  【解析】 略  略 21.本小题分 如图，一段笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，，其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客，旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点在同一直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 判断的形状，并说明理由； 求原路线的长． 【答案】(1)解：△BCH是直角三角形．  理由：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形，且∠CHB＝90°．  (2)设AC＝AB＝x，则AH＝AB-BH＝x-3，  在Rt△ACH中，AC＝x，AH＝x-3，CH＝4，  由勾股定理得AC2＝AH2+CH2，∴x2＝(x-3)2+42，解这个方程，得．  答：原路线AC的长为千米．  【解析】 略  略 22.本小题分 拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，一个某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变． 【答案】如图所示，过作于，延长交于，则． 设，则由题可得，，． 在中，在中，， ，解得，． 由勾股定理得，，． 又，， 拉杆把手离地面的距离为．   【解析】略 23.本小题分 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． 求证：． 求证：． 如图，过点作于点并延长交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：因为∠ECD=∠ACB=90°，即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， 所以∠ACE=∠BCD． 在△AEC和△BDC中，    ​​​​​​​所以△AEC  △BDC．  (2)证明：因为△AEC≌△BDC， 所以AE＝BD，∠CDB＝∠E＝45°． 又因为∠CDE＝45°， 所以∠ADB＝∠CDE+∠CDB＝90°． 在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2+BD2＝AB2． 在Rt△ACB中，根据勾股定理，得CA2+CB2＝AB2． 又因为CA＝CB，BD＝AE， ​​​​​​​所以AE2+AD2＝2AC2．  (3)解：AE2+DF2＝AF2．证明如下：  连接BF．由（2），得AE＝DB，∠FDB＝90°． 因为CF⊥AB，CA＝CB， 所以AO＝BO． 所以CF是AB的垂直平分线， 所以AF＝BF． 在Rt△BDF中，根据勾股定理，得DB2+DF2＝BF2， ​​​​​​​所以AE2+DF2＝AF2．  【解析】 略  略  略 24.本小题分 如图，在中，于点，且． 试说明：是等腰三角形． 已知，如图，动点从点出发以的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为． 若的边与平行，求的值． 若是边的中点，则在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：设，，，则．在中，由勾股定理，得．所以，所以，所以是等腰三角形．  (2)因为，，解得．所以，，，．由题意可知，，当点到达点时，点刚好到达点，此时． ①当时，，即，解得；当时，，即．综上所述，若的边与平行，则的值为5或6． ②能成为等腰三角形． 因为是边的中点，，所以． 当点在上，即时，为钝角三角形，但，不符合题意．当点运动到点，即时，不构成三角形． 当点在上，即时，分3种情况讨论：若，则，解得；若，则点运动到点，所以；若，过点作于点，因为，所以，在中，由勾股定理，得，因为，，所以，所以，所以在中，由勾股定理，得，即，解得．综上所述，的值为9或10或．   【解析】 略  略 25.本小题分 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． 如图，在中，是边上的高，，，设，求的值． 【答案】(1)证明：由题图，可知，，．因为，所以，所以，所以．  (2)（2）  ​​​​​​​ （3）解：在中，由勾股定理，得．由题意，得．在中，由勾股定理，得．所以，解得．   【解析】 略  提示：由题图，可知，所以，解得． 26.本小题分 如图，在中，，点在上，，，过点作射线与在同侧，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为 当          时，． 在的条件下，求证：． 连接，是否存在某个的值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8  (2)证明：∵，∴∠APM＝∠CAB，  而∠CAB+∠BAP＝90°，∴∠APM+∠BAP＝90°，∴∠ADP＝90°，∴AB⊥PM．  (3)解：存在．  在△ABC中，∠C＝90°，∵BC＝6，AC＝2+6＝8，∴​​​​​​​．过点B作BH⊥AN于点H，则AH＝BC＝6，BH＝AC＝8．  当AP＝AB时，△ABP是等腰三角形，∴t＝10；  当BP＝BA时，△ABP是等腰三角形，则AH＝PH，∴AP＝2AH＝12，∴t＝12．  当AP＝PB时，△ABP是等腰三角形，则PB＝t，∴PH＝t-6，在Rt△PBH中，∵PH2+BH2＝PB2，∴(t-6)2+82＝t2，解得．  综上所述，当t为10或12或时，△ABP是等腰三角形．  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 3.的三边长分别为，，下列条件能判断是直角三角形的个数是(    ) ； ； ； ． A. B. C. D. 4.如图是一块农家菜地的平面图，已知，，，，，则这块菜地的面积为(    ) A. B. C. D. 5.若的三边长，，满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6.如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高(    ) A. B. C. D. 7.如图，网格中小正方形的边长都是，四边形的四个顶点都在格点上，在四条边，，，中，长度是无理数的条数为(    ) A. B. C. D. 8.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员，图中四边形为直角梯形，，，，则两次传球中足球飞过的最短路径为(    ) A. B. C. D. 9.如图，的三边长，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至点，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至点，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形按此规律作等腰直角三角形为正整数，则的长及的面积分别是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 10.如图，在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论： ；；；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在边上，且通过计算，可得           填“”“”或“”． 12.如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么该机器人行走的路程是           13.如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则           ． 14.如图，一张长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动           15.已知，，是海上的三座小岛，岛在岛的北偏东方向上，距离为海里，岛到岛和岛的距离分别是海里和海里，则岛在岛的          方向上． 16.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，和的顶点都是网格线的交点，则          ． 17.勾股定理最早出自周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其股是          结果用含的式子表示． 18.如图，在中，，，，，，，是直线上一动点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，的长是          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 正方形网格中每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点． 在图中，画一个面积为的正方形； 在图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数． 20.本小题分 如图，在四边形中，，，，四边形的周长为． 连接，试判断的形状； 求的长． 21.本小题分 如图，一段笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，，其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客，旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点在同一直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 判断的形状，并说明理由； 求原路线的长． 22.本小题分 拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松如图，一个某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离假设点的位置保持不变． 23.本小题分 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． 求证：． 求证：． 如图，过点作于点并延长交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并给出证明． 24.本小题分 如图，在中，于点，且． 试说明：是等腰三角形． 已知，如图，动点从点出发以的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为． 若的边与平行，求的值． 若是边的中点，则在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 25.本小题分 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． 如图，在中，是边上的高，，，设，求的值． 26.本小题分 如图，在中，，点在上，，，过点作射线与在同侧，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为 当          时，． 在的条件下，求证：． 连接，是否存在某个的值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$