第2章 实数的初步认识 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第 1页，共 6页 第 2 章 实数的初步认识 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是( ) A. 7 是 49 的算术平方根 B. ±4 是 16 的算术平方根 C. −6 是 −6 2的算术平方根 D. 0.01 是 0.1 的算术平方根 2.已知 9.972 = 99.4009，9.982 = 99.6004，9.992 = 99.8001，则 997000的值的个位数字为( ) A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 3.若�满足 � = 3 �，则�的值为( ) A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或−1 4.如果−�是�的立方根，那么下列结论正确的是( ) A. −�是−�的立方根 B. �是�的立方根 C. �是−�的立方根 D.以上都不对 5.若� < 0，则 �2 − 3 �3 =( ) A. � B. 2� C. 0 D. −2� 6.如图，数轴上�，�两点表示的数分别为 2和3 131，则�，�两点之间表示整数的点共有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 7.��������的问世吸引了无数人的目光，其中�������� − �3 大语言模型参数量约为 671�，在预训练阶段 仅使用 2048 块���训练了约 2 个月的时间，且训练费用仅 560 万美元左右.上述信息中，准确数是( ) A. 671 B. 2048 C. 2 D. 560 8.已知� = 2 5 + 3 5 − 3 ，则与�最接近的整数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.无理数� − 2(� > 1 且为正整数)的整数部分是�，小数部分是�，则下列关系式中一定成立的是( ) A. � − � < 0 B. � − � > 0 C. � = � + � D. � − � = 2 10.如图，通过画边长为 1 的正方形，就能准确的把 2 表示在数轴上点�1处，记�1右侧最近的整数点为�1，以 点�1为圆心，�1�1为半径画半圆，交数轴于点�2，记�2 右侧最近的整数点为�2，以点�2为圆心，�2�2为半径 画半圆，交数轴于点�3，如此继续，则�8�8的长为( ) A. 2 − 1 B. 2 C. 2 + 1 D. 2 − 2 第 2页，共 6页 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.数轴上表示−2 的点到表示 3的点的距离是 ． 12.已知 9 + 13与 9 − 13的小数部分分别是�和�，则� + �的相反数的立方根为 ． 13.观察下表，根据得到的规律解决问题： � 0.008 8 8000 8000000 3 � 0.2 2 20 200 已知 3 16 ≈ 2.52，则3 0.016 ≈ ；3 16000000 ≈ ． 14.已知�，�都是实数，且� − � − 3 = 6 − 2� + 8，则� + 3�的立方根为 ． 15.著名的欧拉公式��� + 1 = 0，将自然常数�(又叫作欧拉数)与虚数单位�、圆周率�、自然数 1 和 0 这五个 最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中� ≈ 2.718，试比较大小： 5 �(填 “>”“=”或“<”)． 16.月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为 385000 千米，这个数据用科学记数法精确到万位 表示，应记为 千米． 17.已知�，�为实数，下列说法：  ①若� + � < 0，�� > 0，则|2� + 3�| =− 2� − 3�;  ②若|�| > |�|，则(� + �)(� − �)是正数;  ③若|� − �| + � − � = 0，则� > �;  ④若� < �，�� < 0 且|� − 3| < |� − 3|，则� + � > 6，其中正确的是 ． 18.数轴上�、�两点所对应的实数分别是−1， 3，点�为�轴上一点，若�、�、�中有一点是中点，则点� 所表示的实数是 ． 三、计算题：本大题共 1 小题，共 6 分。 19.(1)计算： −3 2 + �0 + 1 − 2 − 3 −8． (2)求下列各式中�的值：①3 � + 1 2 = 27； ② 2� − 1 3 =− 8． 第 3页，共 6页 四、解答题：本题共 7 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.(本小题 8 分) (1)如图，数轴上点�表示的数可能是( ) A. 7 B. − 7 C. −3.2 D. − 10 (2)如图，在数轴上点�和点�之间表示整数的点有 个． (3)如图，数轴上表示数 1， 5的对应点分别为�，�，且�为线段��的中点，则点�表示的数是 ． 21.(本小题 8 分) 如图是一个数值转换机的示意图，请从方框内的 4 个数中选择一个有理数和一个无理数，并计算输出结果． 第 4页，共 6页 22.(本小题 8 分) 已知�是 25 的算术平方根，�的相反数是 3 1 64， 13 < � < 21且�为整数． (1)分别求出�，�，�的值． (2)求 2� − 4� + �的平方根． 23.(本小题 8 分) 如图，有一只蚂蚁从点�沿数轴向左爬了 2 个单位长度到达点�，若点�表示数 5，设点�所表示的数为�． (1)实数�的值是 ． (2)求 �+ 2 2 + �+ 1 的值． (3)在数轴上还有�，�两点分别表示实数�和�，且有 2� + 4 与 � − 4互为相反数，求 2� + 3� + 8 的平方 根． 24.(本小题 8 分) (1)已知等腰三角形的两边长分别为�，�，且�，�满足 2� − 3� + 5 + (2� + 3� − 13)2 = 0，则此等腰三角 形的周长为( ) A. 7 或 8 B. 6 或 10 C. 6 或 7 D. 7 或 10 (2)已知△ ���的三边长�，�，�满足 � − 9 + � − 40 + (� − 41)2 = 0，试判断△ ���的形状． 第 5页，共 6页 25.(本小题 8 分) 某数学研究小组对面积为 12 的正方形边长的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段． 第一次探索报告： 面积为 12 的正方形的边长应介于 3～4 之间，不妨设边长为 3 + �，如图，计算面积，得 (3 + �)2 =________+ �2 = 12，下图中阴影部分面积为�2，因为边长接近 3，所以�2接近 0，可把�2看成 0 略去，得到方程________，解得� =________，该正方形的边长约为________． 第二次探索报告： (1)补充完整第一次探索报告． (2)借助该思路，在(1)得到近似值的基础上再进行探索，求出该正方形的边长的更精确的近似值(写出第二 次探索报告，画出示意图并标出数据，结果保留两位小数)． (3)已知长方形的面积是 11，长比宽多 2，请估计长方形长与宽的近似值(结果保留两位小数)． 第 6页，共 6页 26.(本小题 8 分) 阅读下面的材料： 大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明 用 2 − 1 来表示 2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的．因为 2的整数部分是 1，所以用 2减去其整数部分，差就是 2的 小数部分．又例如：因为 4 < 7 < 9，所以 2 < 7 < 3.所以 7的整数部分是 2，小数部分是 7 − 2． 根据上述材料，解答下列问题： (1) 19的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果 5的小数部分是�， 13的整数部分是�，求� + � − 5的值； (3)若 10 + 3 = � + �，其中�是整数，且 0 < � < 1，求� − �的相反数． 第2章 实数的初步认识 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. 是的算术平方根 B. 是的算术平方根 C. 是的算术平方根 D. 是的算术平方根 【答案】A  【解析】略 2.已知，，，则的值的个位数字为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】提示：因为，所以，所以，所以的值的个位数字为． 3.若满足，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或或 【答案】C  【解析】，当时，；当时，． 4.如果是的立方根，那么下列结论正确的是(    ) A. 是的立方根 B. 是的立方根 C. 是的立方根 D. 以上都不对 【答案】C  【解析】如果是的立方根，即，那么，即是的立方根，故选C． 5.若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，，，，故选 D． 6.如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】 提示：因为，，所以，两点之间表示整数的点有，，，，共有个． 7.的问世吸引了无数人的目光，其中大语言模型参数量约为，在预训练阶段仅使用块训练了约个月的时间，且训练费用仅万美元左右上述信息中，准确数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.已知，则与最接近的整数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】， ，， 与最接近的整数是，故选B． 9.无理数且为正整数的整数部分是，小数部分是，则下列关系式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，且为正整数， 且为整数． 当时，的整数部分，小数部分， ，，，； 当时，，，，． 综上可知，，，选项不成立，选项一定成立． 故选B． 10.如图，通过画边长为的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查实数与数轴，理解”数轴上两点之间的距离等于数轴上这两点表示的数中，较大的数减去较小的数“是关键． 由题意得，，，，，，，表示的数分别为，，，，，，，；，则，从而可知的数为，以此类推即可得，，，，，分别表示的数，进而可求出的长． 【解答】 解：由题意得，，，，，，，表示的数分别为，，，，，，，；， 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.数轴上表示的点到表示的点的距离是          ． 【答案】  【解析】略 12.已知与的小数部分分别是和，则的相反数的立方根为          ． 【答案】  【解析】提示：因为，所以的小数部分为即的小数部分为，的小数部分为所以，，所以所以． 13.观察下表，根据得到的规律解决问题： 已知，则           ；           ． 【答案】   【解析】提示：根据题意可知，一个数的小数点每向右左移动三位，它的立方根的小数点向右左移动一位． 14.已知，都是实数，且，则的立方根为          ． 【答案】  【解析】依题意得，，可得，代入式子得， 则，故其立方根为． 15.著名的欧拉公式，将自然常数又叫作欧拉数与虚数单位、圆周率、自然数和这五个最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中，试比较大小：           填“”“”或“”． 【答案】  【解析】略 16.月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示，应记为          千米． 【答案】  【解析】略 17.已知，为实数，下列说法： 若，，则 若，则是正数 若，则 若，且，则，其中正确的是          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了绝对值，有理数的乘法法则，加减法法则，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键． 由两数之和小于，两数之积大于，得到与都为负数，即小于，利用负数的绝对值等于它的相反数即可作出判断； 由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断； 由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小关系，即可作出判断； 先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，再分情况判断即可． 【解答】 解：若，则与同号，由，得到，，则，，本选项正确； 若， 当，时，可得，即，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数； 当，时，，，所以为正数， 本选项正确； ，即， ，即，本选项错误； ， ， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确； 则其中正确的有个． 故答案为：． 18.数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是          ． 【答案】或或  【解析】本题考查了数轴与实数，解题的关键是会用数轴上的实数表示点到点的距离． 根据题意进行分类讨论，用实数表示点到点的距离，计算即可． 【详解】解：设点所表示的实数是， 数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 点所表示的实数是或或， 故答案为：或或． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19. 计算：． 求下列各式中的值：；       ． 【答案】(1)解：原式．  (2)①，，解得或．   ②，解得．  【解析】 略  略 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，数轴上点表示的数可能是(    ) A. B. C. D. 如图，在数轴上点和点之间表示整数的点有          个． 如图，数轴上表示数，的对应点分别为，，且为线段的中点，则点表示的数是          ． 【答案】(1)B  (2)4  (3)  【解析】  因为，所以，而，所以，故只有选项 B符合要求．   因为，所以，同理，借助数轴可发现满足条件的整数有，，，，所以在，两点之间的整数点有个．   因为点表示的数比点表示的数大，所以点表示的数比点表示的数小，即点表示的数为． 21.本小题分 如图是一个数值转换机的示意图，请从方框内的个数中选择一个有理数和一个无理数，并计算输出结果． 【答案】答案不唯一，选一个有理数和一个无理数即可． 无理数 有理数 输入 输出结果   【解析】略 22.本小题分 已知是的算术平方根，的相反数是，且为整数． 分别求出，，的值． 求的平方根． 【答案】(1)解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 又∵且为整数， ∴；   (2)∵，，， ∴， ∴的平方根为．   【解析】  本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，无理数的估算； 根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后估算出和的取值范围，结合题意可得的值；   先求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 23.本小题分 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了个单位长度到达点，若点表示数，设点所表示的数为． 实数的值是          ． 求的值． 在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)   (2)当时，．  (3)因为与互为相反数，所以，所以，，解得，，所以，所以的平方根为．  【解析】 略  略  略 24.本小题分 已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 已知的三边长，，满足，试判断的形状． 【答案】(1)A  (2)由，且因为所以根据题意， 得解得因为a2+b2=92+402=1681=412=c2，所以△ABC是直角三角形．   【解析】  根据非负数的性质求出，的值，再分两种情况确定第三边的长，检验三边长是否能构成三角形，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而得出三角形的周长．   根据非负数的性质求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 25.本小题分 某数学研究小组对面积为的正方形边长的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段． 第一次探索报告： 面积为的正方形的边长应介于之间，不妨设边长为，如图，计算面积，得________，下图中阴影部分面积为，因为边长接近，所以接近，可把看成略去，得到方程________，解得________，该正方形的边长约为________． 第二次探索报告： 补充完整第一次探索报告． 借助该思路，在得到近似值的基础上再进行探索，求出该正方形的边长的更精确的近似值写出第二次探索报告，画出示意图并标出数据，结果保留两位小数． 已知长方形的面积是，长比宽多，请估计长方形长与宽的近似值结果保留两位小数． 【答案】(1)解：9+6a  9+6a=12  0.5  3.5．  (2)如图，设，示意图如图所示．由面积公式，可得x2+2x（3.5-x）+12=3.52，整理，得-x2+7x+12=12.25，略去x2，得方程7x+12=12.25，解得x=0.0357…．所以．   (3)由题意可知，该长方形的宽应介于2～2.5之间．设长方形的宽为2+a，长为4+a，则有（2+a）（4+a）=11，所以a2+6a+8=11．因为长方形的宽接近2，所以a2接近0，所以6a=3，所以a=0.5．再设长方形的宽为2.5-y，则长为4.5-y，则有（2.5-y）（4.5-y）=11，可得y2-7y+11.25=11，略去y2，得方程-7y+11.25=11，解得y=0.0357…．所以长方形的宽为2.46，长为4.46．  【解析】 略  略  略 26.本小题分 阅读下面的材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是，所以用减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，所以所以的整数部分是，小数部分是． 根据上述材料，解答下列问题： 的整数部分是          ，小数部分是          ； 如果的小数部分是，的整数部分是，求的值； 若，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4 ;​​​​​​​  (2)因为，，所以， b＝3．所以．  (3)因为，所以．又， x是整数，0＜y＜1，所以x＝11，．所以．因为的相反数是，所以 x-y的相反数是．  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. 是的算术平方根 B. 是的算术平方根 C. 是的算术平方根 D. 是的算术平方根 2.已知，，，则的值的个位数字为(    ) A. B. C. D. 3.若满足，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或或 4.如果是的立方根，那么下列结论正确的是(    ) A. 是的立方根 B. 是的立方根 C. 是的立方根 D. 以上都不对 5.若，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.的问世吸引了无数人的目光，其中大语言模型参数量约为，在预训练阶段仅使用块训练了约个月的时间，且训练费用仅万美元左右上述信息中，准确数是(    ) A. B. C. D. 8.已知，则与最接近的整数是(    ) A. B. C. D. 9.无理数且为正整数的整数部分是，小数部分是，则下列关系式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，通过画边长为的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.数轴上表示的点到表示的点的距离是          ． 12.已知与的小数部分分别是和，则的相反数的立方根为          ． 13.观察下表，根据得到的规律解决问题： 已知，则           ；           ． 14.已知，都是实数，且，则的立方根为          ． 15.著名的欧拉公式，将自然常数又叫作欧拉数与虚数单位、圆周率、自然数和这五个最重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中，试比较大小：           填“”“”或“”． 16.月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示，应记为          千米． 17.已知，为实数，下列说法： 若，，则 若，则是正数 若，则 若，且，则，其中正确的是          ． 18.数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.计算：． 求下列各式中的值：；       ． 四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，数轴上点表示的数可能是(    ) A. B. C. D. 如图，在数轴上点和点之间表示整数的点有          个． 如图，数轴上表示数，的对应点分别为，，且为线段的中点，则点表示的数是          ． 21.本小题分 如图是一个数值转换机的示意图，请从方框内的个数中选择一个有理数和一个无理数，并计算输出结果． 22.本小题分 已知是的算术平方根，的相反数是，且为整数． 分别求出，，的值． 求的平方根． 23.本小题分 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了个单位长度到达点，若点表示数，设点所表示的数为． 实数的值是          ． 求的值． 在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 24.本小题分 已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 已知的三边长，，满足，试判断的形状． 25.本小题分 某数学研究小组对面积为的正方形边长的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段． 第一次探索报告： 面积为的正方形的边长应介于之间，不妨设边长为，如图，计算面积，得________，下图中阴影部分面积为，因为边长接近，所以接近，可把看成略去，得到方程________，解得________，该正方形的边长约为________． 第二次探索报告： 补充完整第一次探索报告． 借助该思路，在得到近似值的基础上再进行探索，求出该正方形的边长的更精确的近似值写出第二次探索报告，画出示意图并标出数据，结果保留两位小数． 已知长方形的面积是，长比宽多，请估计长方形长与宽的近似值结果保留两位小数． 26.本小题分 阅读下面的材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是，所以用减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，所以所以的整数部分是，小数部分是． 根据上述材料，解答下列问题： 的整数部分是          ，小数部分是          ； 如果的小数部分是，的整数部分是，求的值； 若，其中是整数，且，求的相反数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$