精品解析： 河南省郑州四中2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州四中八年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与数轴上的点一一对应的是（ ） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的，解答即可． 本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 2. 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意； D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 3. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，即，故选项符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴即，故选项不符合题意； D、∵， ∴，即，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，则线段上任意一点的坐标可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据、两点纵坐标相等，可确定与轴平行，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，、两点纵坐标都为3， ∴轴， ∴线段上任意一点的坐标可表示为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查坐标系中点的特点及平行于x轴的点的特点，理解坐标系中点的特点是解题关键． 5. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. 不能比较 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．本题利用一次函数的性质解题，先根据一次项系数k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到，的大小关系． 【详解】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 6. 已知是方程组的解，则a＋b＝（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个关于未知系数的一元一次方程，解答即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入①，得a＋2＝−1， ∴a＝−3． 将代入②，得2−2b＝0， ∴b＝1． ∴a＋b＝−3＋1＝−2． 故选B． 【点睛】解答此题，需要对以下问题有一个深刻的认识： ①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解； ②二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 7. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 自然数都大于0 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据自然数的概念、平行公理、平行线的性质、实数的乘法法则判断即可． 【详解】解：A、自然数大于或等于0，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意； D、若，则或或，，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 8. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 【答案】C 【解析】 【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论. 【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=84， （2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=24， 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论. 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解：，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，，，， ． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 12. 体育课上的侧压腿动作（图）可以抽象为几何图形（图），如果，则等于______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，． 故答案为：． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，由方程组可得，再建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ②①得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：1 14. 已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【详解】解：①当时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得， ； ②当时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得， 所以的值为： 故答案为： 15. 如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，等面积法的应用．连接，，根据面积关系可以求得，当最小为边上高时，即可求出的最大值． 【详解】解：如图，连接，，过E作垂线，垂足为M点，过F作垂线，垂足为N点，即，， 则，， ∵E，F分别为，中点， ∴，， ∴， ∵， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴，设上的高为， ∴， ∴， 当最小时，即，此时时，最大， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后计算小括号里的加减法，再计算括号外面的除法即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）解： ②－①×2得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解是：． 17. 根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是__________． （2）__________，__________． （3）若，求满足条件的整数的值． 【答案】（1） （2）13.3，137 （3）183或184 【解析】 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得的值即可； （3）根据，结合表格中对应值可得的取值范围，再确定整数即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据对应值可知， ， 190.44的平方根是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：13.3，137； 【小问3详解】 解：由表格中的对应值可知， 当时，， 整数的值为183，184， 答：满足条件的整数的值为183或184． 【点睛】本题考查了平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是解题的关键． 18. 为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）； （3）该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 【答案】（1）13，16 （2）中位数 （3）23800次 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数分别求解可得； （2）由中位数不受极端值影响可得答案； （3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得． 【小问1详解】 解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次）， 众数为16次， 故答案为：13，16； 【小问2详解】 把数据“20”看成了“30”， 那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数， 故答案为：中位数． 【小问3详解】 ∵样本的平均数为：， ∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次． 【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键． 19. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 【答案】（1）至少需要布设个监控器； （2）至少需要布设个监控器； （3）． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【小问1详解】 解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ， 至少要布设个监控； 【小问2详解】 解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 此时，符合题意， ， 至少需要布设个监控器； 【小问3详解】 解：因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 【点睛】本题考查了勾股定理、方案设计，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，然后再设未知数列方程． 20. 某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 （1）购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； （2）该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【答案】（1）x，y的值分别为8，12 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）先根据题意列出方程组，然后求解即可； （2）先根据题意列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，解得：， ∴x，y的值分别为8，12． 【小问2详解】 解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵， ∴w随m增大而增大， ∵ ∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 21. （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 【答案】（1）； （2）； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M． 由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）略 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 22. 如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或 （3）m的值为4或6 【解析】 【分析】（1）将点C的坐标代入直线可得出a的值，即得点C坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点P的坐标为，先求出点B的坐标，然后根据的面积为6求解即可； （3）分两种情况：当时，过点C作轴于M，过点Q作轴于N，证明，根据，，得到，得；当时，过点C作轴于M，延长交直线l于N，同理得，得，得． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， 将代入直线， 得， ∴， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 设点P的坐标为， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵的面积为6，， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 以为腰的三角形是等腰直角三角形，分以下两种情况： ①当时， 过点C作轴于M，过点Q作轴于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当时， 过点C作轴于M，延长交直线l于N， 同理：， ∴，， ∴， ∴； 综上，m的值为4或6． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，方程的思想方法，分类讨论，是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州四中八年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与数轴上的点一一对应的是（ ） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 2. 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 比较下列各组数的大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，则线段上任意一点的坐标可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. 不能比较 B. C. D. 6. 已知是方程组的解，则a＋b＝（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 7. 下列命题，是真命题的是（ ） A. 自然数都大于0 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则 8. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的平方根是______． 12. 体育课上的侧压腿动作（图）可以抽象为几何图形（图），如果，则等于______． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为_______． 14. 已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则的值为______． 15. 如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则的最大值为________． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是__________． （2）__________，__________． （3）若，求满足条件的整数的值． 18. 为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）； （3）该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 19. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 20. 某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 （1）购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； （2）该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 21. （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 22. 如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求点C的坐标及直线的表达式； （2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $