第十三章 三角形（解答题专题训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练

2025-2026学年八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练 (第十三章 三角形解答题专题训练) 目录概览 考点一: 三角形的边 考点二: 三角形的中线、角平分线、高 考点三: 三角形的内角 考点四: 三角形的外角 考点一: 三角形的边 1．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 2．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 3．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 4．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 5．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 考点二: 三角形的中线、角平分线、高 6．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 7．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 8．如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 9．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 10．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 12．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 13．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 14．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 15．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 考点三: 三角形的内角 16．如图，已知中，于平分，求的度数． 17．已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 18．如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 19．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 考点四: 三角形的外角 21．在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． (1)如图，，求的度数； (2)探究与的数量关系． 22．如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 23．如图，在三角形中，点E，F分别在边上，连接，，延长至点B，过点D作射线，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 24．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 25．根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练 (第十三章 三角形解答题专题训练) 目录概览 考点一: 三角形的边 考点二: 三角形的中线、角平分线、高 考点三: 三角形的内角 考点四: 三角形的外角 考点一: 三角形的边 1．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 2．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【答案】其余两边长都为6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：为等腰三角形，且周长为， 设的三边长分别为、、，其中， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 则其余两边长都为6． 3．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 4．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 5．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 考点二: 三角形的中线、角平分线、高 6．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 7．如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 8．如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 9．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 10．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 【详解】（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 11．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． 【详解】（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 12．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 13．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 14．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 15．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 考点三: 三角形的内角 16．如图，已知中，于平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，利用三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ． ∵，平分， ． ， ∴． 17．已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质．利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再求出，得出，利用平行线的性质和判定即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，再把代入计算即可求证； 本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 19．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在中，，垂足为，，． (1)求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵是的平分线， ∴ 在中， ∴ 考点四: 三角形的外角 21．在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． (1)如图，，求的度数； (2)探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的内角和求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）设，，根据三角形的内角和定理，三角形的外角和角平分线的定义，推出即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可证出； （2）利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，结合角平分线定义、三角形内角和定理求出，，再根据角的和差及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 23．如图，在三角形中，点E，F分别在边上，连接，，延长至点B，过点D作射线，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由可得，再结合可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）结合（1）得，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 24．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的中线性质及三角形外角的性质，熟记三角形的中线平分该三角形的面积是解题的关键． （1）直接根据三角形外角的性质解答即可； （2）先根据E是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，根据求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点，的面积为10， ∴，则， ∵是边上的中线， ∴． 则， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴， ∴． 25．根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 20 / 24 学科网（北京）股份有限公司 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