精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

泉州七中2024—2025学年度下学期高二年期末考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔正确填涂智学网号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为,根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】随机变量服从正态分布， 则曲线的对称轴为, 由,可得， 则. 故选:D 4. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 5. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，得，则，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析的奇偶性，在上的单调性，结合上函数值的正负性可排除不符合题意的选项，即可得答案. 【详解】当时，，即在上单调递增，故排除A； 注意到，则为奇函数，故可排除B； 又注意到时，，故可排除D. 故选：C 7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种 【答案】D 【解析】 【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果； 若乙去，则甲可能去或，有2种结果， 共有6种结果； 将4名女医生分配到，，三个地方，分为211三组， 可能的结果有种， 所以满足题意的有种结果. 故选：D 8. 已知，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件和的性质，结合换底公式以及指数、对数函数的性质，找到相应参照基准，比较大小，最终得出. 【详解】， ， 又， . 根据换底公式： ， 已知， ，由于底数，且真数，底数越大，对数值越小, 因此， 所以. 综上，，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为1 C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得. 【详解】因为展开式的通项公式为， 对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确； 对B，二项式系数和为，故B错误； 对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确； 对D，令，得所有项的系数和为，故D错误； 故选：AC. 10. 甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知，的定义域为，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为偶函数，可得，关于对称，从而判断D；由，可得，即有，从而判断A；用赋值法判断C；用赋值法可求得，又由是定义在R上的奇函数，即可判断B． 【详解】D选项，因为为奇函数，所以， 所以函数关于中心对称，且，； 又因为为偶函数，所以， 所以关于对称，且，故D正确； A选项，又因为， 用替换x，得， 又因为，所以， 用x替换，得，所以是R上的偶函数，故A正确； C选项，由， 可得，即，， 所以，所以函数的周期为8， 在中，令，则有， 又因为，所以， 在中，令，则有， 又因为为偶函数，所以，故C正确； B选项，在中，令，则有， 又因为，所以，又因为的定义域为R，所以不为奇函数，故B错误． 故选：ACD． 【点睛】结论点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是函数极值点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】对已知函数变形后求导，根据是极值点，得到，解关于的方程即可. 【详解】已知， 求导得：. 因为是极值点， 所以，解得. 当时，， ， 当时，，当时，， 所以是极值点，符合题意. 所以. 故答案为：2. 13. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m ， 有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，解得，又， 所以的最小值为. 故答案为：20. 14. 某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出从12个球中任取3个球的方法数，并求出取出的3个球的标号之和能被3整除的方法数，得出的所有可能取值，再求出，，，最后利用数学期望的计算公式求数学期望即可. 【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法， 1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11， 由题意知的所有可能取值为0，1，2， 取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有： ①标号被3整除的球中取3个有； ②标号被3除余数为1的球取3个有； ③标号被3除余数为2的球取3个有； ④标号被3整除和除3余1和除3余2的三类球各取1个有. 则． 取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个有； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个有； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个有. 则. 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： ①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有， 则， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以球的抽取为背景考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的数学期望等知识，解题的关键性是分类要不重复不遗漏，考查了学生逻辑思维能力、数据处理能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式； （2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果. 【小问1详解】 由为偶函数，有， 即， ，解得； 经检验，时，满足，符合题意； 因此函数的解析式为. 【小问2详解】 由题意知有且只有一个实数解, 有且只有一个实数解； 令，则关于的方程有且只有一个大于0的解， 即关于的方程有且只有一个大于0的解 则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点 由函数的图象得，此公共点为， 可得. 16. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【解析】 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 【小问2详解】 因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 17. 数列的前项和为， 满足 且首项 . （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）令讨论（为的导数）与 的大小关系. 【答案】（1）证明见解析， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得时，两式相减结合构造法可得数列为等比数列，由此可计算数列的通项公式. （2）求导，得到，利用错位相减法计算，讨论的取值范围即可得到与 的大小关系. 【小问1详解】 由已知可得时，， 两式相减得，即， ∴， 当时，，∴， ∵，∴，∴， 故有，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，故. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴ ， ∴， ①-②得， ， ∴， ∴， 当时，，∴. 当时，，∴. 当时， ，∵， ∴ ，∴ ， 综上，当时，； 当时，； 当时，. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 设， ， 在上单调递增， ， ，使， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 ， ， 在处的切线为. 【小问2详解】 ， ，则，所以， 在上单调递减， 时，， 因为对任意恒成立，所以， 则，的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为 （3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2024—2025学年度下学期高二年期末考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔正确填涂智学网号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.8 4. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种 8. 已知，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为1 C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128 10. 甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 11. 已知，的定义域为，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是函数极值点，则______. 13. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 14. 某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 16. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 17. 数列的前项和为， 满足 且首项 . （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）令讨论（为的导数）与 的大小关系. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 19. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $