精品解析：福建省漳州市第八中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

漳州市第一外国语学校初三年上学期12月份数学练习 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠AOB=60°，则k的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点，根据图象判断下列说法正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 10. 如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸相应位置．） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知与相似且对应边的比为，若周长为8，则的周长为______． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 14. 如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为________．（结果保留根号） 15. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 16. 如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答．） 17. 用适当的方法解方程：． 18. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． （2）写出的坐标． 20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 21. 如图，已知△ABC为和点A'. (1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'. 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）求的面积． 23. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； （3）已知两个不相等的实数满足，求的值． 24. 小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． （1）求水流所形成的抛物线的表达式． （2）小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． （3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 25. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州市第一外国语学校初三年上学期12月份数学练习 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可，一元二次方程的一般形式为． 【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、， 故选：A． 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，根据已知条件，将字母关系转化代入化简即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同， ∵反比例函数的图象经过点， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 5. 如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠AOB=60°，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵∠ACB=30°，∠AOB=60°，∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°．∴∠OAC=∠ACO． ∴OA=OC=4． 在△AOB中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，∴∠OAB=30°． ∴OB=OC=2，AB=OB=2．∴A点坐标为（﹣2，2）． 把A（﹣2，2）代入得k=﹣2×2=﹣4． 故选B． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点，根据图象判断下列说法正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求出解析式式是解题关键． 设，把点求出解析式，再结合图象分析即可得答案． 【详解】解：设，把点 代入上式得，， ∴， ∴，故答案A错误． 由图象可得，当时，，故答案B错误； 当时，， ∵R与I成反比例关系， ∴当时，， 故答案C错误； 综合可知当时，的取值范围是，故D正确， 故选：D． 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答． 解：∵将沿直线折叠， ， ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ， ∵将沿直线折叠， ，，， ， ， ， ，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ，， ， ，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点作于点， ，， ， ，，， ， ， ， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸相应位置．） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 已知与相似且对应边的比为，若周长为8，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据对应边的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应边的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：12． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 【详解】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, 经检验是方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 14. 如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并整理，解方程即可获得答案． 【详解】解：∵两点都是线段的黄金分割点， 设，则， ∴， ∴， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 15. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 16. 如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点D作，根据反比例函数的性质，结合勾股定理，一线三直角相似模型解答即可． 【详解】解：过点D作，垂足为G，如图所示． ∵点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E， ∴，，． 又∵与关于直线对称，点F恰好落在x轴上， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， 即， 解得：． 故答案为：3． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答．） 17. 用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． （2）写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 21. 如图，已知△ABC为和点A'. (1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'. 【答案】 （1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求． （2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点， ∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB， ∴△DEF∽△CAB， 同理：△D'E'F'∽△C'A' B'， 由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′， ∴△DEF∽△D'E'F'． 【解析】 【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可． （2）根据中位线定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'. 【详解】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求． 证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式和点坐标即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【小问1详解】 解： 点，在反比例函数图象上， ， ，， 反比例函数解析式为，， 【小问2详解】 解：点，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 令，则， ， ． 23. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； （3）已知两个不相等的实数满足，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， ． ． 又， 是一元二次方程的两个根； （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，将代入，得， ． 黄金分割数大于0， 黄金分割数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，令①，②， ①②得， ． ①②得． 为两个不相等的实数， ． ， ， 又， ． ， ， ． 24. 小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． （1）求水流所形成的抛物线的表达式． （2）小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． （3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 【答案】（1） （2）此浇水装置不能浇到古树， 令，则， 解得（负值已舍去）， ， 此浇水装置不能浇到古树； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程，求出的与5比较即可； （3）设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，然后把代入解析式求出即可． 【小问1详解】 解：设水流所形成的抛物线的表达式为． 把点代入，得， 解得， 水流所形成的抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变， 设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， 此喷水装置需要向上移动的最小距离是． 25. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）证明，可得到； （2）连接，证明，可得到； （3）作，设，那么，那么，因为，，，那么，最后利用配方法求得的最值． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示 四边形是正方形 ， 为等腰直角三角形， ， （3）作交于，不妨设，如图所示： 由（2）可知， 那么为等腰直角三角形 那么 ，， 时，最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $