第16章 整式的乘法 单元提优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第16章 整式的乘法 单元提优卷 - 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中计算结果为的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了同底数幂的乘法和合并同类项，解决本题的关键是掌握以上知识． 根据同底数幂的乘法和合并同类项即可求解． 【解答】 解：不是同类项不能合并，所以选项不符合题意； B.符合题意； C.，不符合题意； D.不是同类项不能会并，不符合题意． 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.若一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：根据图乙能得到的数学公式是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 6.若的运算结果中项的系数为，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解： ； 运算结果中的系数是， ， 解得， 故选：． 先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中的系数是，列出关于的等式求解即可． 本题考查了多项式的乘法，解题的关键是运用运算结果中的系数是，列方程求解． 7.现有甲、乙两张正方形纸片，如图，将甲纸片与乙纸片并排放置，其中，为的中点，连接，；如图，将乙纸片与甲纸片叠放．若甲、乙两张正方形纸片的边长之和为，图中涂色部分的面积为，则图中涂色部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设正方形纸片甲的边长为，正方形纸片乙的边长为． 由题意可得，，，，． 为的中点，． ． 8.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设， ，即． ，即，即． 9.“幻方”最早记载于春秋时期的大戴礼记中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：每个大圆圈上的四个数字的和都等于， ， ，， 设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10.观察各式：；；；根据以上规律计算：的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 【详解】解：， 原式． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知，，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：，，，  故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12.已知，，则          填“”“”或“” 【答案】  【解析】略 13.比较大小：          填“”“”或“” 【答案】  【解析】略 14.已知，则          ． 【答案】  【解析】【点拨】． 15.若，则的值是          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，两个正方形的边长分别为 和 ，如果， ，那么阴影部分的面积是          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，正方形和正方形的面积和为，、、三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、完全平方公式等知识点，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，依题意得，，进而得，由此得，再求出，继而得，然后将，代入计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形和正方形的面积和为， ， 、、三点共线且， ，即， ，，， ，解得：． ， ． 故答案为：． 18.世纪欧拉引进了求和符号“”其中，且和表示正整数，对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即例如：当时，若，则           ． 【答案】  【解析】本题考查了多项式乘多项式求和，恒等式的问题，根据，把代入，然后通过法则进行计算对比即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，且中二次项系数为， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算： ； ； ； ． 【答案】；   ；   ；   ．  【解析】 ； ； ； ． 先算乘方，再算除法，即可解答； 先算乘方，再算除法，即可解答； 利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； 利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：原式． 当，时，原式．   【解析】略 21. 已知，，求； 已知是正整数，求的值． 【答案】(1)解：因为32n＝b，所以25n＝b． 又因为2m＝a， 所以23m＋10n＝23m·210n＝（2m）3·（25n）2＝a3b2．   (2)因为x＋2y-7＝0，所以x＋2y＝7， 所以2x·4y＝2x·22y＝2x＋2y＝27＝128．   【解析】 见答案  见答案 22.本小题分 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： 第一次提价，第二次提价； 第一次提价，第二次提价； 第一、二次提价均为 其中，是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？ 提示：因为，，所以 【答案】解：设该种产品的原价为，按三种方案提价后， 产品的价格分别是，，依题意，得 ，， ． 因为， ， 所以 ． 因为，所以，所以． 又因为，所以． 所以方案提价最多．   【解析】见答案 23.本小题分 如图单位：，某市有一块长为，宽为的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时，绿化的面积． 【答案】解：  当，时，  原式  【解析】略 24.本小题分 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此，，都是“神秘数”．           填“是”或“不是”“神秘数”； 证明：“神秘数”一定是的倍数． 【答案】(1)是  (2)证明：设较小的偶数为2k，则较大的偶数为2k+2．∴（2k+2）2-（2k）2=8k+4=4（2k+1）．∵k为非负整数，∴2k+1为正整数．∴“神秘数”一定是4的倍数．  【解析】 略  略 25.本小题分 在我国南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术年一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪年左右也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”此图揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律：                                                                                                                    补充完整的展开式，          ； 的展开式中共有          项，所有项的系数和为          ； 利用上面的规律计算：． 今天是星期五，过了天后是星期几？直接写答案 【答案】(1)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4  (2)8 ;27  (3)解：由题意可知25+5×24+10×23+10×22+5×2+1=25+5×1×24+10×12×23+10×13×22+5×14×2+15， ∴可取a=2，b=1，即原式=（2+1）5=35；   (4)星期六．  【解析】 略  略  略   解：今天是星期五，过了天后是星期六， ，为各项的系数 都能被整除， 除以余，如果今天是星期五，过了天后是星期六． 26.本小题分 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．观察以下组代数恒等式和图形，写出它们的对应关系：；；； 探究：对应          ，对应          ，对应          ，对应          ． 利用上述公式，阅读下面的材料： 若，则， 所以， 所以． 应用：若，则           ，           用含有的式子表示 拓展：若，下列等式：；，当为自然数时，有且仅有一个成立，请判断哪个等式成立，并说明理由． 【答案】(1)D;B;C;A  (2)  ;​​​​​​​  (3)等式①成立，理由如下： 由（1）知，若，，， 所以， 所以， 所以．   【解析】  本题考查了用图形面积解释相应的代数恒等式，完全平方公式的应用，分式的化简求值． 根据图形用两种不同的方法表示同一个图形的面积即可求解； 【详解】解：表示边长为的正方形的面积，这个正方形的面积也可表示为，符合， 所以对应； 表示边长为的正方形的面积，这个正方形的面积也可表示为，符合， 所以对应； 表示长、宽分别为、的矩形的面积，这个矩形的面积也可表示为，符合， 所以对应； 表示边长为的正方形的面积，这个正方形的面积也可表示为，符合， 所以对应； 故答案为：；；；；   利用完全平方公式即可得出答案； 若，则， 所以， 所以 ， 故答案为：；；   利用已知进而得出变化规律，即可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第 16 章 整式的乘法 单元提优卷 - 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中计算结果为�5的是( ) A. �3 + �2 B. �3·�2 C. �·�3 D. �7 − �2 2.下列运算正确的是( ) A. (3�)2 = 6�2 B. ( − ��)2 =− �2�2 C. −(2�)2 =− 2�2 D. (�2�)3 = �6�3 3.若一个长方体的长、宽、高分别是 3� − 4，2� − 1 和�，则它的体积是( ) A. 6�3 − 5�2 + 4� B. 6�3 − 11�2 + 4� C. 6�3 − 4�2 D. 6�3 − 4�2 + � + � 4.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是( ) A. (� + 1)(1 + �) B. 12� + � � − 1 2 � C. ( − � − �)(� + �) D. (2� − �)(� + 2�) 5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： (� + �)2 = �2 + 2�� + �2.根据图乙能得到的数学公式是 ( ) A. �2 − �2 = (� − �)2 B. (� + �)2 = �2 + 2�� + �2 C. (� − �)2 = �2 − 2�� + �2 D. �2 − �2 = (� + �)(� − �) 6.若(� + 1)(2�2 − �� + 1)的运算结果中�2项的系数为−6，则�的值是( ) A. 4 B. −4 C. 8 D. −8 7.现有甲、乙两张正方形纸片，如图①，将甲纸片与乙纸片 并排放置，其中，�为��的中点，连接��，��；如图②，将 乙纸片与甲纸片叠放．若甲、乙两张正方形纸片的边长之和 为 14，图②中涂色部分的面积为 4，则图①中涂色部分的面 积为( ) A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 第 2页，共 6页 8.已知(� − 2024)2 + (� − 2026)2 = 38，则(� − 2025)2的值是( ) A. 4 B. 18 C. 12 D. 16 9.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四 个数字的和都等于 14，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记�、�，且� + � = 116，则��的值为( ) A. 7 B. 25 C. 12 D. 14 10.观察各式：(� − 1)(� + 1) = �2 − 1；(� − 1)(�2 + � + 1) = �3 − 1； (� − 1)(�3 + �2 + � + 1) = �4 − 1；…根据以上规律计算：− 22025 + 22024 − 22023 + 22022 − 22021 + . . . + 24 − 23 + 22 − 2 + 1 的值是( ) A. −2 2025+1 3 B. −22026+1 3 C. − 2 2026 − 1 D. − 22025 + 1 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知�� = 4，�� = 2，则��+�的值为 ． 12.已知� = (33)2，� = 94，则� �. (填“>”“<”或“=”) 13.比较大小：275 350. (填“>”“<”或“=”) 14.已知��2 =− 3，则−��(�2�5 − ��3 − �) = ． 15.若(2� + 2� + 1)(2� + 2� − 1) = 35，则�+ �的值是 ． 16.如图，两个正方形的边长分别为�和�，如果� + � = 10，�� = 22，那么阴影部分的面积是 ． 第 3页，共 6页 17.如图，正方形����和正方形����的面积和为 15，�、�、�三点共线且�� = 5，则图中阴影部分图形 的面积为 ． 18.18 世纪欧拉引进了求和符号“ �=� � � ”(其中� ≤ �，且�和�表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： �=� � � 表示�从�开始取数一直取到�，全部加起来，即 �=� � � = � + � + 1 + � + 2 + � + 3 + ⋯+ �.例如： 当� = 1 时， � � � = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �.若 �=2 � � − � � − � + 1 = 3�2 + �� + �，则� = ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 计算： (1)( − 8�2�3) ÷ (2��)2； (2)( − �2�)3 ⋅ ( − 4��2 + 3�2�)； (3)( − � + 4�)( − � − 4�) − �(� − 8�)； (4)(� + 2�)2 − (� + �)(� − �)． 20.(本小题 8 分) 先化简，再求值：[(� + 2�)2 + (� + 2�)(2� − �)] ÷ 4�，其中� =− 2，� = 1． 21. (1)已知2� = �，32� = �，求23�+10�； (2)已知� + 2� − 7 = 0(�, �是正整数)，求2�·4�的值． 第 4页，共 6页 22.(本小题 8 分) 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： (1)第一次提价�％，第二次提价�％； (2)第一次提价�％，第二次提价�％； (3)第一、二次提价均为�+�2 ％. 其中�，�是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？ (提示：因为� ≠ �，(� − �)2 = �2 − 2�� + �2 > 0，所以�2 + �2 > 2��. ) 23.(本小题 8 分) 如图(单位：�)，某市有一块长为(3� + �)�，宽为(2� + �)�的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿 化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当� = 6，� = 1 时，绿化的面积． 24.(本小题 8 分) 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4 = 22 − 02，12 = 42 − 22，20 = 62 − 42，因此 4，12，20 都是“神秘数”． (1) 36 (填“是”或“不是”)“神秘数”； (2)证明：“神秘数”一定是 4 的倍数． 第 5页，共 6页 25.(本小题 8 分) 在我国南宋数学家杨辉(约 13 世纪)所著的《详解九章算术》(1261 年)一书中，用如图的三角形解释二项和 的乘方规律，法国数学家帕斯卡于 1654 年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他 之前北宋数学家贾宪(1050 年左右)也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三 角”.此图揭示了(� + �)�(�为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律： 1 1 1 ……(� + �)1 = � + � 1 2 1 ……(� + �)2 = �2 + 2�� + �2 1 3 3 1 ……(� + �)3 = �3 + 3�2� + 3��2 + �3 1 4 (    ) (    ) 1 ……(� + �)4 = �4 + 4�3� + 6�2�2…… …… (1)补充完整(� + �)4的展开式，(� + �)4 = ； (2) (� + �)7的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：25 + 5 × 24 + 10 × 23 + 10 × 22 + 5 × 2 + 1． (4)今天是星期五，过了86天后是星期几？(直接写答案) 第 6页，共 6页 26.(本小题 8 分) 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．观察以下 4 组代数恒等式和图形，写出它们的对 应关系：① � + � 2 = �2 + 2�� + �2；② � − � 2 = �2 − 2�� + �2；③ � + � � − � = �2 − �2；④ � − � 2 = � + � 2 − 4�� (1)探究：①对应 ，②对应 ，③对应 ，④对应 ． 利用上述公式，阅读下面的材料： 若� + 1� = 2，则 � + 1 � 2 = �2 + 2 ⋅ � ⋅ 1�+ 1 �2 = 4， 所以�2 + 1�2 = � + 1 � 2 − 2 ⋅ � ⋅ 1� = 4 − 2 = 2， 所以�4 + 1�4 = � 2 + 1�2 2 − 2 ⋅ �2 ⋅ 1�2 = 4 − 2 = 2． (2)应用：若� + 1� = �，则� 2 + 1�2 = ，� 4 + 1�4 = (用含有�的式子表示) (3)拓展：若� + 1� = 2，下列等式：① � 2 + 1�2 + � 4 + 1�4 +⋯+ � 2� + 1 �2� = 2�；② �2 + 1�2 + � 4 + 1 �4 +⋯+ � 2� + 1 �2� = 2�，当�为自然数时，有且仅有一个成立，请判断哪个等式成立，并说明理由． 第16章 整式的乘法 单元提优卷 - 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中计算结果为的是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积是(    ) A. B. C. D. 4.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：根据图乙能得到的数学公式是  (    ) A. B. C. D. 6.若的运算结果中项的系数为，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.现有甲、乙两张正方形纸片，如图，将甲纸片与乙纸片并排放置，其中，为的中点，连接，；如图，将乙纸片与甲纸片叠放．若甲、乙两张正方形纸片的边长之和为，图中涂色部分的面积为，则图中涂色部分的面积为(    ) A. B. C. D. 8.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.“幻方”最早记载于春秋时期的大戴礼记中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.观察各式：；；；根据以上规律计算：的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知，，则的值为          ． 12.已知，，则          填“”“”或“” 13.比较大小：          填“”“”或“” 14.已知，则          ． 15.若，则的值是          ． 16.如图，两个正方形的边长分别为 和 ，如果， ，那么阴影部分的面积是          ． 17.如图，正方形和正方形的面积和为，、、三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为          ． 18.世纪欧拉引进了求和符号“”其中，且和表示正整数，对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即例如：当时，若，则           ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算： ； ； ； ． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 21. 已知，，求； 已知是正整数，求的值． 22.本小题分 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： 第一次提价，第二次提价； 第一次提价，第二次提价； 第一、二次提价均为 其中，是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？ 提示：因为，，所以 23.本小题分 如图单位：，某市有一块长为，宽为的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时，绿化的面积． 24.本小题分 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此，，都是“神秘数”．           填“是”或“不是”“神秘数”； 证明：“神秘数”一定是的倍数． 25.本小题分 在我国南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术年一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪年左右也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”此图揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律：                                                                                                                    补充完整的展开式，          ； 的展开式中共有          项，所有项的系数和为          ； 利用上面的规律计算：． 今天是星期五，过了天后是星期几？直接写答案 26.本小题分 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．观察以下组代数恒等式和图形，写出它们的对应关系：；；； 探究：对应          ，对应          ，对应          ，对应          ． 利用上述公式，阅读下面的材料： 若，则， 所以， 所以． 应用：若，则           ，           用含有的式子表示 拓展：若，下列等式：；，当为自然数时，有且仅有一个成立，请判断哪个等式成立，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$