第14章全等三角形单元提优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】只有选项中的两个图形的形状、大小都相同，是全等形． 2.如图，点，，，在同一条直线上．若，且，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.如图，下列各选项中与一定全等的三角形是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.如图，平分，，，分别是射线、射线、射线上的点，点，，与点都不重合，连接，若添加下列条件中的一个，就能使，你认为要添加的那个条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 5.将两个完全相同的三角尺按图所示的方式放置，使顶点重合于点处，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 6.如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，，，，  在中，，，，，． 7.如图，已知，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；以点为圆心，为半径作弧，交于点；以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；连接并延长，交于点则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 8.阅读以下作图步骤： 在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，连接，，如图所示根据以上作图，一定可以推得的结论是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A  【解析】A.以，为圆心画弧的半径相等，因此，又， ，因此≌得到，故A符合题意； B.因为，的长在变化，所以和不一定相等， 因此不一定等于，故B不符合题意； C.因为，的长在变化，所以和不一定相等，故C不符合题意； D.的位置在变化，所以和不一定平行， 因此不一定等于，故D不符合题意．故选A． 9.如图，在四边形中，，，连接，，垂足为，并且，点是边上一动点，则的最小值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，过点作于点，，，，又，，，，是的平分线，又，，，，，因此的最小值为故选B． 10.已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论： ；；，． 其中结论正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】本题考查三角形全等的证明以及全等的性质．因为且有公共角，所以，结合，，由可知；在与中，有为公共边，，但没有，所以无法证明；由全等三角形对应角相等，可得，，所以，． 【详解】解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ， 所以正确； 由可得，， ， ， ， 所以，正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明， 所以错误； 综上，正确的有，，三个， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，，，，则          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，若和的周长分别是和，则的长是          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在中，于点，要使，若直接根据“”判定，还需要添加条件：          ． 【答案】  【解析】略 14.要测量河岸相对的两点，之间的距离，已知河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是          米． 【答案】  【解析】略 15.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是          ． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上  【解析】略 16.如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接并延长至点，使得，连接，则四边形阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是          ． 【答案】  【解析】略 18.如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是           【答案】  【解析】【分析】 在上取一点，使，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式求解即可． 本题主要考查两点之间线段最短，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【解答】 解：如图，在上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，，，垂足分别为，，求证． 【答案】证明：，， ． 在和中， ． ．   【解析】如果能证明，就可以得出由题意可知，和具备“斜边、直角边”的条件． 20.本小题分 如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，点，分别在，上，，连接，求证． 【答案】证明：是的平分线，，， ，． 在和中， ≌， ．   【解析】见答案 21.本小题分 如图，，是的中点，平分求证：平分提示：过点作，垂足为 【答案】证明：过点作于点，如图所示． ， ，． 平分， ． 又是的中点， ，． ，， 是的平分线， 即平分．   【解析】见答案 22.本小题分 如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点求证： 点到三边，，所在直线的距离相等； 点在的平分线上． 【答案】(1)证明：如图所示，过点P分别作PH⊥AC，PI⊥BC，PJ⊥AB，垂足分别为点H，I，J． ∵BF是∠CBD的平分线，点P在BF上， ∴PI＝PJ． 同理，PH＝PI． ∴PH＝PI＝PJ． ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．   (2)由（1）得PH＝PJ，且PH⊥AC，PJ⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．  【解析】 见答案  见答案 23.本小题分 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且．           用含的式子表示； 如图，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（10-2t）cm  (2)解：存在．分两种情况讨论： ①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP △PCQ． ∵AB=6，∴PC=6．∴BP=10-6=4，即2t=4， 解得t=2．∴CQ=BP=4，∴2v=4，解得v=2； ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP △QCP． ∴．∴2t=5，解得t=2.5． ∴CQ=BA=6，∴2.5v=6，解得v=2.4． 综上所述，当v的值为2.4或2时，△ABP与△PQC全等．   【解析】 略  略 24.本小题分 下面是小明设计的“已知两边及其夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段，及． 求作：，使得，，． 作法：如图． 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 作射线； 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 分别以点，为圆心，，为半径作弧，两弧交于直线上方的点； 连接，． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，解答下列各题． 使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形保留作图痕迹； 请补全下面的证明过程． 证明：在和中，                      填推理的依据           填推理的依据 ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)解：如图,ABC为所作;   (2)PQ ;SSS ;全等三角形的对应角相等  【解析】 略  略 25.本小题分 如图，已知，，，且，，三点在一条直线上． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，请直接写出与之间的数量关系：          ； 若点在线段的延长线上点，，按逆时针排列，请将备用图补充完整，并直接写出与之间的数量关系：________． 【答案】(1)解：证明：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD△ACE（SSS）． ∴∠BAD=∠CAE．∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．   (2)∠ADE+∠AEC=180°  (3)如图： ∠ADE=∠AEC​​​​​​​   【解析】 略  略  略 26.本小题分 问题探索 如图，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． 直接写出           ，的最小值为          ； 请说明； 直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸如图，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． 在的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 【答案】(1)  ;​​​​​​​  (2)证明，， ， 即， ；   (3)解：， ， ， ， ， ；   (4)解：，， ， 即， ； ， ， ，即， ，， ；   (5)解：当点在线段上时，由（4）知，， ， ； 当点在线段延长线上时， ，， ， 即， ； ， ； 当点在线段延长线上时， ​​​​​​​，， ， 即， ； ， ； 综上所述，或或．   【解析】  本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理， 根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，当点在线段中点处时，则，此时值最小求出即可； 【详解】解：在中，， ， 点在线段上运动， 当点在线段中点处时，则，此时值最小， 在中，， 当点在线段中点处时，最小值为； 故答案为：，；   证明即可证明结论；   根据全等三角形性质得出，即可得出结论；   证明，得出，根据求出结论；   分三种情况：当点在线段上时或当点在线段延长线上时或当点在线段延长线上时，分别根据全等三角形判定与性质求出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 9页 第 14 章 全等三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是( ) A. B. C. D. 2.如图，点�，�，�，�在同一条直线上．若△ ��� ≌△ ���，且�� = 5，�� = 2，则��的长为( ) A. 2 B. 3 C. 1.5 D. 5 3.如图，下列各选项中与△ ���一定全等的三角形是 ( ) A. B. C. D. 4.如图，��平分∠���，�，�，�分别是射线��、射线��、射线��上的点，点�，�，�与点�都不重合， 连接��，��.若添加下列条件中的一个，就能使△ ��� ≌△ ���，你认为要添加的那个条件是( ) A. �� = �� B. �� = �� C. ∠��� = ∠��� D. ∠��� = ∠��� 5.将两个完全相同的三角尺按图所示的方式放置，使顶点重合于点�处，∠��� = ∠��� = 90°.若∠��� = 25°， 则∠���的度数是( ) A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 第 2页，共 9页 6.如图，▵��� ≌ ▵���，点�和点�是对应顶点，∠� = ∠� = 90°，记∠��� = �，∠��� = �，当��//�� 时，�与�之间的数量关系为( ) A. � = 2� B. � = � C. � + � = 90° D. � + � = 180° 7.如图，已知∠��� = �，�为射线��上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点�为圆心，任意长为半径作 弧，交��于点�，交��于点�；②以点�为圆心，��为半径作弧，交��于点�；③以点�为圆心，��为半径 作弧，交上一步作的弧于点�；④连接��并延长，交��于点�.则∠���的度数为( ) A. � B. 180° − 2� C. 90 ∘ − 12� D. 2� 8.阅读以下作图步骤： ①在��和��上分别截取��，��，使�� = ��； ②分别以点�，�为圆心，以大于12��的长为半径作弧，两弧在∠���内交于点�； ③作射线��，连接��，��，如图所示.根据以上作图，一定可以推得的结论是( ) A. ∠1 = ∠2 且�� = �� B. ∠1 = ∠3 且�� = �� C. ∠1 = ∠2 且�� = �� D. ∠2 = ∠3 且�� = �� 9.如图，在四边形����中，∠� = 90°，�� = 3，连接��，�� ⊥ ��，垂足为�，并且∠��� = ∠�，点�是�� 边上一动点，则��的最小值是 ( ) A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 10.已知：如图，在▵���，▵���中，∠��� = ∠��� = 90 ∘，�� = ��，�� = ��，点�，�，�三点在同 一条直线上，连接��，��.以下四个结论： 第 3页，共 9页 ①▵��� ≌ ▵���；②�� = ��；③∠��� + ∠��� = 45 ∘，④�� ⊥ ��． 其中结论正确的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，△ ��� ≌△ ���，∠� = 30°，∠� = 105°，则∠��� = ． 12.如图，在△ ���中，沿过点�的直线折叠这个三角形，使得点�落在��边上的点�处，折痕为��，若△ ��� 和△ ���的周长分别是 20 和 6，则��的长是 ． 13.如图，在△ ���中，�� ⊥ ��于点�，要使△ ��� ≌△ ���，若直接根据“��”判定，还需要添加条件： ． 14.要测量河岸相对的两点�，�之间的距离，已知�� ⊥河岸��，先在��上取两点�，�，使�� = ��，再过 点�作��的垂线段��，使点�，�，�在一条直线上，如图，测出�� = 20 米，则��的长是 米． 第 4页，共 9页 15.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的 平分线．如图，一把直尺压住射线��，另一把直尺压住射线��并且与第一把直尺交于点�，小明说：“射 线��就是∠���的平分线．”小明的做法，其理论依据是 ． 16.如图，在△ ���中，∠��� = 90°，�� = 5，�� = 12，�是边��的中点，�是边��上一点，连接��并延 长至点�，使得�� = ��，连接��，则四边形����(阴影部分)的面积为 ． 17.如图，在平面直角坐标系中，点�的坐标为(3,1)，�� = ��，∠��� = 90°，则点�的坐标是 ． 18.如图，在锐角△ ���中，�� = 10，�▵��� = 25，∠���的平分线交��于点�，点�，�分别是��和�� 上的动点，则�� +��的最小值是 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 5页，共 9页 19.(本小题 8 分)如图，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�，�，�� = ��.求证�� = ��． 20.(本小题 8 分)如图，��是∠���的平分线，点�在��上，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�，�.点�，� 分别在��，��上，�� = ��，连接��，��.求证�� = ��． 21.(本小题 8 分) 如图，∠� = ∠� = 90°，�是��的中点，��平分∠���.求证：��平分∠���. (提示：过点�作�� ⊥ ��，垂足 为�. ) 第 6页，共 9页 22.(本小题 8 分) 如图，已知△ ���，��是△ ���的外角∠���的平分线，��是△ ���的外角∠���的平分线，��，��相交于 点�.求证： (1)点�到三边��，��，��所在直线的距离相等； (2)点�在∠�的平分线上． 23.(本小题 8 分) 如图 1，在长方形����中，�� = �� = 6��，�� = 10��，点�从点�出发，以 2��/�的速度沿��向点� 运动，设点�的运动时间为��，且� ≤ 5． (1)�� = (用含�的式子表示)； (2)如图 2，当点�从点�开始运动的同时，点�从点�出发，以���/�的速度沿��向点�运动，是否存在这样 的�值，使得以�，�，�为顶点的三角形与以�，�，�为顶点的三角形全等？若存在，请求出�的值；若不存 在，请说明理由． 第 7页，共 9页 24.(本小题 8 分) 下面是小明设计的“已知两边及其夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段�，�及∠���． 求作：△ ���，使得�� = �，�� = �，∠� = ∠���． 作法：如图． ①以点�为圆心，�为半径作弧，交��于点�； ②以点�为圆心，�为半径作弧，交��于点�； ③作射线��； ④以点�为圆心，��为半径作弧，交��于点�； ⑤分别以点�，�为圆心，��，��为半径作弧，两弧交于直线��上方的点�； ⑥连接��，��． △ ���就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，解答下列各题． (1)使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形(保留作图痕迹)； (2)请补全下面的证明过程． 证明：在△ ���和△ ���中， �� = ��, �� = ��, �� = ______, ∴△ ��� ≌△ ���( ). (填推理的依据) ∴ ∠� = ∠���( ). (填推理的依据) ∵ �� = �，�� = �，∴ �� = �，�� = �． ∴△ ���就是所求作的三角形． 第 8页，共 9页 25.(本小题 8 分) 如图，已知�� = ��，�� = ��，�� = ��，且�，�，�三点在一条直线上． (1)如图①，当点�在线段��上时，求证：∠��� = ∠���； (2)如图②，当点�在线段��的延长线上时，请直接写出∠���与∠���之间的数量关系： ； (3)若点�在线段��的延长线上(点�，�，�按逆时针排列)，请将备用图补充完整，并直接写出∠���与∠��� 之间的数量关系：________． 第 9页，共 9页 26.(本小题 8 分) 问题探索 如图 1，在▵���中，�� = ��, ∠��� = 90 ∘, �� = 6��，点�在线段��上运动，以��为一边，在��的右侧 作▵���，使�� = ��，∠��� = ∠���，过�，�两点作直线��． (1)直接写出∠��� = °，��的最小值为 ��； (2)请说明▵��� ≌ ▵���； (3)直接写出∠���的度数，并求出�� + ��的值． (4)拓展延伸如图 2，改变“问题探索”中“∠��� = 90 ∘”这一条件，其它条件不变．设∠��� = � 0 ∘ < � < 180 ∘ ，∠��� = �，则�，�之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (5)在(4)的条件下，继续改变“问题探索”中“点�在线段��上运动”这一条件为“点�在直线��上运动”， 则��与��有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 第14章 全等三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，点，，，在同一条直线上．若，且，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，下列各选项中与一定全等的三角形是  (    ) A. B. C. D. 4.如图，平分，，，分别是射线、射线、射线上的点，点，，与点都不重合，连接，若添加下列条件中的一个，就能使，你认为要添加的那个条件是(    ) A. B. C. D. 5.将两个完全相同的三角尺按图所示的方式放置，使顶点重合于点处，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；以点为圆心，为半径作弧，交于点；以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；连接并延长，交于点则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.阅读以下作图步骤： 在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，连接，，如图所示根据以上作图，一定可以推得的结论是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9.如图，在四边形中，，，连接，，垂足为，并且，点是边上一动点，则的最小值是  (    ) A. B. C. D. 10.已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论： ；；，． 其中结论正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，，，，则          ． 12.如图，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，若和的周长分别是和，则的长是          ． 13.如图，在中，于点，要使，若直接根据“”判定，还需要添加条件：          ． 14.要测量河岸相对的两点，之间的距离，已知河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是          米． 15.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是          ． 16.如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接并延长至点，使得，连接，则四边形阴影部分的面积为          ． 17.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是          ． 18.如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是           三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图，，，垂足分别为，，求证． 20.本小题分如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，点，分别在，上，，连接，求证． 21.本小题分 如图，，是的中点，平分求证：平分提示：过点作，垂足为 22.本小题分 如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点求证： 点到三边，，所在直线的距离相等； 点在的平分线上． 23.本小题分 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且．           用含的式子表示； 如图，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24.本小题分 下面是小明设计的“已知两边及其夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段，及． 求作：，使得，，． 作法：如图． 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 作射线； 以点为圆心，为半径作弧，交于点； 分别以点，为圆心，，为半径作弧，两弧交于直线上方的点； 连接，． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，解答下列各题． 使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形保留作图痕迹； 请补全下面的证明过程． 证明：在和中，                      填推理的依据           填推理的依据 ，，，． 就是所求作的三角形． 25.本小题分 如图，已知，，，且，，三点在一条直线上． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，请直接写出与之间的数量关系：          ； 若点在线段的延长线上点，，按逆时针排列，请将备用图补充完整，并直接写出与之间的数量关系：________． 26.本小题分 问题探索 如图，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． 直接写出           ，的最小值为          ； 请说明； 直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸如图，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． 在的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$