精品解析：江西省崇义县章源实验中学2024-2025学年九年级上学期第二次作业效果检测数学试题

2024—2025学年度上学期作业检测二 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们作为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，正方形内接于，点P在劣弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点关于原点的对称点的坐标为________． 8. 圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是______． 9. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______． 10. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______． 11. 圆外一点到圆的最大距离是，到圆的最小距离是，则圆的半径是__________． 12. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，为边上一动点，连接．若为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 如图，在中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点E，D，则图中阴影部分的周长 15. 如图，在正方形网格中画有一个圆，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图： （1）在图1中确定该圆的圆心； （2）如图2，点A是该圆经过的一个格点，请过点A作出该圆的切线； 16. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 19. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 20. 如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则： （1）降价后，每千克核桃获利 元，平均每天可售出 千克核桃（用含x的代数式表示）； （2）该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？ （3）设该商店销售这种核桃每天获利w（元），当核桃每千克降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（每小题9分，共18分） 22. 阅读理解： 材料1．若一元二次方程的两根为，则，． 材料2．已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 解决问题： （1）一元二次方程的两根为，则 ， ； （2）已知实数满足且，求的值． （3）已知实数满足，且，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期作业检测二 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们作为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 如图，正方形内接于，点P在劣弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 4. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程，求出的值，因式分解法解方程求出另一个根即可． 【详解】解：把，代入方程，得：， ∴， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为； 故选A． 5. 如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到， ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据函数图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴可得，再根据对称轴可得，，则结论③正确；由此可得，则结论①正确；然后根据函数的图象与轴有两个交点可得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可得方程根的判别式为，则结论②正确；最后根据当时的函数值与当时的函数值相等，即当时，，由此即可得，则结论④错误． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式为，则结论②正确； 由函数图象可知，当时，， 由函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等， ∴当时，， ∴，则结论④错误； 综上，正确的个数是3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 8. 圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可． 【详解】∵圆锥母线长，底面圆半径，圆锥侧面展开图的圆心角， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键． 9. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______． 【答案】16 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得． 【详解】解：连接， ∵OE⊥AB于E， ∴， 在中，，OE＝6， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 10. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 11. 圆外一点到圆的最大距离是，到圆的最小距离是，则圆的半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了圆的性质，解方程，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，为边上一动点，连接．若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或或5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况分别作图即可求解． 【详解】∵四边形是矩形，，，对角线，相交于点， ∴AC= 当AO=OP时，为等腰三角形， 此时OP=AO= 当AP=OP时，如图所示，作OH⊥AD ∵AO=OD ∴AH=，OH= 设AP=OP=x，则PH=4-x 在Rt△PHO中， 即 解得x= 当AP=AO=5时，如图所示， ∴HP=AP-AH=5-4=1 又HO=3 ∴OP= 综上，的长为或或5． 故答案为：或或5． 【点睛】此题主要考查矩形内线段求解，解题的关键是熟知矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 解得，． 14. 如图，在中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点E，D，则图中阴影部分的周长 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，，根据周长定义解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟练掌握判定和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴图中阴影部分的周长为． 15. 如图，在正方形网格中画有一个圆，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图： （1）在图1中确定该圆的圆心； （2）如图2，点A是该圆经过的一个格点，请过点A作出该圆的切线； 【答案】（1） 如图1，点O即为所求， （2） 如图2所示，是过点A的该圆的切线； 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径，作出两条直径，交点即为圆心； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，作出直径，再根据过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线作出过点A的圆的切线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据的圆周角所对的弦是直径，则是圆的一条直径， ∵， ∴， ∴是直角三角形，其中, ∴， ∴是过点A的该圆的切线． 【点睛】此题考查了切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理逆定理等知识，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 16. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 19. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）（2）（1，4） 【解析】 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0）， ∴抛物线的解析式为；，即， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式． （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 20. 如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：过点作于点， ∵为的切线， ∴， 又∵平分，， ∴． ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得到，再由角平分线的性质得到，由此即可证明是的切线； （2）先由勾股定理求出，由切线长定理得到，则，设半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 由切线长定理可得， ∴， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则： （1）降价后，每千克核桃获利 元，平均每天可售出 千克核桃（用含x的代数式表示）； （2）该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？ （3）设该商店销售这种核桃每天获利w（元），当核桃每千克降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）每千克核桃应降价11元 （3）当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，二次函数的应用． （1）利用每千克核桃的销售利润=售价-进价，即可用含x的代数式表示出每千克核桃的销售利润；利用平均每天的销售量每千克核桃降低的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量； （2）利用总利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，即可得出每千克核桃应降价11元． （3）根据提意，列出w与x的函数关系式，有函数的性质求最值，并求出售价． 【小问1详解】 解：∵每千克核桃应降价x元， ∴降价后，每千克核桃获利即元，平均每天可售出千克核桃． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵该专卖店打算尽快降低这种核桃库存， ∴； 答：每千克核桃应降价11元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵ ∴时，可取得最大值，最大利润（元）， 答：当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元． 五、解答题（每小题9分，共18分） 22. 阅读理解： 材料1．若一元二次方程的两根为，则，． 材料2．已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 解决问题： （1）一元二次方程的两根为，则 ， ； （2）已知实数满足且，求的值． （3）已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，则，． （1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可； （3）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， 故答案为：4，； 【小问2详解】 ∵实数满足， ∴m，n是方程的两实数解， ∴根据材料1得， ∴ ； 【小问3详解】 ∵实数满足， ∴可看作方程的两实数解， ∴，， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $