精品解析：云南省曲靖市罗平县2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

罗平县2024-2025学年春季学期期末教学质量检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，，且， 所以． 故选：C． 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解. 【详解】由题意可得，故的实部和虚部分别为1，2，其之和为3． 故选:D． 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量坐标的减法运算和数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：D. 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解. 【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人， 所以样本容量为人， 因为抽取的二年级学生人数为人， 所以抽取的二年级学生中满意的人数为人. 故选：B 5. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果. 【详解】由，所以，故. 故选：C. 6. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先安排原则，利用分步乘法原理可求解. 【详解】把捆绑，相当于共有4个指令，内部排列有种排法， 不排在最后一个位置，先排有种排法，再排另外3个指令， 由分步乘法计数原理可得总的排列数为. 故选：B. 7. 已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数知识及对数知识可判断单调性，据此可做出大致图象，由此可得答案. 【详解】因为当时，， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，的极大值为； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 据此可做出函数的大致图象， 有5个不等的实根，等价于图象与直线有5个不同交点. 由图可得． 故选：A． 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦型函数的周期计算公式，可得正误；对于B，由正弦型函数的值域，可得正误；对于C，由复合函数的单调性，根据三角函数的单调性，求得单调区间，可得正误；对于D，由正弦函数的对称性，利用代入检验，可得正误. 【详解】，所以函数的最小正周期，故A正确； 当时，函数取最小值，故B错误； 由，得， 令，得的一个单调递增区间为， 因为，所以函数在区间上单调递增，故C正确； 因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在R上的函数，满足，，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在R上单调递增 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题可得，与相加可得 ，可判断A正确；对于B，由A分析可得，结合，可得，据此可判断周期；对于C，由题可得 ，，据此可判断C错误；对于D，由BC分析可判断选项正误. 【详解】对于A，由，得， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 将替换为，可得， 与两式相减得， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，又，故，得， 又，所以，， 故在R上不单调递增，故C错误； 对于D，由C分析可知， 结合BC知：. 则，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中的第3项为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项可得答案. 【详解】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 13. 已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程组求解. 【详解】显然等比数列公比不是，否则 记数列的公比为，且，则，故， 注意到的公比也为， 则的前项和为. 故答案为：. 14. 现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要_______天可以确保抓住狐狸. 【答案】6 【解析】 【分析】第一天查看2号或者4号洞，以2号洞为例，逐步分析狐狸可能的藏身的洞，直至确保能抓到狐狸. 【详解】假设5个洞依次记为1,2,3,4,5,猎人第一天查看2号或者4号洞, 以2号洞为例,如果没抓到狐狸,则狐狸一定在1,3,4,5这四个洞中的一个, 第二天狐狸一定会在2,3,4,5这四个洞中的一个. 第二天猎人去3号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在2,4,5这三个洞中的一个, 所以第三天狐狸一定会在1,3,4,5这四个洞中的一个. 第三天猎人去4号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在1,3,5这三个洞中的一个, 所以第四天狐狸一定在2,4这两个洞中的一个. 第四天猎人去2号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在4号洞, 则第5天狐狸一定在3,5这两个洞中的一个.第5天猎人去3号洞查看, 如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在5号洞,第6天一定在4号洞, 因此猎人第六天去4号洞一定能抓到它, 这时6天一定可以确保抓到狐狸,其他情况确保抓到狐狸都不少于6天. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求A； （2）求周长的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得，由知，根据角A的范围求解即可. （2）根据余弦定理得，然后利用完全平方和及基本不等式求得，即可求解周长的最大值. 【小问1详解】 由题意可得 ，即， 因为，故，故，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 所以，所以， 所以的周长，当且仅当时取等号， 故周长的最大值为6． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． 【小问2详解】 设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 17. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以， 因为，所以，， 由平行四边形性质得，则， 由三线合一性质得， 故，则，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，利用勾股定理逆定理得到，再利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得， 因为平面平面，所以， 因为，所以由勾股定理得，即， 则为等腰直角三角形，设其斜边上的高为， 由等面积公式得，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴， 过作垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， ，， 设平面的法向量为，则 取，解得，可得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． （1）求C的方程； （2）设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值2． 【解析】 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【小问1详解】 由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 19. 已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． （1）当时，求X的分布列和期望； （2）当X的期望为2时，证明：． 【答案】（1） X 1 2 3 4 P （2） 证明：①当时，； ②当时，， 因此； ③当时，， 设，则， 故时，随p增大而减小，而， 故存在，使得； ④当时，， 由于，，故， 因此，故． 综上，． 【解析】 【分析】（1）由题意分析X的所有取值，求解出概率得到分布列，求解数学期望即可； （2）当期望为时，分，，，讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ，， 故分布列为 X 1 2 3 4 P ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗平县2024-2025学年春季学期期末教学质量检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 5. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 7. 已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 11. 已知定义在R上的函数，满足，，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在R上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中的第3项为______． 13. 已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为______． 14. 现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要_______天可以确保抓住狐狸. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求A； （2）求周长的最大值． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 17. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． （1）求C的方程； （2）设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． （1）当时，求X的分布列和期望； （2）当X的期望为2时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $