精品解析：云南省曲靖市罗平县2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

罗平县2024-2025学年春季学期期末教学质量检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 5. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 7. 已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 11. 已知定义在R上的函数，满足，，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在R上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中的第3项为______． 13. 已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为______． 14. 现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要_______天可以确保抓住狐狸. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求A； （2）求周长的最大值． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 17. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． （1）求C的方程； （2）设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． （1）当时，求X的分布列和期望； （2）当X的期望为2时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗平县2024-2025学年春季学期期末教学质量检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：高中全部内容． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，，且， 所以． 故选：C． 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解. 【详解】由题意可得，故的实部和虚部分别为1，2，其之和为3． 故选:D． 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量坐标的减法运算和数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：D. 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解. 【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人， 所以样本容量为人， 因为抽取的二年级学生人数为人， 所以抽取的二年级学生中满意的人数为人. 故选：B 5. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果. 【详解】由，所以，故. 故选：C. 6. 某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先安排原则，利用分步乘法原理可求解. 【详解】把捆绑，相当于共有4个指令，内部排列有种排法， 不排在最后一个位置，先排有种排法，再排另外3个指令， 由分步乘法计数原理可得总的排列数为. 故选：B. 7. 已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数知识及对数知识可判断单调性，据此可做出大致图象，由此可得答案. 【详解】因为当时，， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，的极大值为； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 据此可做出函数的大致图象， 有5个不等的实根，等价于图象与直线有5个不同交点. 由图可得． 故选：A． 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦型函数的周期计算公式，可得正误；对于B，由正弦型函数的值域，可得正误；对于C，由复合函数的单调性，根据三角函数的单调性，求得单调区间，可得正误；对于D，由正弦函数的对称性，利用代入检验，可得正误. 【详解】，所以函数的最小正周期，故A正确； 当时，函数取最小值，故B错误； 由，得， 令，得的一个单调递增区间为， 因为，所以函数在区间上单调递增，故C正确； 因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在R上的函数，满足，，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. 在R上单调递增 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题可得，与相加可得 ，可判断A正确；对于B，由A分析可得，结合，可得，据此可判断周期；对于C，由题可得 ，，据此可判断C错误；对于D，由BC分析可判断选项正误. 【详解】对于A，由，得， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 将替换为，可得， 与两式相减得， 所以，即是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知，又，故，得， 又，所以，， 故在R上不单调递增，故C错误； 对于D，由C分析可知， 结合BC知：. 则，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中的第3项为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项可得答案. 【详解】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 13. 已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程组求解. 【详解】显然等比数列公比不是，否则 记数列的公比为，且，则，故， 注意到的公比也为， 则的前项和为. 故答案为：. 14. 现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要_______天可以确保抓住狐狸. 【答案】6 【解析】 【分析】第一天查看2号或者4号洞，以2号洞为例，逐步分析狐狸可能的藏身的洞，直至确保能抓到狐狸. 【详解】假设5个洞依次记为1,2,3,4,5,猎人第一天查看2号或者4号洞, 以2号洞为例,如果没抓到狐狸,则狐狸一定在1,3,4,5这四个洞中的一个, 第二天狐狸一定会在2,3,4,5这四个洞中的一个. 第二天猎人去3号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在2,4,5这三个洞中的一个, 所以第三天狐狸一定会在1,3,4,5这四个洞中的一个. 第三天猎人去4号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在1,3,5这三个洞中的一个, 所以第四天狐狸一定在2,4这两个洞中的一个. 第四天猎人去2号洞查看,如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在4号洞, 则第5天狐狸一定在3,5这两个洞中的一个.第5天猎人去3号洞查看, 如果没有抓到狐狸,则狐狸一定在5号洞,第6天一定在4号洞, 因此猎人第六天去4号洞一定能抓到它, 这时6天一定可以确保抓到狐狸,其他情况确保抓到狐狸都不少于6天. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求A； （2）求周长的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得，由知，根据角A的范围求解即可. （2）根据余弦定理得，然后利用完全平方和及基本不等式求得，即可求解周长的最大值. 【小问1详解】 由题意可得 ，即， 因为，故，故，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 所以，所以， 所以的周长，当且仅当时取等号， 故周长的最大值为6． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． 【小问2详解】 设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 17. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，利用勾股定理逆定理得到，再利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以， 因为，所以，， 由平行四边形性质得，则， 由三线合一性质得， 故，则，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由已知得， 因为平面平面，所以， 因为，所以由勾股定理得，即， 则为等腰直角三角形，设其斜边上的高为， 由等面积公式得，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴， 过作垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， ，， 设平面的法向量为，则 取，解得，可得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． （1）求C的方程； （2）设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值2． 【解析】 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【小问1详解】 由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 19. 已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． （1）当时，求X的分布列和期望； （2）当X的期望为2时，证明：． 【答案】（1） X 1 2 3 4 P （2） 证明：①当时，； ②当时，， 因此； ③当时，， 设，则， 故时，随p增大而减小，而， 故存在，使得； ④当时，， 由于，，故， 因此，故． 综上，． 【解析】 【分析】（1）由题意分析X的所有取值，求解出概率得到分布列，求解数学期望即可； （2）当期望为时，分，，，讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ，， 故分布列为 X 1 2 3 4 P ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $