精品解析：河南省周口市西华县青华中英文学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（RJ） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方运算法则． 【详解】解：A. ，选项运算错误； B. ，选项运算错误； C. ，选项运算正确； D. ，选项运算错误； 故选：C． 4. 如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵是等边三角形的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，由平行线的性质可得，得到，进而由三角形外角性质可得，再由对顶角的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和是对顶角， ∴， 故选：． 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式简便计算即可．利用完全平方公式等式变形，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，点O为内部一点，且，E、F分别为点O关于射线BA，射线BC的对称点．当时，则EF的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，，，由对折可得：，，，证明E，B，F三点共线，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，，， ∴由对折可得：，，， ∵， ∴， ∴E，B，F三点共线， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，解题的关键是：熟记轴对称的性质，证明E，B，F三点共线． 9. 如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接     与的角平分线交于点D， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 10. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的中点，M为线段上一动点，则的周长最短为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，轴对称—最短路径问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 是等腰三角形，点D是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：D． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、化简绝对值，熟练掌握零指数幂是解题关键．先计算零指数幂、化简绝对值，再计算减法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【详解】解：∵在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固 ∴运用的数学原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 14. 如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作交的延长线于点G，分别利用证明出和，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 15. 如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可； 【详解】根据题意分两种情况： 当点P在线段OC上时， 设t秒后是等腰三角形， 有，即，解得：； 当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s， 当是等腰三角形时，， ∴等边三角形， ∴， 即，解得：； 故答案是：2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）2026；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解应用，解题的关键是： （1）提取公因数2026即可简便计算； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先过点B作线段的平行线，再过点A作，垂足为点D，此时的长最短． 【详解】解∶如图，点 D 即为所求． 18. 如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用“”证明即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 19. 如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE=EF． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠C＝30°，∠CAD＝60°，又由BF平分∠ABC，可得∠ABF=∠CBF=30º即可证得∠AFB＝∠AEF，继而证得：△AEF为等边三角形． （2）由△AEF是等边三角形可得EF=AE，通过等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵∠BAC=90º，∠C=30º ∴∠ABC=60º ∴∠BAD=30º ∴∠CAD=60º 又∵BF平分∠ABC ∴∠ABF=∠CBF=30º ∴∠AFB=∠C+∠CBF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∠AEF=∠BAD+∠ABF=60º(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∴∠CAD=∠AFB=∠AEF ∴△AEF是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形) 【小问2详解】 证明：∵△AEF是等边三角形 ∴EF=AE 又∵∠BAD=∠ABF=30º ∴BE=AE(等角对等边) ∴BE=EF(等量代换) 【点睛】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 20. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知米，米，那么修建观景台需要费用多少元？ 【答案】（1）观景台的面积为平方米 （2）修建观景台需要费用为19600元 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【小问1详解】 解：阴影部分面积为： ， 答：观景台的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）， （元）． 答：修建观景台需要费用为19600元． 21. 【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数与 （n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 【答案】【验证】是8的9倍；【证明】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，单项式除以单项式，解题的关键是掌握平方差公式． 验证：利用平方差公式求解即可； 证明：利用平方差公式求解；然后求出两个连续奇数的和，进而求解即可． 【详解】解：【验证】∵ ， ∴是8的9倍； 【证明】 ， ∴两个连续奇数，平方差是8的整数倍； ， ∵， ∴两个连续奇数，的平方差等于这两个数的和的2倍． 22. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，，为“筝形”的对角线．请你自己画一个筝形，用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识，解答下列问题． （1）判断下列结论是否正确．（选填：“√”或“×”） ①．（ ） ②．（ ） ③分别平分和．（ ） ④．（ ） （2）从（1）中选择一个正确的结论进行证明． （3）请你通过猜想，再找到一条筝形的性质． 【答案】（1）①√；②×；③√；④√ （2）见详解 （3）（或，平分）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质一一判断即可； （2）选择选择①或③或④证明即可； （3）根据等腰三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：①√；②×；③√；④√ 选择①，证明：，，， . ， ∴①故√； ②与不一定相等， ∴②故×； 选择③， 证明：，，， . ，. 分别平分和， ∴③故√ ； 选择④， 证明：设对角线与的交点为. ，，. . ，即. 又，，， . ， . ， ∴④√． 【小问2详解】 解：可选择①或③或④，证明过程见第（1）问； 【小问3详解】 解：（或，平分）（答案不唯一） ∵，， ∴，， ∵，由上知， ∴平分． 23. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． （1）根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） （2）运用以上等式计算： （3）如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【小问1详解】 解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 答：阴影部分的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（RJ） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点O为内部一点，且，E、F分别为点O关于射线BA，射线BC的对称点．当时，则EF的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，中，，，，，点D是，角平分线的交点，则点D到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 35 10. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的中点，M为线段上一动点，则的周长最短为（　　） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 12. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是______． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 14. 如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则________． 15. 如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 如图，在三角形外求作一点D，使，且的长最短． 18. 如图，已知，，，求证：． 19. 如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE=EF． 20. 如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． （1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知米，米，那么修建观景台需要费用多少元？ 21. 【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数与 （n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 22. 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，，为“筝形”的对角线．请你自己画一个筝形，用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识，解答下列问题． （1）判断下列结论是否正确．（选填：“√”或“×”） ①．（ ） ②．（ ） ③分别平分和．（ ） ④．（ ） （2）从（1）中选择一个正确的结论进行证明． （3）请你通过猜想，再找到一条筝形的性质． 23. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． （1）根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） （2）运用以上等式计算： （3）如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$