精品解析：河南省信阳市罗山县实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025罗山县实验中学九年级上期第三次质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( ) A. B. C. D. 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 6. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了数学素养大赛，老师将三道题的题号1，2，3，分别写在完全相同的3张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，则两张卡片上的数字是“1”和“3”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ） A. 24 B. C. D. 12 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 12. 如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于________度． 13. 已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围_____． 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16. 解下列方程 （1）; （2）. 17. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题； （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标_____； （3）求绕点A逆时针旋转后，扫过的图形面积． 18. 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； （2）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （3）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过和两点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，y的最大值与最小值的差为，求t的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出n的取值范围． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 22. 排球是一项风靡全球的运动，也是北京体育中考选考球类的一项．如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．小刚在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球飞行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米） 以下是小刚的某一次练习的部分数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 （1）求此抛物线的解析式 （2）在此基础上，小刚继续练习： 第一次练习：只将出手高度增加，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样 第二次练习：改变排球的飞行轨迹，使其飞行轨迹近似满足此抛物线： ①直接写出第一次练习的抛物线解析式； ②我们将满足以下两个条件的发球叫做“有效发球”： 条件I：发球后，排球能过球网； 条件II：发球后，排球的第一落点在右半区，且在右边界以里． 任意选择一次练习，判断此次练习是否为一次“有效发球”，并说明理由． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025罗山县实验中学九年级上期第三次质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 3. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 4. 小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴可以估计黑色部分的面积约为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率是解题的关键． 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 6. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了数学素养大赛，老师将三道题的题号1，2，3，分别写在完全相同的3张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，则两张卡片上的数字是“1”和“3”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可．注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的情况，其中两张卡片上的数字是“1”和“3”的情况有2种， ， 即两张卡片上的数字是“1”和“3”的概率为， 故选B． 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 8. 一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ） A. 24 B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则结合对称轴的性质进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为， 把看成了， 所画图象的对称轴为， 两条对称轴关于y轴对称， 所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象， ，即． 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查规律探索求点坐标．根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环． ∵， ∴经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选：C． 10. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质与判定，函数图象的应用．根据函数图象可知当时，取得最大值，即圆的直径为，求得运动速度，当时，，则，根据路程除以速度等于时间求值即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，的值，即弦长为， 当时，取得最大值，即圆的直径为，则半径为3， ， ， 圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动， 则的运动速度是， 当时，，即， ， 是等边三角形， 则， 的路程为， ． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】解：把代入方程， 得到， 所以， 所以代数式； 故答案为：5． 12. 如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于________度． 【答案】54 【解析】 【分析】连接OC，OD，利用正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD=， ∴∠CPD=∠COD=36º， ∵， ∴∠DGP=90º ∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54º， 故答案为：54º． 【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆心角与圆周角之间的关系是解答的关键． 13. 已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围_____． 【答案】k＞﹣1且k≠0． 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系，求出根的判别式的符号，根据△＞0建立关于的不等式，通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0． ∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解， ， 解得：k＞﹣1且k≠0． 故答案是：k＞﹣1且k≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，若函数与轴有交点说明方程有根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． ． 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 在中，，则，根据垂直平分线的性质得出，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，进而在中，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∵由线段绕点顺时针旋转得到， ∴， 在中，， 当为直角边时，， 当为斜边时，， 故答案为：2或． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16. 解下列方程 （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、平方差公式的应用）．解题的关键是根据方程特点选择合适的分解方法，将二次方程转化为一次方程求解． （1）通过拆分中间项进行因式分解，将方程化为，求解一次方程； （2）移项后利用平方差公式分解为，求解一次方程． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得． 【小问2详解】 解： 则或 解得． 17. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题； （1）请画出与关于原点对称的； （2）请画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标_____； （3）求绕点A逆时针旋转后，扫过的图形面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据关于原点对称的点的特点，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据题意，得到扫过的面积为扇形的面积加上的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：； 【小问3详解】 由题意可知，扫过的面积为扇形的面积加上的面积， ， 由勾股定理，得：， ∴， ∴扫过的图形面积． 18. 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； （2）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （3）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】（1） （2）见解析 （3）甲获胜的概率更大，说明见解析 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解一元二次方程．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可； （3）求出方程的解，分解求出两人获胜的概率，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，转到4的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 由题意，列出树状图如下： 【小问3详解】 此游戏乙获胜的概率更大，理由如下： 解方程得：， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）=， 所以，此游戏甲获胜的概率更大． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接OC；　 ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠A+∠OBC=90°， 而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB， ∴∠DCB+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴DC为⊙O的切线； （2）⊙O的半径为6． 【解析】 【分析】（1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题； （2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接OE， ∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点， ∴==， ∴EO⊥AB， 设OA=OE=R，OF=8-R， 在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2， ∴（2）2=R2+（8-R）2， ∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）． ∴⊙O的半径为6． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过和两点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，y的最大值与最小值的差为，求t的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）将，代入得，，计算求解，进而可得抛物线的函数表达式； （2）由，可得抛物线的顶点坐标为．当时，．由的最大值与最小值的差为，且，可知当时，y在顶点处取得最大值9，在处取得最小值 （3）由题意知，当点N在直线上，如图1，该抛物线与线段只有一个公共点；由（2），可知当时，，当时，线段MN与抛物线只有一个交点，如图2，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 的最大值与最小值的差为，且， 当时，y在顶点处取得最大值9，在处取得最小值． 令， 解得或（舍去）， ． 【小问3详解】 解：由题意知，当点N在直线上，如图1， 此时线段与抛物线交于顶点，该抛物线与线段只有一个公共点， ∴； 由（2），可知当时，，当时，线段MN与抛物线只有一个交点，如图2， 综上所述，n的取值范围是或． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 22. 排球是一项风靡全球的运动，也是北京体育中考选考球类的一项．如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．小刚在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球飞行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米） 以下是小刚的某一次练习的部分数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 （1）求此抛物线的解析式 （2）在此基础上，小刚继续练习： 第一次练习：只将出手高度增加，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样 第二次练习：改变排球的飞行轨迹，使其飞行轨迹近似满足此抛物线： ①直接写出第一次练习的抛物线解析式； ②我们将满足以下两个条件的发球叫做“有效发球”： 条件I：发球后，排球能过球网； 条件II：发球后，排球的第一落点在右半区，且在右边界以里． 任意选择一次练习，判断此次练习是否为一次“有效发球”，并说明理由． 【答案】（1） （2）①，②选择第一次练习，不是一次“有效发球”，理由见解析，选择第二次练习，是一次“有效发球”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，抛物线图像性质，抛物线的实际应用，函数图像平移规律，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）以垂直于场地左侧边界的垂线为轴，以地面为轴，根据表格数据得出抛物线的顶点坐标即可求得和的值，再代入一组其它数据即可求得的值，从而求得抛物线解析式； （2）①根据函数图像平移规律：上加下减，左加右减即可解题；②任意选择一次练习，分别计算球飞到球网时与地面的高度，球落地时飞行的距离即可判断． 【小问1详解】 解：以垂直于场地左侧边界的垂线为轴，以地面为轴， 由表格可知：抛物线的顶点坐标为， ， ，， 将表格数据代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： ①只将出手高度增加后，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样，即抛物线向上平移， 第一次练习的抛物线解析式为，即； ②选择第一次练习， 第一次练习不是一次“有效发球”，理由如下： 由图可知当球飞到球网时即时，有， 网球能飞过球网， 当球过网落地时即且时，有， 解得：（舍去），， ， 网球不能落在右半区内， 不是“有效发球”； 选择第二次练习， 第二次练习是一次“有效发球”，理由如下： 由图可知当球飞到球网时即时，有， 网球能飞过球网， 当球过网落地时即且时，有， 解得：（舍去），， ， 网球能落在右半区内， 是“有效发球”． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $