第11讲二次函数与实际问题（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第11讲二次函数与实际问题（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 其他问题 知识点一：二次函数的实际应用 1.利用二次函数解实际问题的步骤 (1)阅读并理解题意； (2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； (3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； (4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解； (5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍， 2.二次函数的应用的常见类型 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（　　） A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积 C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积 【典型例题一 图形问题】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 1．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为 ，围成的矩形的最大面积是 ． 4．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【典型例题二 图形运动问题】 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 1．（2023·辽宁本溪·三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A．B．C．D． 2．（2024·北京顺义·二模）已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为 . 4．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【典型例题三 拱桥问题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京·期中）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是(　　)    A．2m B．4m C．m D．m 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 米． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【典型例题四 销售问题】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 1．（23-24九年级上·陕西延安·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 ． 4．（2023·云南·一模）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【典型例题五 投球问题】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 4．（2023·安徽芜湖·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【典型例题六 喷水问题】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．10s 3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C的水嘴所在墙的距离AC是 m． 4．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．    （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 【典型例题七 增长率问题】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A．B．C． D． 3．（23-24九年级上·广东珠海·期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【典型例题八 其他问题】 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）有一块石头从高的绝壁落下，小明查阅相关资料得知物体下落高度与下落时间的关系为，并通过关系式列出下表，则该石头落到海面时t的范围是（    ） 0 1 2 3 4 0 5 20 45 80 A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量． 1．（23-24九年级上·四川泸州·期末）某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（　　） A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s 2．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）游乐场里的过山车是很多人喜欢的项目.过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）.如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（2023·山西运城·模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 4．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．（2023·广东广州·二模）已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 3．（23-24九年级上·北京·期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 4．（23-24九年级上·全国·阶段练习）长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（   ）m A． B． C．2 D．3 6．（23-24九年级上·山西运城·阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·北京大兴·期中）某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度． A．36 B．45 C．50 D．42 11．（23-24九年级上·山西大同·期中）如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    12．（2023·广西防城港·一模）如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．    13．（23-24九年级下·贵州铜仁·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是 米． 15．（23-24九年级上·上海宝山·期末）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 16．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 17．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 18．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD． （1）求点 B 的坐标 （2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值． 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示．    （1） 求铅球出手点的离地面的高度为多少米； （2） 求铅球推出的水平距离是多少米？ 20．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲二次函数与实际问题（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形问题 典型例题二 图形运动问题 典型例题三 拱桥问题 典型例题四 销售问题 典型例题五 投球问题 典型例题六 喷水问题 典型例题七 增长率问题 典型例题八 其他问题 知识点一：二次函数的实际应用 1.利用二次函数解实际问题的步骤 (1)阅读并理解题意； (2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； (3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； (4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解； (5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍， 2.二次函数的应用的常见类型 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　） A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 【答案】C 【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值． 【详解】解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等， 抛物线的对称轴直线是：， 抛物线开口向下， 时，函数值最大， 即第12秒炮弹所在高度最高， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）2下列说法正确的是（　　） A．2007年已有的绿化面积 B．2008年增加的绿化面积 C．2008年已有的绿化面积 D．2007、2008年共增加的绿化面积 【答案】C 【分析】利用“增长后的量=增长前的量（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，写出代数式的实际意义即可. 【详解】2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，代数式表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积 故选：C. 【点睛】本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键. 【典型例题一 图形问题】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 1．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可得：，这是一个二次函数，根据实际意义，图象应该在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 2．（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为 ，围成的矩形的最大面积是 ． 【答案】 25 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．由矩形的面积公式写出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为25， 故答案为：，25． 4．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【答案】(1) (2) (3)当米时，水流不落在池外 【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解； （2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 【典型例题二 图形运动问题】 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设的速度为a， 根据题意可得：的面积为， ∴最大值为：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2023·辽宁本溪·三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象. 【详解】解：①当0＜x≤4时，y=x2， ②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8， ③当x＞8时，y=8， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键. 2．（2024·北京顺义·二模）已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，Q点分别在BC、CD上运动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可. 【详解】（1）当0≤x≤2时， BQ＝2x 当2≤x≤4时，如下图 由上可知 故选B. 【点睛】本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式. 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为 . 【答案】 【分析】由题意用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到结果 【详解】解：由题意得y与x间的函数关系式为； 故答案为 【点睛】特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注 4．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【典型例题三 拱桥问题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·北京·期中）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得：. ∴. 当y=-3时，. 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般． 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及二次函数图象与性质，根据题意，结合二次函数图象与性质即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为， 该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴， 故选：C． 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是(　　)    A．2m B．4m C．m D．m 【答案】D 【分析】根据长方形的长OA是12m，宽OC是4m，可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA=12，OC=4． 所以抛物线的顶点横坐标为6， 即﹣==6，∴b=2． ∵C（0，4），∴c=4， 所以抛物线解析式为： y=﹣x2+2x+4 =﹣（x﹣6）2+10 当y=8时， 8=﹣（x﹣6）2+10， 解得：x1=6+2，x2=6﹣2． 则x1﹣x2=4． 所以两排灯的水平距离最小是4． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决． 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 米． 【答案】 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2＋4．把（5，0）代入函数解析式求得a的值，即可求得该函数解析式，然后把x＝1代入函数解析式，来求相应的y值即可． 【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2＋4（a≠0）． 把点（5，0）代入，得a×52＋4＝0， 解得： a＝−， 所以该函数解析式为：y＝−x2＋4． 把x＝1代入得到：y＝−×12＋4＝． 即桥洞离水面的高是 米， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 【典型例题四 销售问题】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 1．（23-24九年级上·陕西延安·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，确定其函数图像的顶点坐标，即可判断这种商品每天的最大利润． 【详解】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】y=20000（1-x）2 【分析】根据降低率的特点即可得到8月份的出厂量与6月份的出厂量的关系，故可求解． 【详解】若口罩出厂量每月下降百分率为x，则8月份的出厂量y关于x的函数解析式为y=20000（1-x）2， 故答案为：y=20000（1-x）2． 【点睛】此题主要考查列二次函数，解题的关键是根据题意找到数量关系列函数． 4．（2023·云南·一模）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【答案】（1）；（2）2450元；（3） 【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键． 【典型例题五 投球问题】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数（投球问题），弄清篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系是解题的关键． 根据篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系及所给图象进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，故排除、选项， 且只有从篮球出手到篮球接触篮筐期间，其离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系为抛物线， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：令，则， 解得或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， 故答案为：8． 4．（2023·安徽芜湖·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典型例题六 喷水问题】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求出的值，即可得到答案； （1）由题意得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，令可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 将点代入， ， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：不能 理由：由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令， ， 消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， 水流不能到达处． 1．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得． 【详解】在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0， 解得：t＝0或t＝6， 所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A．3s B．4s C．5s D．10s 【答案】C 【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论． 【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51， ∴当t＝5时，礼炮升到最高点． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可． 3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C的水嘴所在墙的距离AC是 m． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 4．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．    （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值； （2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长． 【详解】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3． 将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）； （2）令x＝0，则y＝＝2.25． 故水管AB的长为2.25m．    【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 【典型例题七 增长率问题】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 3．（23-24九年级上·广东珠海·期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据每年的产量都比上一年增加x倍，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 【典型例题八 其他问题】 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）有一块石头从高的绝壁落下，小明查阅相关资料得知物体下落高度与下落时间的关系为，并通过关系式列出下表，则该石头落到海面时t的范围是（    ） 0 1 2 3 4 0 5 20 45 80 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意及表中数据即可求解，理解题意，从表中获取信息是解题的关键． 【详解】解：依题意及表得：该石头落到海面时t的范围是， 故选D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量． 【答案】当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个 【分析】平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，平均每棵树结个橙子，可知现在有棵树，平均每颗产量为，由此即可求解． 【详解】解：有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个， ∴， ∴当时，总产量为有最大值，其最大值为， ∴当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个． 【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，分析题目意思，找出数量关系，列方程，掌握二次函数图像的性质特征是解题的关键． 1．（23-24九年级上·四川泸州·期末）某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（　　） A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s 【答案】D 【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去． 【详解】解：当刹车距离为m时，即可得， 代入二次函数解析式得：， 解得，（舍）， 故开始刹车时的速度为m/s， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确、代表的实际意义，刹车距离为m，即是，难度一般． 2．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）游乐场里的过山车是很多人喜欢的项目.过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）.如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：设该抛物线的对称轴为x， 由图象可得， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围． 3．（2023·山西运城·模拟预测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 【答案】120 【分析】把代入解析式求值即可． 【详解】解：， 当时，， 水的体积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键． 4．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键． 设（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据三角形和矩形的面积得到结论． 【详解】解：设（m为常数）， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 即， ∴y与x成一次函数关系， ∵， ∴S与x成二次函数关系． 故选：A． 2．（2023·广东广州·二模）已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出． 【详解】将-1，3分别代入， ， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴与y轴交点为：A（0，6）， ∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6， 代入抛物线解得，， ∴B（2，6） ∴AB=2-0=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京·期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可． 【详解】解：由题意可知：， ，则，即，y与x满足一次函数关系 菜园的面积：，S与x满足二次函数的关系 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 4．（23-24九年级上·全国·阶段练习）长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知： 现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面，水面宽．水位上升1米，则水面宽度变为（   ）m A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据题意构建平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，进而求解即可． 【详解】解：由题意可得如图所示平面直角坐标系： 该拱形的顶点为，与x轴的交点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，则有：，解得：， ∴此时水面宽为：， 故选：B． 6．（23-24九年级上·山西运城·阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数表达式． 7．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．令求得的值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落地点到点的距离是米． 故选：D． 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 9．（23-24九年级上·北京大兴·期中）某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度． A．36 B．45 C．50 D．42 【答案】D 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴 ， 最终对称轴的范围是36＜x＜45， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间， 此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．（23-24九年级上·山西大同·期中）如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    【答案】 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 12．（2023·广西防城港·一模）如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．    【答案】 【分析】根据，对称轴为轴，根据汽车宽为米，则当时，，即可． 【详解】∵，汽车宽为米， ∴当时，， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性． 13．（23-24九年级下·贵州铜仁·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是 米． 【答案】40 【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解． 【详解】解：，运动2秒时， （米）． 故答案为：40． 15．（23-24九年级上·上海宝山·期末）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得． 【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为， 2021年的蔬菜产量为， ∴， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键． 16．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】根据增加的面积新正方形的面积边长为4的正方形的面积，求出即可． 【详解】解：由题意得： ． 故与之间的函数表达式为． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长． 17．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点、若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【详解】（1）将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． 18．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD． （1）求点 B 的坐标 （2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值． 【答案】(1)（0，4）(2)存在，Q点坐标为（，0）或（，0）或（2，0） (3) 或 【分析】（1）因为三角形ABO为直角三角形，所以可依据勾股定理求出OB的长度，即可求出点B的坐标. （2）当AB=AQ时，三角形QAB为等腰三角形，当BQ=AB时，三角形QAB为等腰三角形，再根据AB的长度分别求出点Q的坐标即可. （3）由P（a，3）可知，p点在y=3直线上运动，画出简图，当a＞0和当a＜0时，分两种情况进行分析. 【详解】(1)由题意知AB=，AO=2，根据勾股定理得 ,所以点B的坐标为（0，4） （2）设Q点坐标为（m，0） 当AB=AQ时，即AQ==，解得：m=或 则此时Q点坐标为（，0）（，0） 当BQ=AB时，BQ=，解得：m=2或-2 而m=-2时与A点重合，则m=2. 则Q的坐标为（2，0） （3）① 由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示： 此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得. 设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得： 则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入，得x= 则此时G点坐标为（，3），则PG=a-= 则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH×+ GP×OH×= GP(BH+OH)= GP×BO= 即 解得：. ② 当a小于0时，如图所示： 同理①得：PG=-a 则此时有：GP(BH+OH)= GP×BO= 解得： 则综上所述：或 【点睛】本题考查知识点较为综合，解题关键在于需要借助图像，分情况进行讨论，在第（2）问中，三角形以AB为腰长的等腰三角形的情况有三种，在第(3)问中，务必考虑P点横坐标的正负情况. 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示．    （1）求铅球出手点的离地面的高度为多少米； （2）求铅球推出的水平距离是多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【分析】（1）根据铅球落出手时，水平距离，求的值即可 （2）根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可 【详解】解：（1）令，则， 所以求铅球出手点的离地面的高度为米． （2）令函数式中，y=0，， 所以 所以   解得（舍去）， 即铅球推出的距离是10m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 20．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 【答案】(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$