第09讲二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义-2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第09讲二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题二 画y=ax²+bx+c的图像 典型例题三 y=ax²+bx+c图像与性质 典型例题四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题五 y=ax²+bx+c的最值 典型例题六 待定系数法求二次函数解析式 典型例题七 二次函数综合 知识点一：二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 知识点二：二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【即时训练】 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    2．（23-24九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 知识点三：二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在抛物线上有两点和，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小 2．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 知识点四：求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即时训练】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 【典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式； 【典型例题二 画y=ax²+bx+c的图像】 1．（23-24九年级上·山西运城·期末）我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）建立直角坐标系，并画出函数的图象． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A．B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【典型例题三 y=ax²+bx+c图像与性质】 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 2．（2025·广东·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 4．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【典型例题四 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上． （1）求b、c的值； （2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标； （3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标　 　；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为　 　（用含m、n的式子表示）． 1．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 2．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 4．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【典型例题五 y=ax²+bx+c的最值】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2．（23-24九年级上·浙江·单元测试）求二次函数的最小值． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于（      ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）要用铁丝围成一个周长为12cm的矩形，则它的最大面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 3．（2025·广东东莞·模拟预测）二次函数的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）求函数的最值． 【典型例题六 待定系数法求二次函数解析式】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 1．（23-24九年级上·北京西城·期末）若抛物线经过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 4．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【典型例题七 二次函数综合】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 2．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是 ． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ． 4．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 1．（23-24九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．4 4．（23-24九年级上·河南南阳·周测）若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（24-25九年级上·广西防城港·期末）若抛物线的开口向下，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）抛物线，有（　　） A．当，有最大值 B．当，有最小值 C．当，有最大值 D．当，有最小值 10．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）抛物线经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 11．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）把二次函数，化成的形式是 ． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 13．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 14．（24-25九年级上·广西贵港·期末）二次函数的图象开口方向是向 （填“上”或“下”）． 15．（24-25九年级上·天津红桥·期中）二次函数的最大值为 ． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 17．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    18．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 19． （24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 20．（2023九年级上·黑龙江伊春·阶段练习）二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴． （1）求此函数的解析式； （2）在对称轴上是否存在一点P，使PA=PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题二 画y=ax²+bx+c的图像 典型例题三 y=ax²+bx+c图像与性质 典型例题四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题五 y=ax²+bx+c的最值 典型例题六 待定系数法求二次函数解析式 典型例题七 二次函数综合 知识点一：二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，把配成顶点式后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点，解题的关键是用配方法求顶点坐标；利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 知识点二：二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【即时训练】 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 2．（23-24九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． 知识点三：二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在抛物线上有两点和，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把和代入函数解析式分别计算，，从而可得答案． 【详解】解：在抛物线上有两点和， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得：． 故答案为：1． 知识点四：求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点归纳： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即时训练】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 2．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）二次函数的图象开口向 ，顶点坐标 ，当时y的取值范围的是 ． 【答案】 下 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出开口方向和顶点坐标从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 首先配方成顶点式，然后得到开口向下，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵， ∵，故开口向下； ∴顶点坐标为 ∴时，时取得最大值为5， 时取得最小值为， ∴当时y的取值范围的是． 故答案为：下，，． 【典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的一般式化顶点式， 将二次函数的一般式化成顶点式，再结合二次函数性质可得答案. 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是. 故选：B. 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 【答案】对称轴，顶点坐标，最小值为 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解：， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 又， 该二次函数有最小值，最小值为． 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，把抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．把抛物线解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为． 故选∶C． 3．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数．用配方法将解析式化为的形式； 【答案】 【分析】本题考查将二次函数的解析式化为顶点式，运用配方法运算即可． 【详解】， 即化为的形式得：． 【典型例题二 画y=ax²+bx+c的图像】 1．（23-24九年级上·山西运城·期末）我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 【答案】D 【分析】根据几种数学思想的定义选出正确选项． 【详解】解：研究一次函数的图象和性质利用的数形结合的思想． 故选：D． 【点睛】本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）建立直角坐标系，并画出函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的画法，根据二次函数的解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的四个点，然后即可画出相应的图象，解答本题的关键是找出函数图象上的五个点，最主要的是确定顶点 【详解】列表： x … 0 1 2 … y … 3 0 0 3 … 描点、连线画出函数的图象如图： ． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据函数的图象确定顶点的位置即可． 【详解】观察图象知：对称轴在y轴的右侧，开口向上，与坐标轴有2个交点，顶点在第四象限， 故选D． 【点睛】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，直接观察图像，比较简单． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A．B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：y=2x（3-x）=-2x2+6x ∵a=-2＜0， ∴开口向下， ∵b=6＞0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c=0， ∴经过原点， ∴B选项符合， 故选B． 考点: 二次函数的图象. 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 图象如图所示：    （2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 可得： 即： 【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键 【典型例题三 y=ax²+bx+c图像与性质】 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出对称轴为直线，再根据抛物线的开口向上，得出当时，随的增大而增大，进而可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， 又∵，即抛物线的开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，逐一分析选项，结合二次函数的开口方向、对称轴、交点及函数值比较进行判断。 【详解】A：，二次项系数为， 由且， 得，故开口向下，选项A错误； B：的对称轴为，的对称轴为， 令两者相等，化简得， 因（否则，但而矛盾），且（因），故无解，选项B错误； C：若交点为，则且，需，此时成立；若交点为，需或，均与条件矛盾，故交点可能为，但不可能为，选项C错误； D：计算，因，故；当时，，故负数乘以负数，即，选项D正确； 综上，正确答案为D． 故选：D． 2．（2025·广东·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴上方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选A． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为， ∴顶点到x轴的距离为2， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，，， (2)77 (3)或 【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断； （2）把代入解析式进行计算即可得解； （3）当代入解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数化为一般形式， 其中，，； （2）解：当时，； （3）解：当时，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义． 【典型例题四 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，根据对称性求出抛物线经过点，则当时，，熟知抛物线上函数值相同的两点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 故选A． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上． （1）求b、c的值； （2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标； （3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标　 　；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为　 　（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）b＝4，c＝﹣4；（2）见解析，(0，﹣4)；（3）(4，﹣4)，(4﹣m，n) 【分析】（1）根据图象写出抛物线的顶点式，化成一般式即可求得b、c； （2）利用描点法画出图象即可，根据图象得到C（0，﹣4）； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上， ∴顶点为（2，0）， ∴抛物线为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4， ∴b＝4，c＝﹣4； （2）画出抛物线的简图如图： 点C的坐标为（0，﹣4）； （3）∵C（0，﹣4）， ∴点C关于直线x＝2对称点D的坐标为（4，﹣4）； 若E（m，n）为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（4﹣m，n）， 故答案为（4，﹣4），（4﹣m，n）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及其对称性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键. 1．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，时的函数值与时的函数值相同． 【详解】解：由图表可知，时的函数值与时的函数值相同． 所以当时，的值为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将x的值代入确定各个对应的值，然后比较即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查比较二次函数值的大小及求函数值，理解题意，求出相应函数值是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 4．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 将已知点代入抛物线求得关于a和b的关系式，结合对称轴的表达式即可求得对称轴； 假设抛物线对称轴为直线，可求得抛物线上点关于对称轴的对称点为，结合题意可得．进一步得到在对称轴的左侧随增大而减小．将点对称轴为且，此时三点均在对称轴左侧，且，即可求得函数值的大小． 【详解】（1）解：抛物线过， 即， 则抛物线对称轴为直线； （2） 理由如下： 设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使． ，即． 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随增大而减小． 又关于对称轴的对称点为且， 点都在对称轴左侧，且， ． 【典型例题五 y=ax²+bx+c的最值】 1．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江·单元测试）求二次函数的最小值． 【答案】－9 【分析】将二次函数解析式化成顶点式，即可得到其最小值． 【详解】解：∵， ∴二次函数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方的方法，会将二次函数的一般形式化成顶点式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于（      ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，将原二次函数解析式化为顶点式，可得到二次函数的最小值为，根据已知条件可得，因此即可求出的值． 【详解】， 开口向上，当时，， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）要用铁丝围成一个周长为12cm的矩形，则它的最大面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．设矩形长为x，则宽为，面积，利用配方法求得二次函数的最值，即求得矩形的最大面积． 【详解】解：设矩形长为x，则宽为， 面积， 由于，顶点坐标是， 所以该抛物线开口向下， ， 所以矩形的最大面积是9， 故选：C 3．（2025·广东东莞·模拟预测）二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的最小值，解题关键在于把一般式化成顶点式．把二次函数化成顶点式，可直接得出二次函数最小值． 【详解】二次函数变形可得，， ∴二次函数的最小值为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）求函数的最值． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的最值公式，即可即可得到答案． 【详解】解：二次函数， ，，， ， 该二次函数开口向上， 函数有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的最值公式是解题关键． 【典型例题六 待定系数法求二次函数解析式】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，一元二次方程组的解法，将函数经过的两点代入二次函数解析式得到一元二次方程组是解答关键． 将二次函数图象经过的两点的坐标代入解析式，列出一元二次方程组，解一元二次方程组即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 1．（23-24九年级上·北京西城·期末）若抛物线经过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项就是抛物线与轴的交点，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线经过点， 的值为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点直接代入求解即可，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 经过点， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·江苏无锡·三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为，再代入即可得到答案. 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【典型例题七 二次函数综合】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，在顶点处取最值解题即可． 【详解】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，a＝﹣1＜0， ∴当x＝2时，y有最大值， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—面积问题．关键是掌握二次函数顶点式的意义． 2．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，联立解析式进行求解即可． 【详解】解：联立，得：或； ∴在第一象限的交点坐标为； 故选A． 2．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是 ． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）把点代入抛物线，解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为， 把和代入，得： 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的位置是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 1．（23-24九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式： (a，b，c为常数，)；②顶点式： (a，b，c为常数，)；③交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以，； 故选B． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 把代入得到，，，列式子逐一判断即可． 【详解】解：∵过点， ∴， ∴，，， ∴，故A错误； ∵， ∴， 解得：，故B错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确； 故选：D． 3．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 即符合要求的为， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南南阳·周测）若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵，即开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵二次函数有最小值为， ∴，解得：； 故选． 5．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入，求解即可．掌握图象上的点的坐标满足函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：； 故选：D． 6．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数顶点坐标，将二次函数一般式改为顶点式即可直接得出其顶点坐标，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是． 故选C． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 8．（24-25九年级上·广西防城港·期末）若抛物线的开口向下，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质得出，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项符合题意； D.，故该选项不符合题意； 故选：C ． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）抛物线，有（　　） A．当，有最大值 B．当，有最小值 C．当，有最大值 D．当，有最小值 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式解答即可．本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式得到抛物线的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线有最大值， ∴当时，该抛物线有最大值， 故选：． 10．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）抛物线经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故选：D． 11．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）把二次函数，化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数配方法，将二次函数一般形式化为，即可求解；掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 【答案】y＝3x2－2或y＝－3x2－2 【分析】根据二次函数的图象特点即可分类求解． 【详解】二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系数的绝对值相等． 13．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得：． 故答案为：1． 14．（24-25九年级上·广西贵港·期末）二次函数的图象开口方向是向 （填“上”或“下”）． 【答案】上 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由可知：， ∴函数图象开口向上， 故答案为：上． 15．（24-25九年级上·天津红桥·期中）二次函数的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查求二次函数的最值，将一般式转化为顶点式，根据顶点式的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∴当时，二次函数的最大值为6； 故答案为：6 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 【答案】顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解： ∴顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 17．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 18．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． 19．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 20．（2023九年级上·黑龙江伊春·阶段练习）二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴． （1）求此函数的解析式； （2）在对称轴上是否存在一点P，使PA=PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，P（1，－1），理由见试题解析． 【详解】试题分析：（1）根据对称轴的公式和函数的解析式，将x=1和A（3，0），B（2，﹣3）代入公式，组成方程组解答； （2）根据两点之间距离公式解答． 试题解析：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入依题意， 整理得：，解得：，∴解析式为； （2）存在．作AB的垂直平分线交对称轴x=1于点P，连接PA、PB，则PA=PB，设P点坐标为（1，m），则，解得，∴点P的坐标为（1，﹣1）． 考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$