第08讲二次函数的图像和性质（5大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）讲义 （暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第08讲二次函数的图像和性质（5大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²的图象和性质 典型例题二 y=ax²+k的图象和性质 典型例题三 y=a (x-h)²的图象和性质 典型例题四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 典型例题五 二次函数图象的平移 知识点一：二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是轴对称图形，对称轴是y轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是原点. 2.二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 (1)列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是全体实数给出x的一些代表值，求出对应的y值： (2)描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 4.二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值.当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口越小 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 知识点二：二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质、 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案．熟练掌握二次函数解析式特征是关键． 【详解】解：抛物线顶点坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线的开口 ．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，根据，可得开口方向． 【详解】解：抛物线的开口向下： 故答案为：向下 知识点三：二次函数的图象和性质 温馨提示：二次函数的对称性及最值问题 对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 2．（2023·辽宁抚顺·一模）二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 知识点四：二次函数的图象和性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式是解题的关键．利用抛物线的解析式为顶点式解析式，即可求其顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 知识点五：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行解析式的变换即可得到答案． 【详解】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是， 故选；D． 2．（24-25九年级上·天津西青·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象的平移法则是关键．根据抛物线的平移法则解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到． 故答案为：． 【典型例题一 y=ax²的图象和性质】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中二次项系数的正负决定图象开口方向是解题的关键． 根据二次函数解析式得到二次项系数，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 【答案】函数解析式为，对称轴是y轴 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是牢记它的对称轴是y轴，图象上的点的坐标代入解析式能让左右两边相等． 【详解】解：根据题意，得，解得， ∴所求的函数解析式为， ∴对称轴是y轴． 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期中）二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点， ∴二次函数的图象一定经过第一、二象限， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线的对称轴是 【答案】y轴 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴， 根据二次函数的对称轴是，可得答案． 【详解】解：根据题意，得二次函数的对称轴是，即y轴． 故答案为：y轴． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 【典型例题二 y=ax²+k的图象和性质】 1．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 1．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中，画出二次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可． 【详解】解：先列表： x … 0 0.5 1 1.5 2 … … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … … 7 3.5 1 1 3.5 7 … 然后描点画图，得，的图象如图． 【点睛】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【典型例题三 y=a (x-h)²的图象和性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称轴是直线即可确定． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】4 【分析】本题考查了抛物线的顶点式以及对称轴直线是该图象的顶点坐标的横坐标，掌握以上知识是解答本题的关键．根据，求得抛物线顶点坐标为，即可求解对称轴直线的解析式． 【详解】解：根据可知，抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【典型例题四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故选：D 2．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数的图象的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：二次函数的表达式为：， 二次函数的图象的开口向上， 对称轴是直线， 顶点坐标． 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的一般顶点式为，其中顶点坐标为，根据顶点式可直接写出顶点坐标即可得解． 【详解】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）点在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据题意可得：抛物线的对称轴为直线，由，，即可求解． 【详解】解：抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， ，，点在抛物线上，抛物线开口向下， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，直接根据抛物线顶点式得到顶点坐标即可． 【详解】解：由顶点式特征可知：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）二次函数的顶点坐标是，求与的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的性质．解题的关键是正确求出二次函数解析式．根据题意可得二次函数的解析式为，再将式子展开即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 可设二次函数的解析式为：， 将式子展开可得：， ，． 【典型例题五 二次函数图象的平移】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k(k＞0)个单位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k的值． 【答案】 【详解】试题分析：先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（2，1），所以把点（2，1）代入新的抛物线解析式就可求的k值． 试题解析： 抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k个单位，得y＝ (x－1)2＋k. 又∵过点(2，1)， ∴ (2－1)2＋k＝1， 解得k＝. 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）把抛物线向上平移3个单位可得抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解;：把抛物线向上平移3个单位可得抛物线是， 故选：C． 2．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选A． 3．（2025·广东潮州·模拟预测）把抛物线向左平移3个单位，得到的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得将抛物线向左平移3个单位，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系． 【答案】见解析，y1，y2的图象是的图象分别向上和向下平移3个单位． 【分析】根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案 【详解】 解：如图， 的图象由的图象向上平移3个单位得到； 的图象由的图象向下平移3个单位得到． 【点睛】本题考查了函数图象，利用描点法画函数图象，也可利用平移画函数图象：向上平移加，向下平移减． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列二次函数中，最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答． 【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意； C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意； D、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为即可得出答案 【详解】解：抛物线的对称轴是，即为轴， 故选：D 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是关于二次函数的顶点坐标的问题，掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式；根据二次函数的顶点式形式，求出结果即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ． 二次函数的顶点式一般形式为 ，其中顶点坐标为 ． ∴顶点坐标为 ． 故选：C． 8．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键． 根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解． 【详解】解：二次函数为， 顶点的坐标为， 又顶点在第三象限， ，， ，， 在第四象限． 故选：D． 9．（2025·四川绵阳·二模）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，以及通过顶点式或变量替换法求平移后的解析式．把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，根据平移规律∶上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】解：二次函数变为顶点式为． 顶点坐标为． 由题意得平移后顶点坐标为，即． 新顶点坐标为． 新顶点式为． 新解析式展开为． 故选：C． 10．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出结论． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是． 故选：D 11．（2025·辽宁抚顺·二模）已知二次函数的图象开口向下，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的最 （填“大”或“小”）值是 ． 【答案】 小 1 【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线抛物线开口向上， ∵抛物线顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为1， 故答案为：小，1 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，，分别代入，再比较即可． 【详解】解：把，，分别代入， 得：，，． ∵， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故答案为：． 15．（2025·宁夏固原·二模）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减，”的规律进行解答即可，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0． 【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 17．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把解析式设为顶点式，即，再由所求抛物线的形状与的函数图象相同得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵所求二次函数的顶点坐标为， ∴可设该二次函数解析式为， ∵所求二次函数的形状与的函数图象相同， ∴， ∴， ∴该二次函数表达式为或． 20．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲二次函数的图像和性质（5大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²的图象和性质 典型例题二 y=ax²+k的图象和性质 典型例题三 y=a (x-h)²的图象和性质 典型例题四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质 典型例题五 二次函数图象的平移 知识点一：二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是轴对称图形，对称轴是y轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是原点. 2.二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 (1)列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是全体实数给出x的一些代表值，求出对应的y值： (2)描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 4.二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值.当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口越小 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线的对称轴是 轴． 知识点二：二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质、 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线的开口 ．（填“向上”或“向下”） 知识点三：二次函数的图象和性质 温馨提示：二次函数的对称性及最值问题 对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2023·辽宁抚顺·一模）二次函数图象的顶点坐标为 ． 知识点四：二次函数的图象和性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 知识点五：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津西青·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是 ． 【典型例题一 y=ax²的图象和性质】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．（24-25九年级上·吉林·期中）若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期中）二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线的对称轴是 4．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【典型例题二 y=ax²+k的图象和性质】 1．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 1．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 3．（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中，画出二次函数的图象． 【典型例题三 y=a (x-h)²的图象和性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【典型例题四 y=a (x-h) ²+k的图象和性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．、 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）点在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）二次函数的顶点坐标是，求与的值． 【典型例题五 二次函数图象的平移】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k(k＞0)个单位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k的值． 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）把抛物线向上平移3个单位可得抛物线是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东潮州·模拟预测）把抛物线向左平移3个单位，得到的解析式为 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列二次函数中，最大值为1的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·四川绵阳·二模）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁抚顺·二模）已知二次函数的图象开口向下，则 ． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的最 （填“大”或“小”）值是 ． 13．（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 15．（2025·宁夏固原·二模）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是 ． 16．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 17．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 19． （24-25九年级上·陕西西安·期中）某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 20．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 学科网（北京）股份有限公司 $$