第06讲实际问题与一元二次方程（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第06讲实际问题与一元二次方程（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 握手、循环比赛问题 典型例题三 增长率问题 典型例题四 图形问题 典型例题五 销售问题 典型例题六 数字问题 典型例题七 几何动点问题 典型例题八 行程问题 知识点一：列一元二次方程解应用题 审→设→列→解→验→答.即： (1)审：审清题目的各量之间的关系： (2)设：恰当地设出未知数，可直接设也可间接设： (3)列：根据问题中的等量关系，列出方程； (4)解：求出未知数的值： (5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况； (6)答：写出应用题的答案 知识点二：传播问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中等量关系是解答关键． 设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 整理得． 故答案为：． 知识点三：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年均增长率问题．根据题意，2023年至2025年共两年，年均增长率为x，则两年后的总人数为初始人数乘以． 【详解】解：2023年到2025年共经过2年，故增长次数为2次， 设年均增长率为x，则2025年人数为，根据题意，该值等于6050，即 故选：A 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该种品牌的手机经过两次降价后的价格，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 知识点四：图形问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即时训练】 1．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 2．（24-25九年级上·全国·期中）若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为，据此即可求解； 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为， 解得（舍去）. ∴， 故答案为：①② 知识点五：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 知识点六：利润（销售）问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 【即时训练】 1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程． 【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件， ∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元， ∴每天盈利元， 即可列方程为． 故选D． 2．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∴， 故答案为：． 【典型例题一 传播问题】 1．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 2．（22-23九年级上·湖北咸宁·期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 1．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条，则名学生共赠祝福语为条，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条， ∴名学生共赠祝福语为条， 由题意得：； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出张照片，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 【典型例题二 握手、循环比赛问题】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 3．（2025·广东东莞·二模）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设有x支队伍，根据题意，得即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为． 【典型例题三 增长率问题】 1．（24-25八年级下·全国·期中）某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用-平均增长率问题，分别求出2月份产值和3月份产值即可求解． 【详解】解：∵1月份产值为1千万，第一季度月产值的平均增长率为x， ∴2月份产值为千万，3月份产值为千万； 由题意得：； 故选：C 2．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可． 【详解】解：设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ， 答：11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）随着环保意识的增强和技术的革新，新能源汽车逐渐成为消费者的热门选择，某品牌新能源汽车今年3月份的销量为1200辆，由于国补政策的连月升温，5月份的销量为3500辆，设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率的应用，根据题意，3月份到5月份间隔2个月，销量从1200辆增长到3500辆，设月平均增长率为，则5月份的销量为，由此建立方程． 【详解】解：设每月销量的平均增长率为，则4月份的销量为辆，5月份的销量在4月份基础上再增长，即辆，根据题意得： ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续降价问题． 设两年前的价格为，每年降价率为，根据今年价格是两年前的一半，列出方程，即可解答． 【详解】解：设两年前的价格为()，每年降价的百分率为．依题意，得 即． 故选C． 3．（24-25八年级下·山东威海·期中）某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解决增长率问题，解题关键是列出方程求解． 设每年的增长率为 ，根据“计划用两年时间，使绿地面积增加”列出方程求解． 【详解】解：设每年的增长率为 ， 则， 解得：(舍去），或， 即这两年平均每年绿地面积的增长率是， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 【典型例题四 图形问题】 1．（2025·云南·模拟预测）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．    【答案】8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键． 设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：的长为米． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设场地的宽为x米，则长为米， 根据题意得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）若一个正方形的面积比它的周长在数值上大，则此正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设正方形的边长为，根据题意，则，解一元二次方程，求出，即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． 【典型例题五 销售问题】 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，年平均增长率为，则2021年与2020年的销量比为，2022年与2021年的销量比为，由此可列方程，理解年平均增长率的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意知，2021年销量为，2022年销量为， 因此， 故选D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3元 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意用代数式填表即可； （2）设每件应涨价元，结合（1）中的表格，再根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / （2）解：设每件应涨价元， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每件应涨价3元． 1．（22-23九年级上·山西临汾·期中）由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每件降价元，可得每件盈利元，每天可售出件，根据利润的计算方法列式即可求解． 【详解】若每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别计算出每件商品降价元后，销售的数量（件），每件盈利的数量（元），根据销售数量与每件盈利数量的积即为该商品日盈利额，由此列式即可求解． 【详解】解：每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元， ∴销售件数为：件， ∵每件盈利元，每件商品降价元， ∴降价后的每件的盈利为元， 若商场销售该商品日盈利要达到元， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售，利润的问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用一元二次方程解决销售、盈利问题的方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 4．（20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 【典型例题六 数字问题】 1．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程 【详解】解：∵较小的奇数为 x ∴较大的奇数为 故： 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意． 2．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可． 【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2 ∴ 故选B． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 【答案】D 【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据两数之积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1）， 根据题意得：x（x+1）＝12， 解得：x1＝3，x2＝﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 【典型例题七 几何动点问题】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【答案】1秒 【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm2”，找到等量关系是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题的关键． 运动x秒后，，，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于，由题意得， ， 解得：，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 3．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】解：由题意，得，． 列方程，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 故答案为：1 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，三角点阵前n行的点数之和用n表示是：1+2+3+…+n＝n（n+1），三角点阵的前n行之和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】不存在n使得三角点阵的前n行之和能是600，理由见解析 【分析】根据题意列出方程求出n的值，再根据n为正整数判断是否可行. 【详解】由题意可知： 解得： 因为n是正整数，而求出的n的值非整数 故不存在n使得三角点阵的前n行之和能是600. 【点睛】本题考查了一元二方程的实际应用，依题意建立方程求解是解题关键. 【典型例题八 几何动点问题】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 2．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 【答案】 【分析】根据路程和时间之间的关系，将s=200代入求出t即可． 【详解】∵行驶的路程和时间之间的关系为：， ∴将s=200代入得：， 解得：t1=-10（舍去），t2=． 答：行驶需要． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把s的值代入求解． 1．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）早期，甲肝流行，在一天内，一人能传染4人，若有三人患上甲肝，那么经过两天患上甲肝的人数为（     ） A．50 B．75 C．25 D．70 【答案】B 【分析】根据一人能传染4人，第一天被传染3×4+原来3人=15人，第二天被传染15×4+第一天15计算即可． 【详解】解：第一天3×（1+4）=15人， 第二天3×（1+4）2=3×25=75人． 故选择B． 【点睛】本题考查传播问题应用题，掌握传播问题应用题的解题方法与步骤，关键抓住传染后成倍数增加规律，a人患病，每人传染x人，一轮后a(1+x)，两轮后a(1+x)+ a(1+x)x= a(1+x)2，三轮后a(1+x)3等等． 2．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈．2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1485万人次．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，根据题意列出方程即可解答． 【详解】解：设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x， 由题意得，． 故选：A． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键．根据每一个矩形的面积都是35建立方程即可． 【详解】解：利用所给的数据，能得到的方程是， 故选：A． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”—2022年跨年迎新购物季，系列促销活动，某超市对一款原价位a元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了b元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某超市对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元列方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意是解题的关键． 6．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 7．（24-25九年级上·全国·期末）学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设邀个球队参赛，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】解：设有个队，每个队都要赛场， 由题意得：， 故选：C． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．由题意可知，每个学生都赠送了张贺卡，所有学生共赠送贺卡张，结合题意即可列出方程． 【详解】解：设九年三班共有名学生， 每个学生都赠送了张贺卡， 共赠送贺卡张， 又共赠贺卡张， ， 故选：． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 10．（2025·江苏盐城·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 11．（2025·河南·模拟预测）最近两年黄金价格持续走高，2023年4月3日国际大盘金价为424元/克，到2025年4月3日国际大盘金价上涨到735元/克，若这两年金价的平均增长率为，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这两年金价的平均增长率为，根据题意列出方程即可，弄清题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：若这两年金价的平均增长率为，可列得方程为：． 故答案为： 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是解答关键． 设与墙垂直的边长为，根据篱笆总长为，表示墙的对面的一条边的长，再利用长面积公式求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为， 则墙的对面的一条边的长为， 所以列出方程为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据“一个数x与比它大2的数的积等于35”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）将进货单价为40元/件的商品按50元/件出售，每天能售出500件，如果该商品每件每涨价1元，那么每天的销售量就要减少10件，为了每天获得8000元的利润，销售单价应定为多少元/件？ 思路分析：设每件商品涨价x元时，每天能获得8000元的利润． 当销售单价是50元/件时，每天能售出 件， 那么每件商品涨价x元后的销售单价为 元/件，每天的销售量为 件，每件的利润为 元； 根据总利润=销售量×每件的利润，可列方程： ． 【答案】 【分析】根据题意逐步分析即可． 【详解】解：根据题意可得销售单价是50元/件时，每天能售出500件； 每件商品涨价x元后的销售单价为元/件； 该商品每件每涨价1元，那么每天的销售量就要减少10件， 故每件商品涨价x元后，每天的销售量为件； 每件的利润为元； 根据总利润=销售量×每件的利润，可列方程； 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 15．（24-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设有个球队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有个球队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期末）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册． (1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％ (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册 【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为20%； （2）（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（23-24八年级上·上海·期中）对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗，最大的风险就是被感染．为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米．四扇门，每扇门宽1米，且不需要建筑材料，求、的长各为多少米？ 【答案】为6米，为16米 【分析】设的长为米，为米，根据三个区的总面积为96平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设的长为米，为米， 由题意得，解得， 经检验，都是方程的解， 当时，，不符合题意，应舍去， 所以，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意设出未知数列出方程求解． 18．（23-24九年级上·山西·期中）商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件． (1)当商品售价降价元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？ (3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________． 【答案】(1)； (2)降价元 (3) 【分析】（1）商品售价降价元时，则现在的售价是元，售出件，每件的利润是元，由此即可求解； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元，由此即可求解； （3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，现在售出的件数是，利润是元． （2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元， ∴， 解方程得，，， ∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴，即商品降价元． （3）解：售价是元， 利润是元， ∴利润率是． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 19．（23-24九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 20．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲实际问题与一元二次方程（6大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 握手、循环比赛问题 典型例题三 增长率问题 典型例题四 图形问题 典型例题五 销售问题 典型例题六 数字问题 典型例题七 几何动点问题 典型例题八 行程问题 知识点一：列一元二次方程解应用题 审→设→列→解→验→答.即： (1)审：审清题目的各量之间的关系： (2)设：恰当地设出未知数，可直接设也可间接设： (3)列：根据问题中的等量关系，列出方程； (4)解：求出未知数的值： (5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况； (6)答：写出应用题的答案 知识点二：传播问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程为 ． 知识点三：增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 知识点四：图形问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即时训练】 1．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 2．（24-25九年级上·全国·期中）若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 知识点五：数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 知识点六：利润（销售）问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 【即时训练】 1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为 ． 【典型例题一 传播问题】 1．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（   ）． A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北咸宁·期末）张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 1．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 4．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？ 【典型例题二 握手、循环比赛问题】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·二模）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【典型例题三 增长率问题】 1．（24-25八年级下·全国·期中）某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）随着环保意识的增强和技术的革新，新能源汽车逐渐成为消费者的热门选择，某品牌新能源汽车今年3月份的销量为1200辆，由于国补政策的连月升温，5月份的销量为3500辆，设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东威海·期中）某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【典型例题四 图形问题】 1．（2025·云南·模拟预测）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．    1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）若一个正方形的面积比它的周长在数值上大，则此正方形的面积为 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【典型例题五 销售问题】 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / 1．（22-23九年级上·山西临汾·期中）由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 4．（20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【典型例题六 数字问题】 1．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【典型例题七 几何动点问题】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 3．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，三角点阵前n行的点数之和用n表示是：1+2+3+…+n＝n（n+1），三角点阵的前n行之和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【典型例题八 几何动点问题】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 3．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 1．（23-24九年级上·黑龙江鸡西·期末）早期，甲肝流行，在一天内，一人能传染4人，若有三人患上甲肝，那么经过两天患上甲肝的人数为（     ） A．50 B．75 C．25 D．70 2．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈．2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1485万人次．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”—2022年跨年迎新购物季，系列促销活动，某超市对一款原价位a元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了b元，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 7．（24-25九年级上·全国·期末）学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设邀个球队参赛，根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏盐城·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 11．（2025·河南·模拟预测）最近两年黄金价格持续走高，2023年4月3日国际大盘金价为424元/克，到2025年4月3日国际大盘金价上涨到735元/克，若这两年金价的平均增长率为，那么可列出的方程是 ． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 13．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程 ． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）将进货单价为40元/件的商品按50元/件出售，每天能售出500件，如果该商品每件每涨价1元，那么每天的销售量就要减少10件，为了每天获得8000元的利润，销售单价应定为多少元/件？ 思路分析：设每件商品涨价x元时，每天能获得8000元的利润． 当销售单价是50元/件时，每天能售出 件， 那么每件商品涨价x元后的销售单价为 元/件，每天的销售量为 件，每件的利润为 元； 根据总利润=销售量×每件的利润，可列方程： ． 15．（24-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 16．（24-24八年级下·吉林长春·期末）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册． (1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？ 17．（23-24八年级上·上海·期中）对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗，最大的风险就是被感染．为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米．四扇门，每扇门宽1米，且不需要建筑材料，求、的长各为多少米？ 18．（23-24九年级上·山西·期中）商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件． (1)当商品售价降价元时，每天销售量可达到____________件，每天盈利__________元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？ (3)在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是____________． 19．（23-24九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 20．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$