第一单元 圆 （讲义）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

本讲义是小学数学“圆”单元的系统资料，核心知识点涵盖圆的基本概念（圆心、半径、直径及关系）、对称性（轴对称与无数条对称轴）、周长（圆周率及公式C=πd/C=2πr）、面积（切拼推导与公式S=πr²）及圆环面积计算，形成从概念认知到特征理解再到实际应用的连贯学习支架。 资料以思维导图构建知识框架，知识点梳理通过易错点提示（如强调“同一圆或等圆中”半径直径关系、区分周长与面积概念）培养抽象能力和推理意识，培优练习结合挂钟分针运动、摩天轮周长等生活情境，覆盖多样题型，体现应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第一单元 圆 【思维导图+知识点梳理+培优练习】 思维导图 知识点梳理 知识点一：圆的认识（一）——圆的基本概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点O叫做圆心（用字母O表示），连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（用字母r表示）。 易错点提示： （1）圆是一条“曲线”围成的封闭图形，而不是一个“面”。（我们后续会学习圆的面积，那时会涉及到面）。 （2）半径必须是“连接圆心”和“圆上任意一点”的线段，缺一不可。不是圆内随便一条线段都是半径。 2.圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（用字母d表示）。 易错点提示： （1）直径必须同时满足两个条件：“通过圆心”和“两端都在圆上”。只满足一个条件不行。 （2）直径是圆内最长的线段。 3.半径和直径的关系： （1）在同一个圆或等圆中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 （2）重要关系：在同一个圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 d = 2r 或 r = d ÷ 2。 易错点提示： （1）“同一个圆或等圆中”这个前提非常重要！如果没有这个前提，半径和直径就没有这种2倍关系。比如，一个小圆的直径可能比一个大圆的半径还小。 （2）不要死记硬背公式，要理解它们之间的倍数关系，能灵活转换。 4.圆的画法：通常用圆规来画圆。 步骤： （1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； （2）把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； （3）把装有铅笔尖的一只脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 易错点提示： （1）画圆时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 （2）定好半径后，在画的过程中不能改变圆规两脚间的距离，否则画出的就不是标准的圆。 知识点二：圆的认识（二）——圆的特征与对称性 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线（也就是直径所在的直线）。 易错点提示： （1）对称轴是“直线”，而不是“线段”。所以说“直径是圆的对称轴”是不准确的，应该说“直径所在的直线是圆的对称轴”。 （2）不要和之前学过的其他轴对称图形（如正方形4条，长方形2条）混淆，圆有无数条对称轴。 2.圆与其他平面图形的区别：我们以前学过的长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是由线段围成的直线图形；而圆是由曲线围成的封闭图形。 易错点提示： （1）注意区分“直线图形”和“曲线图形”的概念，这是圆与其他多边形的本质区别。 知识点三：圆的周长——围绕圆一周的长度 1.周长的定义：围成一个平面图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长。圆的周长就是指围绕圆一周的曲线的长度，通常用字母C表示。 易错点提示： （1）圆的周长是指曲线的长度，不要与圆的面积（所占平面的大小）混淆。 2.圆周率（π）的认识：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数，π≈3.1415926535...在小学阶段的计算中，我们通常取π≈3.14。 易错点提示： （1）π是一个固定的数，它不随圆的大小而改变。 （2）π≈3.14是一个近似值，不是精确值。在解决实际问题时，要看清题目要求，有时可能需要用“π”表示结果，或取不同的近似值（如3.1416）。 3.圆的周长计算公式：因为：圆的周长 ÷ 直径 = π，所以 圆的周长 = 圆周率 × 直径，用字母表示为：C = πd 又因为：直径d = 2r（半径的2倍），所以 C = 2πr 易错点提示： （1）灵活运用两个公式：知道直径用C=πd，知道半径用C=2πr。 （2）注意单位的统一。如果半径或直径的单位是厘米，周长的单位就是厘米；如果是米，周长就是米。 （3）计算时，π的取值要按题目要求，没要求时通常取3.14。 4.已知周长求直径或半径： （1）由 C = πd 可得：d = C ÷ π （2）由 C = 2πr 可得：r = C ÷ π ÷ 2 或 r = C ÷ (2π) 易错点提示： （1）这是周长公式的逆运用，要会灵活变形。 （2）计算时注意运算顺序，例如求半径时，是用周长先除以π，再除以2。 知识点四：圆的面积——圆所占平面的大小 1.面积的定义：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。圆的面积就是指圆所占平面部分的大小，通常用字母S表示。 易错点提示： （1）圆的面积是指平面的大小，不要与圆的周长（曲线的长度）混淆。 2.圆面积公式的推导：我们通过“切拼”法，将一个圆平均分成若干个（偶数个）小扇形，然后把这些小扇形巧妙地拼成一个近似的平行四边形。 （1）这个近似平行四边形的底相当于圆的周长的一半（C/2 = πr）。 （2）这个近似平行四边形的高相当于圆的半径（r）。 （3）因为平行四边形的面积 = 底 × 高，所以圆的面积 S = πr × r = πr²。 易错点提示： （1）理解推导过程非常重要，它帮助我们记忆公式，而不是死记硬背。 （2）拼成的图形只是“近似”平行四边形，分的份数越多越接近平行四边形。 3.圆的面积计算公式：S = πr² （r²表示r×r，读作r的平方） 易错点提示： （1）公式中是半径的平方，不是半径乘以2！这是最容易出错的地方！（区分2r和r²） （2）计算时，要先算r²，再乘以π。 （3）单位：面积单位是平方单位，如平方厘米(cm²)、平方米(m²)等，注意与周长单位区分。 知识点五：圆的面积的应用——圆环的面积 1.圆环的定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 易错点提示： （1）圆环必须是同心圆，即圆心相同，半径不同。 2.圆环面积的计算：圆环的面积 = 外圆的面积 - 内圆的面积 如果用R表示外圆半径，用r表示内圆半径，那么圆环的面积 S = πR² - πr² 或 S = π(R² - r²) （利用乘法分配律） 易错点提示： （1）找准外圆半径R和内圆半径r。 （2）公式 S=π(R² - r²) 中，是先算 R² - r²，再乘以π，而不是 (R - r)² 再乘以π！（区分 R² - r² 和 (R - r)²） （3）有些题目可能只给出外圆直径和内圆直径，或者外圆直径和环宽（环宽 = R - r），需要先求出R和r再计算。 培优练习 一、填空题 1．半径决定圆的　 　，圆心决定圆的　 　。 2．将一个圆至少对折　 　次才能找到这个圆的圆心。 3．从一张长 20cm、宽 9 cm的长方形纸中剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是　 　cm。 4．一个圆的半径扩大到原来的4倍，它的周长就扩大到原来的　 　倍，面积就扩大到原来的　 　倍。 5．圆的半径增加5cm ，直径增加　 　cm，周长增加　 　cm。 6．画圆时，如果圆规两脚之间的距离为4厘米，那么这个圆的直径是　 　厘米，周长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 7．如下图，该图形有　 　条对称轴。图中一个圆的周长是18.84 dm。涂色部分的面积是　 　dm2，长方形的周长是　 　dm。 8．一个挂钟分针长6厘米，从12：00到12：30，这根分针的针尖走了　 　厘米，这根分针扫过的面积是　 　平方厘米。 9．游乐场有一个 128 m 高的摩天轮，如图。这个摩天轮的周长大约是　 　m，摩天轮匀速逆时针转动，转一周大约要 30分钟，乐乐从点P进入座舱，运行了 18分钟后，他乘坐的座舱更接近点　 　位置(从A、B、C、P四个点中选一个)。 10．如图①是一个机器零件模板，这块模板的面积是　 　cm2。 二、判断题 11．直径一定是半径的2倍。（　　） 12．车轮滚动一周，所行驶的路程等于车轮的周长。（　　） 13．直径4厘米的圆的周长和面积一样大。（　　） 14．任意一个圆都有无数条对称轴。（　　） 15．一个圆能分成两个半圆，但两个半圆不一定能合成一个圆。（　　） 三、选择题 16．在下面关于π的叙述中，错误的是（　　）。 ①π是一个无限小数②π=3.14 ③π>3.14④π是圆的周长与它的半径的比值 A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 17．如下图，这个半圆的半径是5分米，它的周长是（　　）分米。 A．25.7 B．20.7 C．78.5 D．39.25 18．如图，把一个圆平均分成若干等份，然后把它剪开拼成一个长方形，拼成的图形与原来的圆相比，下面说法正确的是（　　）。 A．周长和面积都不相等 B．面积相等，周长减少 C．面积相等，周长增加 D．周长和面积都相等 19．在推导圆的面积公式时有这样一种方法：把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成一个平行四边形。如果平行四边形的底AB长6.28厘米，那么圆的面积是（　　）平方厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 20．有一圆形草坪，面积是2826 m2，要在草坪中央安装一个自动旋转装置，应该选择射程（　　）米的最合适。 A．20 B．30 C．40 D．60 四、计算题 21．计算如图图形的周长。 22．求如图图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 五、操作题 23．用圆规画一个直径是2厘米的圆，并在圆中标出圆心O、半径r和直径d。 24．分别画出下面各图形的对称轴。 六、解决问题 25．淘气骑自行车从三渡水大桥上经过，车轮滚动了230圈，已知自行车车轮直径是60厘米(如图所示)，三渡水大桥全长约多少米？(结果保留整数) 26．为了不让小牛乱吃草，主人用一根20米长的绳子，一头拴住小牛，另一头拴在一课树上。那么小牛的最大活动范围是多少？（绳扣部分长度不计） 27．李叔叔用篱笆靠墙围了一个半圆形小院，直径是12m。围这个小院需要多少米篱笆？ 28．学校买了一根拔河绳，拆开外包装后如图，绳子一共绕了13圈（中间是空心），剩余不满一圈的绳长20.32厘米，这根绳长多少米？ 29．一张圆桌，直径是12分米。现在要给这张圆桌配上一块桌布，圆桌铺上桌布后，四周要均匀垂下3分米，这块桌布的面积是多少平方分米？ 30．折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 参考答案 1．大小；位置 2．2 3．46.26 4．4；16 5．10；31.4 6．8；25.12；50.24 7．2；56.52；36 8．18.84；56.52 9．370.52；B 10．157 11．错误 12．正确 13．错误 14．正确 15．正确 16．D 17．A 18．C 19．D 20．B 21．解：2×6×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（厘米） 答：它的周长是37.68厘米。 22．解：4÷2＝2（厘米） （2+4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32÷2-3.14×22÷2 ＝14.13-6.28 ＝7.85（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7.85平方厘米。 23．解： 24．解： 25．解：60厘米=0.6米 3.14×0.6×230≈433(米) 答：三渡水大桥全长约433米。 26．解：20×20×3.14 =400×3.14 =1256（平方米） 答：小牛的最大活动范围是1256平方米。 27．解：3.14×12÷2 =37.68÷2 ＝18.84（米） 答：围这个小院需要18.84米篱笆。 28．解：3.14×24×13+20.32 =75.36×13+20.32 =979.68+20.32 =1000（厘米） 1000厘米=10米 答：这根绳子长10米。 29．解：12÷2+3=9（分米） 3.14×9×9 =3.14×81 =254.34（平方分米） 答：这块桌布的面积是254.34平方分米。 30．解： 3-2=1（分米） 3.14×（-）× =3.14×（9-1）× =3.14×8× =12.56（平方分米） 答：做这样一把折扇扇面至少需要凌娟面料12.56平方分米。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$