第一单元 圆 暑假预习（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

第一单元 圆 暑假预习讲义 思维导图 知识梳理 知识点一、圆的认识 1.圆的各部分名称，包括圆心、半径、直径。 （1）圆心：圆中心的一点，用字母“O”表示。它确定了圆的位置。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母“r”表示。半径决定了圆的大小，在同一个圆里，有无数条半径，且所有半径都相等。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母“d”表示。在同一个圆里，有无数条直径，且所有直径都相等，直径是半径的2倍，即d = 2r。 【要点诠释】 1.要明确区分圆心、半径和直径的概念，通过实际画图来加深理解。比如，用圆规画圆时，圆规针尖固定的点就是圆心，圆规两脚间的距离就是半径。 2.理解半径和直径的关系在解决很多圆相关的计算问题中非常关键，例如已知直径求半径或者已知半径求直径等情况。 知识点二、圆的对称性 1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 【要点诠释】 1.可以通过折纸的方式直观感受圆的轴对称性，将圆形纸片沿着任意一条直径对折，两边都能完全重合。 2.因为圆有无数条直径，所以它有无数条对称轴，这是圆区别于其他轴对称图形（如长方形有2条对称轴、正方形有4条对称轴等）的重要特点。 知识点三、圆的周长 1.圆的周长的概念及计算公式。 2.概念：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，用字母“C”表示。 3.计算公式：C = 2πr或C = πd（其中π是圆周率，是一个无限不循环小数，通常取值3.14）。 【要点诠释】 1.理解圆周长的概念要结合实际物体，比如圆形花坛的围栏长度就是这个花坛的周长。 2.在计算圆周长时，要根据已知条件准确选择公式。如果已知半径就用C = 2πr，如果已知直径就用C = πd。同时要注意π的取值，根据题目要求保留合适的小数位数。 知识点四、圆周率 1.圆周率的含义，它是圆的周长与直径的比值，用字母“π”表示，即π = C/d。 【要点诠释】 1.圆周率是一个固定不变的值，无论圆的大小如何，其周长与直径的比值始终是圆周率。它是一个无限不循环小数，在实际计算中通常取近似值3.14。 2.可以通过让学生测量不同大小圆的周长和直径，然后计算它们的比值，来感受圆周率的近似值，从而加深对圆周率概念的理解。 知识点五、圆的面积 1.圆的面积的概念及计算公式。 2.概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母“S”表示。 3.计算公式：S = πr²。 【要点诠释】 1.理解圆面积的概念可以与已学过的其他图形面积概念类比，比如长方形面积是指长方形所占平面的大小。 2.推导圆面积公式是本单元的一个难点。可以通过将圆转化为近似的长方形等方法来推导（把圆平均分成若干个相等的小扇形，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长近似于圆周长的一半即πr，宽近似于圆的半径r，根据长方形面积公式推出圆面积公式）。在运用公式计算时，同样要注意π的取值和半径的准确代入。 知识点六、圆环的面积 1.圆环的面积的计算方法。 2.计算方法：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，即S环 = S外 - S内 = πR² - πr²（其中R为外圆半径，r为内圆半径），也可写成S环 = π(R² - r²)。 【要点诠释】 1.要准确区分外圆半径和内圆半径，在实际问题中通常会给出相关的数据或条件让我们去确定这两个半径的值。 2.当计算圆环面积时，先分别算出外圆和内圆的面积，然后再做减法运算，或者直接运用简化后的公式S环 = π(R² - r²)进行计算，要注意计算的准确性。 巩固练习 一、填空题 1．画圆时，圆规两脚间的距离是圆的　 　，它决定圆的　 　，　 　决定圆的位置。 2．一个圆的半径扩大3倍，它的周长扩大　 　倍，面积扩大　 　倍。 3．把一张圆形纸片至少对折　 　次可以找到直径，至少对折　 　次可以找到圆心。 4．一个半圆的直径是6cm，这个半圆的周长是　 　cm，面积是　 　cm2。 5．龙龙老师需要用一些半径为1.5厘米的圆形纸片来装饰班级文化墙。如果在一张长22厘米、宽15厘米的长方形纸上剪这样的圆，最多能剪　 　个。 6．如图，这个长方形的周长是36厘米，那么每个圆的周长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 7．体育老师用3米长的绳子在操场画圆，他画出的圆的周长最大是　 　米，面积最大是　 　平方米。(固定处的长度不计) 8．国家倡导“阳光体育运动”，要求中小学生每天锻炼1小时。林林每天绕小区的一个直径为12米的圆形花坛跑步10圈，他平均一天跑了　 　米，这个花坛的占地面积是　 　平方米。 9．下边的太极图中大圆半径是10cm，那么涂色部分的周长是　 　cm，面积是　 　cm2。 10．儿童乐园要修建一个圆形旋转木马场地。木马旋转范围的直径是6米，它的周边还有1米宽的小路，并在外侧围上栏杆，栏杆内的占地面积是　 　平方米，小路的面积是　 　平方米。 二、选择题 11．如下图，将一个圆剪拼成一个近似的长方形。在这个转化的过程中，(　　)。 A．周长和面积都没有变 B．周长和面积都变了 C．周长没变，面积变了 D．周长变了，面积没变 12．下面关于圆周率的说法中正确的是(　　)。 A．大圆的圆周率比小圆的圆周率大 B．圆周率正好等于3.14 C．圆周率是一个无限循环的小数 D．圆周率没有单位 13．在一个正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（　　）。 A． B． C． D． 14．小明量出一个圆形烟囱底部周长是31.4米，这个烟囱的占地面积是（　　）平方米。 A．31.4 B．78.5 C．314 D．15.7 15．一个钟表的分针长10厘米，从2时走到4时，分针的顶点走过了（　　）厘米。 A．62.8 B．125.6 C．314 D．628 三、判断题 16．一个圆内，两端都在圆上的所有线段中，直径最长。(　　) 17．圆形有无数条对称轴，半圆形也有无数条对称轴。(　　) 18．半圆形的面积等于半圆形所在的这个圆面积的一半。(　　) 19．圆的周长总是它直径的3.14倍。（　　） 20．一个圆的半径是2dm，它的周长与面积相等。(　　) 四、操作题 21．画一个直径是6厘米的半圆，再画出它的对称轴，并计算出它的周长和面积。 五、计算题 22．计算下面各图中涂色部分的面积。 （1） （2） 六、解决问题 23．淘气骑自行车从三渡水大桥上经过，车轮滚动了230圈，已知自行车车轮直径是60厘米(如图所示)，三渡水大桥全长约多少米？(结果保留整数) 24．如图，李叔叔用篱笆靠墙围了一个半圆形的花园，篱笆的长度是12.56 米。请算出花园的面积。 25．《千里江山图》不仅有高山流水，也有庭院修建等百姓的生活场景。如果用55m的篱笆围一个圆形小院，围一圈还多4.76m，那么这个圆形小院的面积是多少? 26． 如图，某小学计划修建一个周长为400米的运动场，若直道长要求设计为100米，则弯道半径应该设计为多少米? (结果保留一位小数) 27．为了不让小牛乱吃草，主人用一根20米长的绳子，一头拴住小牛，另一头拴在一课树上。那么小牛的最大活动范围是多少？（绳扣部分长度不计） 28．火锅桌。火锅桌起源于我国古代，从陶鼎到青铜器，演变至今，形式多样。如下图所示，一个圆形火锅桌，它的桌面直径是2米，中间放置火锅的部分直径是60厘米，采用大理石制作。其他部分是由实木板做成的桌面，制作这样一张桌面，至少需要多少平方米的实木板? 参考答案 1．半径；大小；圆心 2．3；9 3．1；2 4．15.42；14.13 5．35 6．18.84；28.26 7．18.84；28.26 8．376.8；113.04 9．62.8；157 10．50.24；21.98 11．D 12．D 13．C 14．B 15．B 16．正确 17．错误 18．正确 19．错误 20．错误 21．解：6÷2=3（厘米） 作图如下： 半圆的周长：3.14×6÷2+6 =9.42+6 =15.42（厘米） 半圆的面积：3.14×32÷2 =28.26÷2 =14.13（平方厘米） 22．（1）解：24÷2=12(m) 24×12-3.14×122÷2 =288-226.08 =61.92（m2） （2）解：（3+6）×3÷2-3.14×32× =9×3÷2-3.14×9× =13.5-7.065 =6.435（cm2） 23．解：60厘米=0.6米 3.14×0.6×230≈433(米) 答：三渡水大桥全长约433米。 24．解：12.56÷3.14=4(米)， 3.14×42÷2 =3.14×8 =25.12（平方米）； 答：花园的面积是25.12平方米。 25．解：小院周长：55-4.76=50.24(m) 小院面积：50.24÷3.14÷2=8（米） 3.14×82 =3.14×64 =200.96（平方米） 答：这个圆形小院的面积是200.96m2。 26．解：(400-100×2)÷3.14÷2 =200÷3.14÷2 =100÷3.14 ≈31.8(米) 答：弯道半径应该设计为31.8米。 27．解：20×20×3.14 =400×3.14 =1256（平方米） 答：小牛的最大活动范围是1256平方米。 28．解：60厘米=0.6米 3.14×[（2÷2）2-（0.6÷2）2] =3.14×（1-0.09） =3.14×0.91 =2.8574（平方米） 答：至少需要2.8574平方米的实木板。 学科网（北京）股份有限公司 $$