浙江省杭州市临平区、萧山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市临平区、萧山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的. 1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+5的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 2．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 3．（3分）已知2a＝3b，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BAC＝55°，则∠CBD的度数为（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点． ，AB＝9，则ED的长为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE，则图中阴影部分面积为（　　） A．π+4 B．π+3 C．π+2 D．π+1 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．6 B． C． D． 9．（3分）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　） A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270° 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）计算tan45°＝　 　． 12．（3分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 　 　个． 13．（3分）教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为 　 　厘米（用含m的代数式表示）． 14．（3分）如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F．若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为 　 　． 15．（3分）已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 　 　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E为AB边上两点（点D在点E的右侧），满足∠DCE＝45°，则AB边上的高为 　 　；设AD＝x，BE＝y．用含x的代数式表示y＝　 　． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． （1）用含x的代数式表示S； （2）当x＝10时，求向日葵基地的面积． 18．（6分）学校地下停车场有三个出口A，B，C，甲乙两位老师可以任意选择一个出口开车驶离学校，试用树状图或列表求他们从不同的出口离开的概率． 19．（8分）如图，四边形ABCD是半圆⊙O的内接四边形，AB是直径，AD＝4． （1）设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD； （2）若，求⊙O的半径． 20．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，长为13米，坡度为1：2.4，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A，C，E在同一直线上．（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2.3） （1）求斜坡的高DE； （2）求大楼AB的高度（结果精确到1米）． 21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2．（a为常数，且a≠0） （1）若函数图象过点（1，0），求a的值； （2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝18，求a的值． 22．（10分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C． （1）求证：FC•BE＝DE2； （2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长． 23．（12分）综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得： x的值 x1 x2 x3 x4 x5 x6 y＝x2+x﹣1的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 ﹣0.25 操作判断：（1）求x1的值； 实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？ 问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0） x的值 x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d y＝ax2+bx+c的值 y1 y2 y3 y4 y5 y6 将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论． 24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°． （1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由； （2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ． ①求证△ACP∽△AQC； ②求的最小值； （3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：． 2023-2024学年浙江省杭州市临平区、萧山区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的. 1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+5的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案． 【解答】解：由二次函数关系式y＝（x﹣1）2+5， ∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标是（1，5）， ∴当x＝1时，函数值y有最小值5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式．掌握顶点坐标是解题的关键． 2．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【分析】根据可能性大小的定义解答即可． 【解答】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， ∴摸出的小球标号都小于5是必然事件，故①正确； ∵每个标号只有一个小球， ∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误． 故选：A． 【点评】本题考查的是可能性的大小及随机事件，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键． 3．（3分）已知2a＝3b，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用内项之积等于外项之积可对各选项进行判断． 【解答】解：∵2a＝3b， ∴＝． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4， ∴BC＝＝＝2， ∴cosB＝＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，结合已知条件求得BC的长度是解题的关键． 5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BAC＝55°，则∠CBD的度数为（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【分析】先根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝55°，然后利用互余计算出∠CBD的度数． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BDC＝∠BAC＝55°， ∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理． 6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点． ，AB＝9，则ED的长为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【分析】先利用两边成比例夹角相等的两三角形相似可判断△CAB∽△CDE，然后利用相似比可求出AB的长． 【解答】解：∵＝，∠ACB＝∠DCE， ∴△CAB∽△CDE， ∴＝＝， ∴DE＝AB＝×9＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE，则图中阴影部分面积为（　　） A．π+4 B．π+3 C．π+2 D．π+1 【分析】图中阴影部分的面积＝扇形ABE的面积+矩形ABCD的面积﹣△DEC的面积．然后按各图形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD＝4，AB＝2， ∴依题意得S阴影＝S扇形ABE+S矩形ABCD﹣S△DCE ＝+2×4﹣×（2+4）×2 ＝π+2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．6 B． C． D． 【分析】证明△DEF和△BCD相似，利用相似三角形的性质可求出DF的长，最后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠EDF＝∠CBD． 又∵EF⊥BD， ∴∠EFD＝∠C＝90°． ∴△DEF∽△BDC， ∴． 又∵BC＝3AB， ∴． ∵EF＝2， ∴， 则DF＝6． 在Rt△DEF中， DE＝． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（3分）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，，即可求出s＝4+，最后得出s的范围就可判断得解． 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4． 又抛物线过点（0，1.8）， ∴16a+3.4＝1.8． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． 令y＝0， ∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． ∴x＝4±． 显然s＞0， ∴s＝4+． ∵5＜＜6， ∴9＜s＝4+＜10． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　） A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270° 【分析】由∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，得∠DAE＝∠DCB，所以∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，则∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，因为DA＝DF，所以∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，可证明△DAF∽△DBC，得∠ADB＝∠BDC，再由∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，推导出∠ACB＝∠BAC，所以∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣α），则∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝45°+α，因为∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝135°﹣α，所以β＝135°﹣α，则α+4β＝540°，可判断A正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°， ∴∠DAE＝∠DCB， ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB， ∵DA＝DF， ∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB， ∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB， ∴△DAF∽△DBC， ∴∠ADB＝∠BDC， ∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵∠ABC＝α，∠DFC＝β， ∴∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝（180°﹣α）， ∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝90°﹣×（180°﹣α）＝45°+α， ∵∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α， ∴β＝135°﹣α， ∴α+4β＝540°， 故A正确， 故选：A． 【点评】此题重点考查圆周角定理、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠DBC＝∠DCB及∠ACB＝∠BAC是解题的关键． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分. 11．（3分）计算tan45°＝　1　． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：tan45°＝1． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值： sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝； sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1； sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝． 12．（3分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 　12　个． 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.4，然后根据概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意，得到摸到黄球的概率为0.4， 所以布袋中黄球可能有30×0.4＝12（个）． 故答案为：12． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．（3分）教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为 　m　厘米（用含m的代数式表示）． 【分析】设教科书的宽为x厘米，利用黄金分割的定义得到＝，然后求出x即可． 【解答】解：设教科书的宽为x厘米， 根据题意得＝， 解得x＝m， 即教科书的宽为m厘米． 故答案为：m 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 14．（3分）如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F．若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为 　9+3　． 【分析】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠ABD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BCF＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝60°，得到∠F＝∠A＝30°，根据等腰三角形的判定定理得到AB＝BF＝6，根据直角三角形的性质得到BC＝＝AB＝3，于是得到结论． 【解答】解：∵BD是△ABC的外角∠ABE的平分线， ∴∠EBD＝∠ABD， ∵△ABC外接圆的圆心O为AB的中点， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝120°， ∴∠ABD＝∠DBE＝60°， ∴∠CBF＝∠DBE＝60°， ∴∠F＝∠A＝30°， ∴AB＝BF＝6， ∴BC＝＝AB＝3， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+3+3＝9+3， 故答案为：9+3． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15．（3分）已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为 　2023　． 【分析】根据二次函数图象的对称性得出x＝x1+x2＝﹣，然后将其代入函数关系式求得y＝2023． 【解答】解：∵A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点， ∴A、B关于对称轴x＝﹣对称， 则﹣＝， ∴x1+x2＝﹣， ∵x＝x1+x2＝﹣， ∴y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+2023＝2023． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E为AB边上两点（点D在点E的右侧），满足∠DCE＝45°，则AB边上的高为 　　；设AD＝x，BE＝y．用含x的代数式表示y＝　　． 【分析】利用面积法可求出AB边上的高，旋转△ACD，利用“角含半角”模型构造出全等三角形，再借助于勾股定理即可解决问题． 【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝． 又∵， ∴． 即AB边上的高为． 将△ACD绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为点F，点D的对应点为H，延长HF交AB于点G，连接EH， 由旋转可知， △CHF≌△CDA， ∴∠HCF＝∠DCA，HF＝AD＝x，CF＝AC＝3，∠HFC＝∠A，CH＝CD． 又∵∠HFC＝∠BFG，∠A+∠B＝90°， ∴∠B+∠BFG＝90°， 则FG⊥BE． 又∵BF＝4﹣3＝1． ∴sinB＝， 则FG＝． 同理可得，BG＝． ∴HG＝x+，EG＝y﹣． ∵∠DCE＝45°， ∴∠ACD+∠BCE＝45°， ∴∠HCE＝∠HCF+∠BCE＝45°， ∴∠HCE＝∠DCE． 在△HCE和△DCE中， ， ∴△HCE≌△DCE（SAS）， ∴HE＝DE＝5﹣x﹣y． 在Rt△HGE中， （x+）2+（y﹣）2＝（5﹣x﹣y）2， 整理得， y＝． 故答案为：，． 【点评】本题考查解直角三角形及勾股定理，熟知“角含半角”模型是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． （1）用含x的代数式表示S； （2）当x＝10时，求向日葵基地的面积． 【分析】（1）先求出长方形的向日葵基地的宽即可解决问题； （2）将x＝10代入即可． 【解答】解：（1）长方形的向日葵基地的宽为40÷2﹣x＝（20﹣x）（米）， 则S＝x（20﹣x）＝（20x﹣x2）（平方米）； （2）当x＝10时，S＝20×10﹣102＝100（平方米）， 答：当x＝10时，求向日葵基地的面积为100平方米． 【点评】本题主要考查了列代数式及求值，解决本题的关键是根据已知条件列出正确的代数式． 18．（6分）学校地下停车场有三个出口A，B，C，甲乙两位老师可以任意选择一个出口开车驶离学校，试用树状图或列表求他们从不同的出口离开的概率． 【分析】用树状图表示甲乙两位老师可以任意选择A、B、C中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中两位教师从不同的出口离开的有6种， 所以从不同的出口离开的概率为＝． 【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出甲乙两位老师可以任意选择A、B、C中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 19．（8分）如图，四边形ABCD是半圆⊙O的内接四边形，AB是直径，AD＝4． （1）设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD； （2）若，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据勾股定理求解即可； （2）连接BD、OC交于点E，根据垂径定理求出OC⊥BD，DE＝BE，根据三角形中位线的判定与性质求出OE＝4，设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2，则BE＝，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）如图，连接BD， ∵AB是半圆⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝， ∵AD＝4，AB＝2r， ∴BD＝＝2； （2）如图，连接BD、OC交于点E， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，DE＝BE， ∵OA＝OB， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE＝AD＝4， 设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2， ∴BE＝， 在Rt△CBE中，BC2＝CE2+BE2，BC＝， ∴＝（r﹣2）2+， ∴r＝5或r＝﹣3（舍去）， ∴⊙O的半径为5． 【点评】此题考查了垂径定理，根据垂径定理求出OC⊥BD，DE＝BE是解题的关键． 20．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，长为13米，坡度为1：2.4，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A，C，E在同一直线上．（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2.3） （1）求斜坡的高DE； （2）求大楼AB的高度（结果精确到1米）． 【分析】（1）根据题意可得：CD＝13米，DE⊥AE，再根据已知可设DE＝5x米，则CE＝12x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AB⊥AE，DE＝AF＝5米，DF＝AE，然后设AC＝x米，则DF＝AE＝（x+12）米，在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后根据BF+AF＝AB，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝13米，DE⊥AE， ∵斜坡CD的坡度为1：2.4， ∴＝＝， ∴设DE＝5x米，则CE＝12x米， 在Rt△CDE中，CD＝＝＝13x（米）， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴DE＝5米，CE＝12米， ∴斜坡的高DE为5米； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：AB⊥AE，DE＝AF＝5米，DF＝AE， 设AC＝x米， ∵CE＝12米， ∴DF＝AE＝AC+CE＝（x+12）米， 在Rt△DBF中，∠BDF＝45°， ∴BF＝DF•tan45°＝（x+12）米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝64°， ∴AB＝AC•tan64°≈2.3x（米）， ∵BF+AF＝AB， ∴x+12+5＝2.3x， 解得：x＝， ∴AB＝2.3x≈30（米）， ∴大楼AB的高度约为30米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2．（a为常数，且a≠0） （1）若函数图象过点（1，0），求a的值； （2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝18，求a的值． 【分析】（1）把点（1，0）代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为（2，2﹣4a），即可求得x＝2时，y＝2﹣4a，进而求得当x＝5时，y＝5a+2，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（1，0）， ∴a﹣4a+2＝0， ∴a＝； （2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a， ∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a）， ∴x＝2时，y＝2﹣4a， 当x＝5时，y＝25a﹣20a+2＝5a+2， 当a＞0时，当2≤x≤5时，M＝5a+2，N＝2﹣4a， ∵M﹣N＝18， ∴5a+2﹣（2﹣4a）＝18， ∴a＝2； 当a＜0时，当2≤x≤5时，N＝5a+2，M＝2﹣4a， ∵M﹣N＝18， ∴2﹣4a﹣（5a+2）＝18， ∴a＝﹣2； ∴a的值为2或﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 22．（10分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C． （1）求证：FC•BE＝DE2； （2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长． 【分析】（1）先利用菱形的性质得到DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE，再根据平行线的性质得到∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，则可判断△BDE∽△DCF，然后利用相似比和等量代换得到结论； （2）先利用菱形的性质得到AE＝DE，DE∥AF，则可判断△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质得到＝，即＝，然后利用比例性质可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形AEDF为菱形， ∴DE＝DF，DE∥AF，DF∥AE， ∴∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF， ∴△BDE∽△DCF， ∴＝， ∴FC•BE＝DE•DF， 而DE＝DF， ∴FC•BE＝DE2， （2）解：∵四边形AEDF为菱形， ∴AE＝DE，DE∥AF， ∴△BDE∽△BCA， ∴＝，即＝， 解得AE＝， 即AE的长为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了菱形的性质． 23．（12分）综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得： x的值 x1 x2 x3 x4 x5 x6 y＝x2+x﹣1的值 1 0.71 0.44 0.19 0.04 ﹣0.25 操作判断：（1）求x1的值； 实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？ 问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0） x的值 x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d y＝ax2+bx+c的值 y1 y2 y3 y4 y5 y6 将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论． 【分析】（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，求得相应的x的值，根据函数值的变化选取合适的x的值； （2）作差后的前三个数据分别是前一个数据的基础上增加0.02，第四个不是，所以猜测第五个函数值错了，设出第五个函数值为m，根据第五个函数值减去第四个函数值的值为﹣0.25+0.02列式计算即可； （3）可设函数值的差为w，若自变量为x，那么和它相邻的自变量为x+d，分别求得它们的函数值，相减即可得到w． 【解答】解：（1）把y＝1代入y＝x2+x﹣1，得： x2+x﹣1＝1， 解得x1＝﹣2，x2＝1． ∵二次函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝， ∴当x＜时，y随着x的增大而减小．观察图表可得y随x的增大而减小． ∴． ∴x1＝﹣2． （2）作差后的前三个数据﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25分别是前一个数的基础上增加0.02，第四个不是． ∴猜测第五个函数值错了． 设第5个函数值为m． ∴m﹣0.19＝﹣0.25+0.02． 解得：m＝﹣0.04． 答：第五个函数值错了，应该是﹣0.04． （3）设函数值的差为w， 猜测：函数值的差与自变量满足一次函数关系， 若自变量为x，则函数值为：yn＝ax2+bx+c； 和x相邻的自变量为x+d，则函数值为：yn+1＝a（x+d）2+b（x+d）+c． ∴w＝[a（x+d）2+b（x+d）+c]﹣（ax2+bx+c） ＝2adx+（ad2+bd）． ∵a，b，c，d为常数，且a≠0，d≠0， ∴函数值的差与自变量满足一次函数关系．w＝2adx+（ad2+bd）（a≠0，d≠0，a、b、c、d为常数）． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据所给数值判断出函数值的变化规律是解决本题的关键． 24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°． （1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由； （2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ． ①求证△ACP∽△AQC； ②求的最小值； （3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：． 【分析】（1）根据∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，∠PBC+∠PCB＝45°，等量代换即可得到∠ACP＝∠PBC； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到∠Q＝∠APC，即可证明； ②连接OB、CO，由△ACP∽△AQC，得到＝，当CQ经过圆心O时，的值最小，过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，则AO是BC的垂直平分线，再由CO＝AC，得到CQ＝2AC，即可求的最小值为； （3）由题意可知P点AM上，则∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，过点P作PH⊥AC交于H点，设PM＝x，则PH＝x，分别求出AP＝x，AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2，再由＝，即可证明． 【解答】（1）解：∵∠BPC＝135°， ∴∠PBC+∠PCB＝45°， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°， ∴∠ACP＝∠PBC； （2）①证明：∵＝， ∴∠Q＝∠PBC， ∵∠ACP＝∠PBC， ∴∠Q＝∠APC， ∴△ACP∽△AQC； ②连接OB、CO， ∵∠BPC＝135°， ∴∠BOC＝90°， ∵△ACP∽△AQC， ∴＝， ∴＝， 当CQ经过圆心O时，的值最小， 过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线， ∴AO是BC的垂直平分线， ∵AM＝BM＝OM， ∴CO＝AC， ∴CQ＝2AC， ∴的最小值为； （3）证明：∵BP＝PC， ∴P点AM上， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ACP， 过点P作PH⊥AC交于H点， ∴PH＝PM， 设PM＝x，则PH＝x， ∵∠PAH＝45°， ∴AP＝x， ∴AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2， ∵＝， ∴（）2＝＝， ∴CQ2＝（2+）AC2． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/25 18:08:53；用户：潘老师；邮箱：pls181818@xyh.com；学号：23152957 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$