第2讲：常用逻辑用语【5个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第2讲：常用逻辑用语】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．充分条件的判断 【知识点的认识】 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 2．必要条件的判断 【知识点的认识】 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 3．充分不必要条件的判断 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 4．必要不充分条件的判断 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 5．充分不必要条件的应用 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 6．全称量词命题的真假判断 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假． 7．存在量词和存在量词命题 【知识点的认识】 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃ 特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”． 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论． 常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立 【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中． 8．存在量词命题的真假判断 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假． 9．求全称量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 【解题方法点拨】 写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题． 10．求存在量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 【解题方法点拨】 写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：充分条件必要条件的判断】 例题精选 【例题1】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 【例题2】（2023·天津和平·二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由，推不出，排除AB； 由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C； ，反之不成立，D正确； 故选：D． 【例题3】已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简题目中的不等式，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可 【详解】由结合函数是上的增函数，可得， 由结合函数是上的减函数，可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 相似练习 【相似题1】（2023·安徽蚌埠·一模）若且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，满足，此时，排除充分性， 若，满足，此时，排除必要性， 故选：D 【相似题2】（2022·江西新余·三模）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答. 【详解】依题意，取，满足，而， 当时，，当且仅当时取“=”，则， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【相似题3】多选题（2021·广东深圳·二模）下列叙述中正确的是（    ） A．若则“"的充要条件是“” B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．若则“对恒成立"的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【分析】对于A，当时必要性不成立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断B，根据不等式恒成立条件转化即可判断C，当“”得“或”，从而判断D． 【详解】对于A， 因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故A错； 对于B，方程有一个正根和一个负根，则 ，整理得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，当时，“对恒成立"的充要条件是“”，故C错； 对于D，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充 分不必要条件，D正确． 故选：BD 【题型2：充分条件必要条件求参数范围】 例题精选 【例题1】若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 【例题2】已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 【例题3】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果. 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 相似练习 【相似题1】已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，即可得出答案. 【详解】由题设命题为真，即在上恒成立， 所以， 则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集， 故选：A． 【相似题2】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 【相似题3】解答题设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型3：全称量词存在量词的否定】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论， 可得命题，的否定是： ，. 故选：B 【例题2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案. 【详解】命题“任意实数，都有”的否定是: . 故选：B. 【相似题2】（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 【题型4：全称量词存在量词的真假判断】 例题精选 【例题1】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】需要分别判断命题和命题的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出和的真假． 【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题； 对于q，，则，故q是假命题，是真命题. 综上，和都是真命题. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 【相似题2】（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 【答案】D 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【详解】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题的否定为真命题； 对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题； 综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题， 故选：D 【题型5：全称量词存在量词求参数范围】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 【例题2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【例题3】（21-22高三上·吉林白城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“对任意一个无理数x， 也是无理数”是真命题 B．“ ”是“ ”的充要条件 C．命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” D．若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数m的取值范围是 【答案】D 【分析】对A选项举反例，对B选项举反例，，对C选项，根据存在性命题的否定知其错误，对D选项，根据题意列得不等式组，解得. 【详解】是无理数，是有理数，A错误； ，时，，但，不是充要条件，B错误； 命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” ，C错误； “”的必要不充分条件是“ ”，则 ， 两个等号不同时取得，解得．D正确． 故选：D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 【相似题2】（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【相似题3】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 课后针对训练 一、单选题 1．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2022·福建三明·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2022·福建·模拟预测）已知，若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·福建漳州·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·陕西西安·三模）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 10．（2023·浙江金华·模拟预测）条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2022·浙江宁波·二模）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2024·福建·模拟预测）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 三、填空题 16．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A A B D A B 题号 11 12 13 14 15 答案 A D C C ACD 1．A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 2．C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4．A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 5．A 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6．A 【分析】前者推后者可以用指数函数的单调性，后者推不出前者举反例 【详解】若，则为增函数 所以，即 即 当时， 所以 故选：A 7．B 【分析】考虑两者之间的推出关系，结合充分条件和必要条件的定义可得正确的选项. 【详解】若，则或，故“”推不出“”， 反之，若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 8．D 【分析】根据命题的否定形式，即可求解. 【详解】因为命题的否定为“改量词，否结论”， 所以命题“”的否定是“”. 故选：D 9．A 【分析】参变分离后，令新函数，转化为求函数的最小值，利用二次函数性质求解. 【详解】由题意，，， 令，则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 所以实数可取的最小整数值是. 故选：A 10．B 【分析】 举反例即可说明充分性，根据不等式的性质，即可判断必要性，进而可求解. 【详解】当且时，，所以是的不充分条件， 而时，则，所以，故是的必要条件， 因此是的必要不充分条件， 故选：B 11．A 【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项. 【详解】因为，则，所以，即由可推出， 取，可得，而，即由不可推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错, 故选：A. 12．D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 13．C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 14．C 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 15．ACD 【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确. 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 16．, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第2讲：常用逻辑用语】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．充分条件的判断 【知识点的认识】 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 2．必要条件的判断 【知识点的认识】 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 3．充分不必要条件的判断 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 4．必要不充分条件的判断 【知识点的认识】 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 5．充分不必要条件的应用 【知识点的认识】 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 6．全称量词命题的真假判断 【知识点的认识】 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀ 应熟练掌握全称命题的判定方法 全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假． 7．存在量词和存在量词命题 【知识点的认识】 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃ 特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”． 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 全称命题∀x∈M，p（x） 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①所有的x∈M，使p（x）成立 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②对一切x∈M，使p（x）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③对每一个x∈M，使p（x）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④对任给一个x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤若x∈M，则p（x）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论． 常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 或 一个也没有 至多有n﹣1个 至少有两个 存在一个x不成立 【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中． 8．存在量词命题的真假判断 【知识点的认识】 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示． 特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”． “存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词． 命题 特称命题∃x0∈M，p（x0） 表述方法 ①存在x0∈M，使p（x0）成立 ②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立 ③某些x∈M，使p（x）成立 ④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立 ⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立 ﹣ 【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假． 9．求全称量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）． 【解题方法点拨】 写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题． 10．求存在量词命题的否定 【知识点的认识】 一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）． 【解题方法点拨】 写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：充分条件必要条件的判断】 例题精选 【例题1】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（2023·天津和平·二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】（2023·安徽蚌埠·一模）若且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【相似题2】（2022·江西新余·三模）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【相似题3】多选题（2021·广东深圳·二模）下列叙述中正确的是（    ） A．若则“"的充要条件是“” B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C．若则“对恒成立"的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 【题型2：充分条件必要条件求参数范围】 例题精选 【例题1】若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【例题3】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【相似题3】解答题设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【题型3：全称量词存在量词的否定】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例题2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4：全称量词存在量词的真假判断】 例题精选 【例题1】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【例题2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【相似题2】（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 【题型5：全称量词存在量词求参数范围】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（21-22高三上·吉林白城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“对任意一个无理数x， 也是无理数”是真命题 B．“ ”是“ ”的充要条件 C．命题“ ，使得 ”的否定是“ ， ” D．若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数m的取值范围是 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【相似题2】（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2022·福建三明·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2022·福建·模拟预测）已知，若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·福建漳州·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·陕西西安·三模）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 10．（2023·浙江金华·模拟预测）条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2022·浙江宁波·二模）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2024·福建·模拟预测）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 三、填空题 16．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$