第一讲：集合【6个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第一讲：集合】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．描述法表示集合 【知识点的认识】 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法． 【解题方法点拨】 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述． 2．元素与集合关系的判断 【知识点的认识】 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 3．判断元素与集合的属于关系 【知识点的认识】 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【解题方法点拨】 明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合． 4．判断两个集合的包含关系 【知识点的认识】 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 5．集合的包含关系的应用 【知识点的认识】 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 6．求集合的交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 7．集合的交并补混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 1:40:02；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：元素与集合之间的关系】 例题精选 【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【例题2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【相似题3】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2：集合间的基本关系】 例题精选 【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【例题3】已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【相似题2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【题型3：集合的运算】 例题精选 【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【题型4：集合中的参数问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合.若且，则 . 【题型5：韦恩图的应用】 例题精选 【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型6：集合中的新定义问题】 例题精选 【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 . 【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合． (1)分别判断集合与是否为完美集合； (2)当时，若，求完美集合； (3)若集合为完美集合，记，求证：． 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江温州·期中）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·山东青岛·三模）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知是全集，集合，满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·福建龙岩·二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 11．（2023·福建·模拟预测）已知集合，，全集，则以下集合（    ）是空集 A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 14．（2025·福建泉州·一模）（    ） A． B． C． D． 15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 17．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 三、填空题 18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三一轮复习常考题型归纳 【第一讲：集合】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．描述法表示集合 【知识点的认识】 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法． 【解题方法点拨】 明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述． 2．元素与集合关系的判断 【知识点的认识】 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 3．判断元素与集合的属于关系 【知识点的认识】 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【解题方法点拨】 明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合． 4．判断两个集合的包含关系 【知识点的认识】 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 5．集合的包含关系的应用 【知识点的认识】 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 6．求集合的交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 7．集合的交并补混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：元素与集合之间的关系】 例题精选 【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【例题2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 相似练习 【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 【相似题3】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案. 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 【题型2：集合间的基本关系】 例题精选 【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 【例题3】已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【详解】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 相似练习 【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【详解】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 【相似题2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 【题型3：集合的运算】 例题精选 【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解. 【详解】解方程得或， 所以集合，集合， 因此. 故选：C. 【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案. 【详解】∵， 由并集的含义得. 故选：B. 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可. 【详解】由题可得或，则或． 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集. 【详解】集合，, 所以， 故选：C 【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 【题型4：集合中的参数问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 【例题2】（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，解得：. 故选：C 【例题3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考虑和两种情况，得到，解得答案. 【详解】当时，即，时成立； 当时，满足，解得； 综上所述：. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误. 【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合.若且，则 . 【答案】6 【分析】根据集合间的关系可知，可得，再由求得，即可得解. 【详解】因为集合， 若，则且，可得，解得， 即有，又，所以，所以. 故答案为：6 【题型5：韦恩图的应用】 例题精选 【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可. 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 【例题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出韦恩图，结合韦恩图与集合运算逐项判断即可. 【详解】如下图所示： 由韦恩图可知，，，，， 故选：C. 【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦恩图法即可判断. 【详解】如图，对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于D：，所以D错误， 对于C：由图观察显然，故C正确． 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 【相似题2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项 【详解】如图， 因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 【题型6：集合中的新定义问题】 例题精选 【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 . 【答案】 【分析】设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和. 【详解】设为的奇子集，则若，令， 若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合， 则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集， 显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应， 每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应， 故的奇子集与偶子集个数相等； 对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知， 在时，这个子集中有一半为奇子集， 在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集， 于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是， 奇子集容量之和是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合． (1)分别判断集合与是否为完美集合； (2)当时，若，求完美集合； (3)若集合为完美集合，记，求证：． 【答案】(1)集合为完美集合，不是完美集合； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可； （2）根据完美集的定义及依次确定，即可得答案； （3）根据完美集定义先确定，结合得到，又，把各项累加即可证结论. 【详解】（1）集合，当时，， 又，， 所以集合为完美集合． 集合，因为， 所以不是完美集合． （2）因为，所以，所以， 因为，所以，故，即， 所以． （3）因为，故， 所以，则． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 又因为， 全部相加得，即， 所以，又，所以． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定，并得到，为关键. 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江温州·期中）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·山东青岛·三模）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知是全集，集合，满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·福建龙岩·二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 11．（2023·福建·模拟预测）已知集合，，全集，则以下集合（    ）是空集 A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 14．（2025·福建泉州·一模）（    ） A． B． C． D． 15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合中有两个元素 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 17．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 三、填空题 18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D C D D C C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 D A C A D BD AC 1．A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 2．A 【分析】由可得方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可计算出结果. 【详解】因为，， 所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根， 则，解得， 当时，方程的根是1和， 所以，满足， 即. 故选：A. 3．A 【分析】根据韦恩图，先求，再由集合去掉中的元素即可. 【详解】∵全集是实数集，集合， ∴， ∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即. 故选：A. 4．D 【分析】先计算出集合，逐一验证即可. 【详解】由， 所以，故A错误，，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D. 5．C 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】 因为集合， 则． 故选：C． 6．D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 7．D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 8．C 【分析】根据已知条件，求得，再进行选择即可. 【详解】因为集合A，B满足，故可得， 对A：当为的真子集时，不成立； 对B：当为的真子集时，也不成立； 对C：，恒成立； 对D：当为的真子集时，不成立； 故选：C. 9．C 【分析】根据集合包含的关系，结合子集的定义即可求解. 【详解】由可得,进而，故C正确，ABD错误， 故选：C 10．D 【分析】利用集合的描述法计算两个集合A、B，根据韦恩图计算即可. 【详解】由题意可知，即， 又，故阴影部分为. 故选：D 11．D 【分析】求出A和B，再根据集合的交并补计算即可判断. 【详解】由得，由得， 故，，，， 仅D选项符合题意． 故选：D 12．A 【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 13．C 【分析】化简可得，，，由求出，，即可求． 【详解】，， 若， 则，， 故． 故选：C. 14．A 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】满足的正整数只有，所以. 故选：A 15．D 【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】解：，， ，，，， 故选：． 16．BD 【分析】A选项，分别求出两个集合的范围即可判断；B选项，该集合中是5的正因数，求出集合即可判断；C选项，由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项，弄清集合内元素的特征即可做出判断. 【详解】对于A，，，则，所以A选项错误； 对于B，因为集合，所以它的元素有两个，所以B选项正确； 对于C，因为集合，且，所以或． 当时，解得：或．而，不符合元素的互异性， 故或，所以C选项错误． 对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，故D选项正确． 故选：BD. 17．AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 18． 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$