精品解析：湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2024－2025学年湖南师大附中梅溪湖中学九年级（上） 第三次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．根据无理数的概念进行判定即可． 【详解】解：2、0、是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 贵州地处中国西南内陆地区腹地，其矿产资源十分丰富，是矿产资源大省．2024年5月，我省原煤产量达到12460000吨，12460000可以用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：可以用科学记数法记为， 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式，得， 表示在数轴上如图： 故选：A． 4. “我的梦，中国梦”这句话六个字中，“梦”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式即可求解. 【详解】∵“梦”在这六个字中出现了两次， 故概率为 故选B. 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式的运用. 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，即可获得答案．本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，根据同底数幂的除法法则可判断A，根据同底数幂的乘法法则可判断D，根据合并同类项法则可判断B和C． 【详解】解∶A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选：A． 7. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的两根是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知， ∴，A选项正确，不符合题意； 根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和， ∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意． 故选：C． 10. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵抛物线关于y轴对称， ∴的外心在y轴上， 设的外心P的坐标为，连接，则有， 对于二次函数，当时，， 当时， ∴ ∴， 则，， 在中，，即 解得：， ∴的外心P的坐标为， 故选：A． 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 12. 已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积底面圆周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积：． 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 14. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用是解题的关键． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，如果，，，那么的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算立方根，算术平方根和零指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 19. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练利用待定系数法求出函数表达式，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集是解题的关键 （1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数表达式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数表达式； （2）根据两函数图象的上下位置关系，即可找出当的自变量x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点B的坐标为． ∵一次函数的图象经过点A、B，将这两个点的坐标代入， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：观察函数图象可知：当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 综上所述，的自变量x的取值范围为或． 20. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400； ②补全条形统计图如下： ③54° （2）980人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，可补全统计图； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； 【小问3详解】 解：树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 22. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 【答案】任务1：旗杆的高度为；任务二：旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 任务：根据两角相等的两个三角形相似可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； 任务：过点作，垂足为，交于点，证明，则，然后代入求出，最后用线段和差即可求解； 【详解】解：任务：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段的长度，才能求出旗杆的高度， 把该线段的长度记为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴旗杆的高度为； 任务：过点作，垂足为，交于点， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴旗杆的高度为． 23. 如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， 是半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， 在中，， ， , ， 即， 解得：， ． 24. 定义：矩形的顶点在第一象限，，在坐标轴上，若函数与边，分别交于，两点，当时，则称该函数为关于点的函数，为点． （1）如图1，若一次函数是点的函数，求的值； （2）如图，求证：反比例函数是任意一点（）的函数； （3）如图，对于二次函数是关于的函数，其交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，其中，若以为圆心，长为半径的圆交直线于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：由题意得，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 反比例函数是任意一点的函数； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据点坐标确定矩形顶点坐标，进而得到直线的解析式，再结合函数的平行条件求出的值． （2）通过设、的坐标，计算出与的值，发现其相等，再结合公共角证明，从而得出，证明该反比例函数是函数． （3）先根据二次函数是函数得出，进而得到，通过设点坐标求出直线的解析式以及点坐标，再结合二次函数解析式求出、坐标，进而求出直线的解析式，最后根据圆的性质求出的面积． 【小问1详解】 解：∵ ，四边形是矩形， ∴ ，， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， ∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵ 二次函数是关于的函数， ∴ ，，， ∴ ， ∴， ∴， 设，则， ∴ ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， ∵，， ∴ ， ∴ ， 当时，， ∴ ， ∴ ， 当时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，（此时M与P重合，舍去）， ∴ ，，， 设直线的解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点， 由得， ， ∴ 或（舍去）， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数的解析式，反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识．熟练掌握反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 已知的直径，互相垂直，为弧上一点，连接，分别交，于，两点，连接． （1）连接，求证：； （2）如图，若为中点，求与； （3）如图，若，，的面积分别为，，试求关于的函数解析式． 【答案】（1） 证明：∵的直径，互相垂直 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出角的度数关系，再利用同弧所对圆周角相等，进而证明三角形相似． （2）本题可先通过已知条件得出三角函数值，再设未知数表示线段长度，最后利用相似三角形的性质求出线段比例． （3）本题可先根据已知条件得出三角函数值，再设未知数表示线段长度，最后利用相似三角形的性质和三角形面积公式求出函数解析式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于 ∵为中点 ∴ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴， ∴ 故， 【小问3详解】 解：过作于 ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴， ∴· ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年湖南师大附中梅溪湖中学九年级（上） 第三次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 贵州地处中国西南内陆地区腹地，其矿产资源十分丰富，是矿产资源大省．2024年5月，我省原煤产量达到12460000吨，12460000可以用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. “我的梦，中国梦”这句话六个字中，“梦”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的两根是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 10. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 12. 已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为________． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 14. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 15. 如图，如果，，，那么的度数是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 三．解答题（共9小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出时自变量x的取值范围． 20. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 22. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 23. 如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 定义：矩形的顶点在第一象限，，在坐标轴上，若函数与边，分别交于，两点，当时，则称该函数为关于点的函数，为点． （1）如图1，若一次函数是点的函数，求的值； （2）如图，求证：反比例函数是任意一点（）的函数； （3）如图，对于二次函数是关于的函数，其交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，其中，若以为圆心，长为半径的圆交直线于点，求的面积． 25. 已知的直径，互相垂直，为弧上一点，连接，分别交，于，两点，连接． （1）连接，求证：； （2）如图，若为中点，求与； （3）如图，若，，的面积分别为，，试求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $