17.2 用公式法分解因式（新课预习.培优卷）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

新课预习.培优卷 17.2 用公式法分解因式 一．选择题（共7小题） 1．（2025•凤庆县模拟）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（　　） A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac 2．（2025春•萧山区期中）若x2﹣ax﹣4＝（x﹣4）（x+1），则a为（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 3．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么常数k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±6 4．（2025•广南县二模）分解因式：n3﹣n＝（　　） A．n3﹣n B．n（n2+1） C．n（n+1）（n﹣1） D．n2（n﹣1） 5．（2025春•吴江区期中）若x2+mx+9是关于x的完全平方式，则常数m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 6．（2025春•包河区期中）在多项式1﹣4x2中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（　　） A．﹣4x B．4x C．4x4 D．﹣4x4 7．（2024秋•广阳区期末）若4x2﹣12xy+my2是完全平方式；4x2﹣nxy+9y2是完全平方式，则m和n的值分别是（　　） A．m＝9，n＝12 B．m＝9，n＝﹣12 C．m＝﹣9，n＝±12 D．m＝9，n＝±12 二．填空题（共5小题） 8．（2025•海淀区校级模拟）因式分解m3﹣4m2n+4mn2结果是　 　 ． 9．（2025•姑苏区校级一模）因式分解4x2﹣4＝　 　 ． 10．（2025•莱芜区二模）分解因式：9a2﹣4＝　 　 ． 11．（2025•北流市校级二模）分解因式：2x2﹣2＝ 　 　 ． 12．（2025•蜀山区校级一模）因式分解：2m3﹣8m＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•小店区校级月考）因式分解： （1）3m3﹣6m2+3m； （2）49（x+y）2﹣9（x﹣y）2． 14．（2024秋•竹溪县期末）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 15．（2025春•郫都区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（2x，kx）⊗（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝104，求xy的值． 新课预习.培优卷 17.2 用公式法分解因式 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•凤庆县模拟）如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（　　） A．﹣2b2 B．8b2 C．﹣2ab D．﹣2ac 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下： A．a2+b2+（﹣2b2）＝a2﹣b2可以运用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； B．a2+b2+8b2＝a2+9b2，不能因式分解，故该选项不符合题意； C．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2可以运用完全平方公式分解因式，故该选项不符合题意； D．a2+b2﹣2ac，不能因式分解，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键． 2．（2025春•萧山区期中）若x2﹣ax﹣4＝（x﹣4）（x+1），则a为（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【考点】因式分解﹣十字相乘法等． 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则求出（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4即可得到答案． 【解答】解：∵（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4， ∴x2﹣3x﹣4＝x2﹣ax﹣4， ∴a＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 3．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么常数k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±6 【考点】完全平方式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用完全平方式的特征解答即可． 【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式， ∴[﹣（k﹣2）]2﹣4×1×16＝0， ∴k﹣2＝±8， ∴k＝10或﹣6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方式的特征，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 4．（2025•广南县二模）分解因式：n3﹣n＝（　　） A．n3﹣n B．n（n2+1） C．n（n+1）（n﹣1） D．n2（n﹣1） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解． 【解答】解：先提取公因式，再利用平方差公式因式分解可得： 原式＝n（n2﹣1） ＝n（n+1）（n﹣1）， 故答案为：C． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 5．（2025春•吴江区期中）若x2+mx+9是关于x的完全平方式，则常数m的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【考点】完全平方式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9是关于x的完全平方式， 由题意得：x2+mx+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴m＝±6， 故选：B． 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 6．（2025春•包河区期中）在多项式1﹣4x2中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（　　） A．﹣4x B．4x C．4x4 D．﹣4x4 【考点】完全平方式；单项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】将各式添加到原式后判断是否能形成完全平方式即可． 【解答】解：1﹣4x﹣4x2不是完全平方式，则A不符合题意， 1+4x﹣4x2不是完全平方式，则B不符合题意， 1﹣4x2+4x4是完全平方式，则C符合题意， 1﹣4x2﹣4x4不是完全平方式，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方式，单项式，熟练掌握完全平方公式的表现形式是解题的关键． 7．（2024秋•广阳区期末）若4x2﹣12xy+my2是完全平方式；4x2﹣nxy+9y2是完全平方式，则m和n的值分别是（　　） A．m＝9，n＝12 B．m＝9，n＝﹣12 C．m＝﹣9，n＝±12 D．m＝9，n＝±12 【考点】完全平方式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据完全平方式4x2﹣12xy+my2中首末两项是2x和的平方，中间一项为减去它们乘积的2倍，可得，进而求出m的值，同理求出n的值，即可解题． 【解答】解：由条件可知， 解得m＝9， ∵4x2﹣nxy+9y2是完全平方式， ∴， 有n＝±12， 故选：D． 【点评】本题考查完全平方式，解题的关键在于掌握完全平方式的结构特征． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•海淀区校级模拟）因式分解m3﹣4m2n+4mn2结果是　m（m﹣2n）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝m（m2﹣4mn+4n2）＝m（m﹣2n）2， 故答案为：m（m﹣2n）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9．（2025•姑苏区校级一模）因式分解4x2﹣4＝　4（x+1）（x﹣1）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式提取4，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）， 故答案为：4（x+1）（x﹣1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．（2025•莱芜区二模）分解因式：9a2﹣4＝　（3a﹣2）（3a+2）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）． 故答案为：（3a﹣2）（3a+2）． 【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 11．（2025•北流市校级二模）分解因式：2x2﹣2＝ 　2（x﹣1）（x+1）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】2（x+1）（x﹣1）． 【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x2﹣12） ＝2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 12．（2025•蜀山区校级一模）因式分解：2m3﹣8m＝　2m（m+2）（m﹣2）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【解答】解：原式＝2m（m2﹣4） ＝2m（m+2）（m﹣2）， 故答案为：2m（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•小店区校级月考）因式分解： （1）3m3﹣6m2+3m； （2）49（x+y）2﹣9（x﹣y）2． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）3m（m﹣1）2； （2）4（5x+2y）（2x+5y）． 【分析】（1）先提公因式3m，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解． 【解答】解：（1）3m3﹣6m2+3m ＝3m（m2﹣2m+1） ＝3m（m﹣1）2； （2）49（x+y）2﹣9（x﹣y）2 ＝[7（x+y）]2﹣[3（x﹣y）]2 ＝（7x+7y）2﹣（3x﹣3y）2 ＝（7x+7y+3x﹣3y）（7x+7y﹣3x+3y） ＝（10x+4y）（4x+10y） ＝4（5x+2y）（2x+5y）． 【点评】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． 14．（2024秋•竹溪县期末）阅读以下材料 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2﹣2A+1（A﹣1）2，再将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； （2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【解答】（1）解：令x﹣y＝A， 原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2， 将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）解：令 a2﹣4a＝A， 原式＝（A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得： 原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （3）证明：令 n2﹣2n＝A， 原式＝（A﹣3）（A+5）+17 ＝A2+2A﹣15+17 ＝A2+2A+2 ＝（A+1）2+1， 将 A＝n2﹣2n 还原， 原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1， 因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0， 所以 （n﹣1）4+1≥1 即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 15．（2025春•郫都区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（2x，kx）⊗（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝104，求xy的值． 【考点】完全平方式；有理数． 【专题】新定义；整式；运算能力． 【答案】（1）k＝±4；（2）xy＝10． 【分析】（1）利用新定义的规定和完全平方式的意义解答即可； （2）利用新定义的规定，完全平方式和整体代入的思想方法解答即可． 【解答】解：（1）（2x，kx）⊗（y，﹣y）＝（2x）2+（﹣y）2﹣kxy＝4x2﹣kxy+y2， ∵（2x，kx）⊗（y，﹣y）是一个完全平方式， ∴4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式， ∴﹣k＝±4， ∴k＝±4． （2）（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）， ∵（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝104， ∴（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝104． ∴9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝104， ∴4x2+y2＝104． ∵2x+y＝12， ∴（2x+y）2＝144， ∴4x2+4xy+y2＝144， ∴104+4xy＝144， ∴4xy＝40， ∴xy＝10． 【点评】本题主要考查了完全平方式的特征，整式的加减，整体代入的思想方法，本题是新定义型，正确掌握新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$