吉林省长春市朝阳区南湖实验中学2024-2025学年九年级下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市朝阳区南湖实验中学九年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 2.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是 A. B. C. D. 3.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若，则下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 5.足球的表面是由个正五边形和个正六边形组成的如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高单位：米为(    ) A. B. C. D. 7.已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，下列作图正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.单项式的系数是______． 10.计算： ______． 11.若二次函数的图象与轴有个交点，则的取值范围是______． 12.已知一次函数，当时，的取值范围为______． 13.如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为______． 14.如图，以的斜边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，则的度数是______；的半径长是______，的值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 15.先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，记录下颜色后放回，再次搅匀后从中任意摸出个球并且记录下颜色． 用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； 求两次摸到的球颜色不同的概率． 17.本小题分 “今有善行者一百步，不善行者行六十步”出自九章算术意思是：同样时间段内，走路快的人能走步，走路慢的人只能走步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 18.本小题分 如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得求证：四边形是矩形． 19.本小题分 为了解甲、乙两校九年级学生英语人机对话的学习情况，每个学校随机抽取个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析． 信息一： 绘制成了如下两幅统计图数据分组为：组：，组：，组：，组： 信息二：甲校成绩的频数分布直方图中在组的成绩是：，，，，，，，，． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： 扇形统计图中组所在的圆心角度数为______，乙校学生的测试成绩位于组的人数为______人，表格中______，在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩都是分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？并说明理由； 假设甲校学生共有人参加此次测试，估计甲校成绩超过分的人数． 20.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． 在图中的边上确定一点，连结，使得； 在图中的边上确定一点，连结，使得； 在图中的边上确定一点，连结，使． 21.本小题分 一条公路上依次有、、三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： 甲车行驶的速度是______，并在图中括号内填上正确的数； 求图中线段所在直线的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； 请直接写出两车出发多少小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的倍． 22.本小题分 在中，，点在直线上，直线与的夹角为，且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为、． 【问题解决】 如图，若，则的度数为______，的值为______； 【问题探究】 如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； 【拓展延伸】 如图，、交于点，点在线段上，，，线段的长为______． 23.本小题分 在中，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动连接，点是线段中点将点、点同时绕点按逆时针方向旋转得到点、点，连结、，得到． 当点运动到边的中点时，的长是______； 当时，点运动的路径长为______； 当时，求值； 在点点不与点、重合的运动过程中，当为直角三角形时，直接写出此时的值． 24.本小题分 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线为常数经过点点在抛物线上，其横坐标为，点的坐标为过点作轴于点，以、为邻边构造▱． 求该抛物线对应的函数表达式； 当▱有一条边与轴重合时，求▱的面积； 当、、三点在同一条直线上时，求的值； 当抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部时，直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【试题解析】 解：． 故选：． 根据有理数的减法法则计算． 主要考查有理数的减法运算法则． 2.【答案】  【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意， 故选：． 根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提． 3.【答案】  【解析】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：． 根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意． B.在不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意． C.，不妨设，，则，原变形不一定成立，故此选项不符合题意． D.在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：． 根据不等式的性质解答． 本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 5.【答案】  【解析】解：正五边形内角和为， 正六边形内角和为， 正五边形每个内角度数为，正六边形每个内角度数为， ． 故选：． 根据多边形内角和公式进行求解即可． 本题主要考查了多边形内角与外角，掌握多边形内角和计算公式是关键． 6.【答案】  【解析】解：如图，在直角中，，，， ， 则． 故选：． 通过解直角可以求得的长度． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 7.【答案】  【解析】解：选项B正确，理由如下： 连接． 由作图可知， ． 故选：． 利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】  【解析】解：过点分别作于点，于点， 设点，， 则，则∽， 则，即， ， 则，则， 则点，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点，则， ， 则， 故选：． 证明∽，得到，即，求出点，则点，由即可求解． 本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想． 9.【答案】  【解析】解：单项式的系数是， 故答案为：． 根据单项式的有关概念解答即可． 此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键． 10.【答案】  【解析】解： ． 故答案为：． 利用二次根式的减法的法则进行运算可． 本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 11.【答案】  【解析】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ， ， ． 故答案为：． 根据抛物线与轴有两个交点，列出不等式即可解决问题． 本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是记住抛物线与轴只有一个交点，抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴没有交点，属于中考常考题型． 12.【答案】  【解析】解：当时，； 当时，． 当时，的取值范围为． 故答案为：． 分别代入，，求出值，结合一次函数的性质，即可得出当时的取值范围． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，代入及，求出值是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，，， ，， 三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上， ， 为等边三角形， ， 弧的长度， 即点所转过的路径长． 故答案为：． 根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可． 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式． 14.【答案】    【解析】解：连接交于点，则， 的平分线交于点， ， ， 垂直平分， 交的延长线于， ， 是的直径， ， ， ，且， ， ， ∽， ， ， ，， ， ， 的半径长是， ，， ， 故答案为：，，． 连接交于点，由，得，所以垂直平分，因为，所以，由是的直径，得，则，而，且，所以，可证明∽，因为，，所以，则，，求得，则的半径长是，因为，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15.【答案】解： 当时， 原式．  【解析】本题需先对每一项进行整理，然后进行约分，再把的值代入化简后的式子即可求出结果． 本题主要考查了分式的化简求值，在解题时先对要求的式子进行化简整理是本题的关键． 16.【答案】有种等可能的结果；   两次摸到的球颜色不同的概率为．  【解析】画树状图如下： 由树状图可得共有种等可能的结果； 由树状图可得两次都摸出的球颜色不同的结果有种， 两次摸到的球颜色不同的概率为． 画树状图，共有种等可能的结果； 由树状图可得两次都摸出的球颜色不同的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】解：设走路快的人走步才能追上走路慢的人， 由题意得， 解得， 答：走路快的人走步才能追上走路慢的人．  【解析】设走路快的人走步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走步，走路慢的人只能走步，及追及问题可列方程求解． 本题考查了一元一次方程应用，解决本题的关键是理解古代行程数学问题． 18.【答案】证明见解析．  【解析】证明：，是中点， ， ， 是中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 由等腰三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 19.【答案】；；；华的成绩排名在前，理由见解答；   人．  【解析】扇形统计图中组所在的圆心角度为：， 乙校学生的测试成绩位于组的人数为：人； 将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，故中位数， 小华的成绩排名在前，理由如下： 小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，而小华的成绩分，在乙校中位数分以上，因此小华的成绩排名靠前； 故答案为：；；； 人， 答：估计甲校成绩超过分的人数约人． 求出乙校组所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；进而求出组的人数；根据中位数的定义进行判断即可；根据甲、乙两个学校的中位数以及小明、小华的成绩进行判断即可； 求出甲校成绩在分以上的学生所占的百分比，进而求出整体中成绩在分以上的学生人数． 本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及扇形统计图，理解中位数、众数的定义是正确解答的关键． 20.【答案】见解析．  【解析】如图，点即为所求； 如图中，点即为所求； 如图中，点即为所求． 取格点，连接交于点，点即为所求； 取格点，，连接交于点，点即为所求； 构造直角三角形，交于点，点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 21.【答案】，；   ；  或．  【解析】解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ， 填图如下： 故答案为：； 由图可知，的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 由题意知，、两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、两地的距离为：， A、两地的距离为：， 设两车出发小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距地路程的倍． 利用时间、速度、路程之间的关系求解； 利用待定系数法求解； 先求出、、两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出、、两两之间的距离是解题的关键． 22.【答案】，；   的值不会发生变化，理由见解析；  ．  【解析】，， ， ，， ， ， ， ， ≌， ， ， ， 故答案为：，； 的值不会发生变化，理由如下： 如图，延长交于点， ， ， 又，， ≌， ， ，， ， ∽， ， ； 如图，过点作分别交，于，，则四边形是矩形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 分别是，的中点， ， ， ∽， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ． 故答案为：． 由，，则，故有，，然后证明≌可得，从而求解； 延长交于点，证明≌，则，再证明∽即可求解； 过点作分别交，于，，则四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证∽，得，设，则，，求出的值，最后通过勾股定理和线段和差即可求解． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 23.【答案】；   ；   ；   或．  【解析】，点是的中点， ，， ， 故答案为：； 点运动的路径是的中位线， 当，中位线长是， 故答案为：； 如图， 作于，作，交的延长线于， ， ， 点绕点按逆时针方向旋转得到点， ，， ， ， ≌， ， 当时， ， ， ， ； 如图， 以所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立坐标系， 设，则，， 由上知， ，， ， ，，， 若，则， ， ， 若，则， ， ， 若，则， ， 舍去， 综上所述：或． 根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理得出结果； 点运动的路径是的中位线，进一步得出结果； 作于，作，交的延长线于，可证得≌，从而得出，当时，，进一步得出结果； 以所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立坐标系，设，可表示出，，，进而表示出，和，进而分类讨论：若，则，若，则和若，则，进一步得出结果． 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标系中直线垂直的条件等知识，解决问题的关键是分类讨论． 24.【答案】；   ；   ；   或．  【解析】将点代入， ， 解得， ； 点在抛物线上，其横坐标为， ， 轴， ， 以、为邻边构造▱，， ， ▱有一条边与轴重合， 与轴重合， ， 解得； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 、、三点在同一条直线上， ， 解得； 当时， 当点在抛物线上时，，解得， 当与轴重合时，， 时，抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部； 当时， 当点在抛物线上时，，解得， 时，抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部； 综上所述：或时，抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部． 用待定系数法求函数的解析式即可； 分别求出，，由▱有一条边与轴重合，可知与轴重合，则，即可求的值； 求出直线的解析式，再将点代入即可求的值； 当时，当点在抛物线上抛物线与平行四边形刚好有、两个交点，当与轴重合时，原点在平行四边形的边上，则时，抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部；当时，当点在抛物线上时，抛物线在平行四边形内随的增大而增大到达边界处，当与轴重合时，原点在平行四边形的边上，则时，抛物线在▱内部的点的纵坐标随的增大而增大且点在▱内部． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$