专题01 集合的概念及集合间的基本关系（4知识点+9考点+2易错点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《阶梯册》考点训练

专题01 集合的概念及集合间的基本关系 知识点一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点二、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点三、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点四、子集 1．子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 3．真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 4．空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 集合的确定 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 2．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 3．下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 考点02 集合的表示 5．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 6． ． 7．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 8．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 9．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 考点03 判断元素与集合的关系 10．已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．若集合，则（   ） A． B． C． D． 13．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 14．用列举法表示集合为 ． 考点04 根据元素与集合的关系求参数 15．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．若 ，则集合 中所有元素之和为 19．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 考点05 集合中元素的互异性 20．已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 21．若集合，则实数a的取值范围是 ． 22．已知集合，且，则实数的值为 ． 23．设，若集合中的最大元素为3，则 ． 24．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 考点06 判断两个集合的包含关系 25．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 26．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 27．已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 28．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 29．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 考点07 子集（真）子集的个数 30．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 31．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 32．已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 33．（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 考点08 根据两个集合的包含关系求出参数 34．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 36．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 38．已知，，若集合，则的值为 ． 39．已知集合，且，则 . 40．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 考点09 新定义问题 41．对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 42．定义集合运算.设，，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．30 D．15 43．已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 44．定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 45．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 易错01 忽略了集合的互异性 1．设集合，若，则的值的集合为 . 2．已知集合，且，则 ． 易错02 忽略了小集合可以是空集 1．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 刷基础 1．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 3．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 5．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合．若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 8．已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 10．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 11．用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 12．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 刷能力 1．设集合，集合，若且，则实数 . 2．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 3．设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 4．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 5．记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 6．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 . 7．设，，若，求集合B． 8．集合，，试证：． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．（2024·25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2024·25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高二下·广西崇左·期末）若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 7．（2023·24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 8．（2024·25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念及集合间的基本关系 知识点一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点二、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点三、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点四、子集 1．子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 3．真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 4．空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 集合的确定 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 2．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 3．下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 4．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 考点02 集合的表示 5．下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 6． ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 得， 则. 故答案为： 7．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 8．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 9．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 考点03 判断元素与集合的关系 10．已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 11．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以． 故选：B． 12．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 13．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 【答案】 【详解】（1）空集不含任何元素，故； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以2017. 故答案为：；；； 14．用列举法表示集合为 ． 【答案】 【详解】由且，则,或， 解得的值为，所以. 故答案为： 考点04 根据元素与集合的关系求参数 15．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 16．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 17．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 18．若 ，则集合 中所有元素之和为 【答案】3 【详解】，则有，解得， 方程即为，解得或， 所以，所有元素之和为3. 故答案为：3 19．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 考点05 集合中元素的互异性 20．已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 【答案】C 【详解】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C 21．若集合，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由集合的互异性有，解得且， 所以， 故答案为：. 22．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 23．设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 24．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 考点06 判断两个集合的包含关系 25．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 26．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C 27．已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 28．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 29．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 考点07 子集（真）子集的个数 30．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 31．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【详解】集合， 则，当集合中不含其他元素时，； 当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有， 集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 32．已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 【答案】69 【详解】因为，一定含有元素但不仅含有元素，还可以含有元素且至多含有五个元素． 故满足条件的集合的个数是的真子集个数，共个 集合为，，，，，，． 由于所有的中分别出现了4次，所以元素之和为． 33．（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 考点08 根据两个集合的包含关系求出参数 34．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 35．已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【详解】因为，当，即时，，，符合题意； 当，即时，，，符合题意． 综上，或． 故选：D． 36．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 37．（多选）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 38．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 39．已知集合，且，则 . 【答案】0或 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 40．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 考点09 新定义问题 41．对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 42．定义集合运算.设，，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．30 D．15 【答案】B 【详解】因为，， 又， 所以， 由于集合中共有个元素， 则集合的真子集个数为个. 故选：B． 43．已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为集合且, 若，则中也包含四个元素,即 剩下的，， 对于①:由得,故①错误; 对于②：由得,故②错误; 对于③：由得,故③正确; 故选：B 44．定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 【答案】30 【详解】由题意，的取值分别为， 故， 所以所有元素之和为. 故答案为：30 45．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 易错01 忽略了集合的互异性 1．设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 2．已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 易错02 忽略了小集合可以是空集 1．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 2．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 刷基础 1．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于正确；对于中无任何元素，而有一个元素错误； 对于C，，C正确；对于D，数对满足，则D正确. 故选：B 2．方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 3．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 4．已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 【答案】B 【详解】由题意得，则且. 若，解得，不合题意，舍去. 若，解得（舍去）或，则. 此时，，符合题意，故. 故选：B. 5．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合,，则 . 故选：A 6．已知集合．若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】,， 若，则， 则，即. 故选：A 7．设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 8．已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 【答案】或. 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，则，解得或， 故所求为或. 故答案为：或. 10．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 11．用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 12．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【详解】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 刷能力 1．设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 2．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 3．设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 【答案】 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 4．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 5．记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 【答案】 【详解】因为集合，，分别列举出满足条件的集合 （1）若集合只有一个元素，则集合为：、、、、； （2）若集合有两个元素，则集合为：、、、、 、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （3）若集合有个元素，则集合为：、、、 、、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （4）若集合有个元素，则集合为：、、、 、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （5）若集合有个元素，则. 综上所述，所有之和为. 故答案为：. 6．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 . 【答案】 或 【详解】由可知，当时，，此时； 当时，，此时， 当时，； 又，若与构成“全食”，则， 当时，满足题意；当时，不合题意； 当时，要使，则，即，解得； 综上，与构成“全食”时，的取值范围是或； 若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意， 当时，由，所以，即，解得， 此时的取值范围是. 故答案为：或； 7．设，，若，求集合B． 【答案】 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 8．集合，，试证：． 【答案】证明见解析 【详解】一方面，对N中任一元素u，有， 从而. 另一方面，对M中任一元素u，有， 从而. 故． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 2．（2024·25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据的意义,, 故选：C. 3．（2024·25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4．（2024·25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 5．（2024·25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 6．（2024·25高二下·广西崇左·期末）若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【答案】 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素， 所以，可得或1，故的取值集合为. 故答案为： 7．（2023·24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$