精品解析：2026届东北三省一区八校联合体高三第一次模拟考试数学试卷

2026年东北三省一区八校联合体第一次模拟考试 数学科试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数、、满足，，，则复数在复平面对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由题意可得， 故， 所以，复数在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知非零实数不全相等，给出下面两个命题．命题p：若成等差数列，则也成等差数列；命题q∶ 若成等比数列，则也成等比数列，则（ ） A. 命题p和q均为真命题 B. 命题p和命题均为真命题 C. 命题和命题q均真命题 D. 命题和命题均为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于命题，举例可说明其为假命题；对于命题，根据等比中项可推导. 【详解】对于命题：易得1,2,3成等差，不成等差，故命题为假命题； 对于命题：成等比数列，则，所以， 即成等比数列，故命题为真命题. 综上，命题为假命题，为真命题，命题为真命题，为假命题. 故选：C. 3. 已知是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，结合是钝角可求得的值. 【详解】因为为钝角，则，， 所以 ， 故， 由题意可得，解得， 故选：D. 4. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等边三角形的另外两个顶点分别为、，由对称性可知点、关于轴对称，不妨设点在第一象限，则直线的倾斜角为，可得出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，进而可得出点的坐标，可求出，由此可得出该等边三角形的边长. 【详解】设等边三角形的另外两个顶点分别为、，由对称性可知点、关于轴对称， 不妨设点在第一象限，则直线的倾斜角为，直线的方程为， 联立可得，解得或，即点， 故点，则， 因此，该等边三角形的边长为. 故选：D 5. 已知、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用扇形弧长与圆锥底面周长相等得出，再利用体积公式求出体积，其是关于的函数，通过构造函数，其中，研究最大值，求出，即可求出的最大值. 【详解】设圆形半径为，圆锥底面半径为， 则扇形的弧长为，圆锥底面周长为，则，即， 则圆锥的高为， 则圆锥的体积为 设，其中，则， 由得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最大值，即时，圆锥的体积取最大值， 且， 故选：B. 7. 7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知不同的分组方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三种；利用不平均分组问题计算方法数，列出符合题意得情况，然后求概率即可. 【详解】根据题意，不同的分组方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三种； 当分组为4,1,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有1种； 当分组为3,2,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为2,2,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 所以乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 8. 已知，其中c>0，则当最小时，c的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数得，当且仅当时等号成立，，当且仅当时，等号成立；由向量模的计算及基本不等式得，，即可求解． 【详解】由， 令，令，解得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立； 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，，即， 所以在上单调递减； 当时，，即， 所以在上单调递增； 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当（*），时等号成立， 由得，， 将，，代入（*）得，， 所以， 故选：B． 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ） A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【解析】 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 10. 在斜三角形中，下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形三边关系可判断A选项；利用两角和的正切公式可判断B选项；利用三角恒等变换结合正切函数的单调性可判断C选项；取，结合二倍角的正弦公式求出的值，可判断D选项. 【详解】在斜三角形中，设内角、、的对边分别为、、， 对于A选项，若，由正弦定理可得， 由三角形三边关系可知等式不成立，A错； 对于B选项，若， 由两角和的正切公式可得， 故， 因为，故只需即可，合乎题意； 对于C选项，若，则， 即， 所以，即， 因为、，故，， 所以， 即， 即， 因为、，则、，故， 所以， 由题意可得，故， 由于，故， 因为正切函数在上单调递增，故，整理得， 这与三角形的内角和定理矛盾，C错； 对于D选项，若，由可得， 即， 等式两边平方可得， 即，因为，解得， 因为，则，故，则， 由于，， 所以满足条件的锐角存在，D对. 故选：BD. 11. 下面的图形由铰接的薄片构成，固定某一些点会导致所有两杆固定，则下列选项说法正确的是（ ） A. 若固定，则所有连杆固定 B. 若固定，则所有连杆固定 C. 若固定，则所有连杆固定 D. 若固定，则所有连杆固定 【答案】CD 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性，结合各项对应的固定点判断连杆是否固定即可. 【详解】对于A，如下图示， 固定则固定，固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，L固定，其它点无法固定； 对于B，如下图示， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，固定则固定，L固定，其它点无法固定； 对于C，如下图示， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，所有连杆会固定； 对于D，如下图示， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，固定则固定，固定则固定， 固定则固定，所有连杆会固定. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，进而可得出集合，对分、两种情况讨论，利用集合的包含关系可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，， 当时，，即，合乎题意； 当时，由于，所以有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 函数过原点的切线方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为， 由于切线过原点，则，整理得，即， 解得， 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为. 故答案为：或. 14. 设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别令、、，求出数列前项值，猜想得出，再利用数学归纳法证明出猜想成立，然后列举出数列前若干项的值，可知，即可得解. 【详解】当时，由题意可得， 因为数列是正整数数列，假设，则， 为了满足为正，只需，即， 假设，则，可得，合乎题意， 假设，则，可得不是正整数， 故，从而可得， 当时，则有，即，解得， 当时，， 即，解得， 当时，， 猜想， 假设当时，猜想成立，即， 当时，， 由猜想可得，则， 所以 ， 所以 ， 这说明当时猜想也成立，故数列满足， 所以，数列的各项依次为：，，，，，，，，，，， 由上可知均为偶数， 又因为，故的前项中偶数的个数是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． （1）证明：、、三点共线； （2）现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）证明出平面，求出的值，以及的长，以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可取得平面与平面夹角的正弦值． 【小问1详解】 因为点在线段上，满足，为的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，，即， 即，故，所以， 所以、、三点共线. 【小问2详解】 因为，，，，故，， 因为为的中点，所以， 将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，则， 因为，、平面，故平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，故， 以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 设平面A'CF的一个法向量为，，， 则，则， 取，可得， 设平面A'EP的一个法向量为，，， 则，则， 取，可得， 所以， 故. 因此，平面A'CF与平面A'EP夹角的正弦值为. 16. 在斜三角形中，. （1）设为三角形的内心，当时，求的最小值； （2）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出理由． 【答案】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! （2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【解析】 【分析】略 【小问1详解】 在斜三角形中，， 所以， 当时，则， 即，即， 延长交于点，设内切圆切、边分别于点、，如下图所示： 则，在中，由正弦定理得，故， 因为为的内心，则平分， 故，即，故，则，即， 设内切圆的半径为， 由等面积法可得，故， 所以，故 ， 在中，由正弦定理，得， 因为，则， 所以， 故， 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698. 17. 已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． （1）求双曲线C的标准方程； （2）试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，联立可解出两点坐标，结合四边形的面积为建立方程求出基本量，最后求出双曲线方程即可. （2）联立方程组，利用韦达定理，求出关键点的坐标，再结合中点坐标公式进行化简证明即可. 【小问1详解】 已知双曲线焦距为4，即，故.  又因为，所以 . 如图，设点在双曲线上，满足，双曲线的渐近线方程为. 而四边形的面积为，且​​由题意得四边形为平行四边形， 因为，， 解得，，则， 同理可得， 由平行四边形面积公式得=（为点到直线距离）. 因为；渐近线为. 所以；代入得，可得， 所以解得，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 易知斜率不存在时候不符合题意， 故设直线方程为，， 代入双曲线方程联立可得， 化简得. 且； 如图，设，，其中， 则由韦达定理得，. 直线过和，方程为. 直线过和，方程为. 直线与交于点，可得， 则，可得， 则， 可得， 则， 可得， 得到， 则，故， 因为，所以， 则， 得到，则， 故，故解得， 同理直线与交于点，其横坐标为. 而双曲线在点和处的切线方程分别为， 联立解得切线交点的坐标为，. 因此，点，，均在直线上； 设，，. 由中点坐标公式得中点坐标为 ， 故为和的中点，即，因此. 18. 在一个不透明的袋子中，装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸取到的小球颜色． （1）求某种特定颜色两次都被记下的概率； （2）设第一次摸出个球，两次摸球后，恰有种颜色两次都被记下． ①求的分布列；②当时，求． 【答案】（1） （2）①，. ② 【解析】 【分析】（1）先计算总的摸球情况数，再计算恰有一种特定颜色两次都被记下的情况数，最后利用古代古典概型公式计算概率. （2）根据分布列的定义求的分布列，当时，代入求得． 【小问1详解】 第一次摸球，从个球中至少摸一个球，情况数为；第二次摸球同样有种情况. 则两次摸球的总的可能情况数为. 除了特定的颜色的球外，对于剩下的种颜色，第一次摸球有种情况； 第二次摸球也有种情况.所以对于这种颜色，两次摸球的情况数为. 那么特定颜色的球两次都被记录下来的情况数为. 根据古典概型的概率计算公式，则特定颜色颜色两次都被记录下来的概率为： . 【小问2详解】 ①第一次摸出个球，可能取得的值为0，1，···，. 对于，从种颜色中选种颜色，有种选法. 对于剩下的种颜色，第一次没摸到，第二次至少摸到一个球，有种情况； 对于这种颜色，第一次摸到，第二次也摸到，有一种情况. 所以，. ②当时,可能取得的值为0，1，···，. 因为根据期望公式，可以得到. 19. 已知函数有三个零点，满足． （1）求实数a的取值范围； （2）若为上任意个实数，，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题． （i）若函数为凸函数，求b的取值范围； （ii）证明∶． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题目信息可判断单调性，从而可得，然后讨论，2大小关系，可得单调性，再结合零点存在性定理可得答案； （2）（i）由题可得，对定义域恒成立，通过换元及复合函数导数求法可得，据此可得答案；（ii）由题目信息，结合令可得，然后由（i）中结论可完成证明. 【小问1详解】 由题，由题目信息： ，则. 从而在上单调递减，在上单调递增，从而. 若，则，则在上单调递增， 又注意到，则此时只有1个零点，不满足题意； 若，则， 令在 上单调递增，则. ,又，则存在， 使. 结合单调性可得，. 则在上单调递增，在上单调递减. , 则. 令，则， 从而在上单调递减，又， 则. 又注意到，，， ，则存在， 使，满足题意. 所以实数的取值范围是； 【小问2详解】 （i）令，则， 从而， 令，则， 从而，由题，对定义域恒成立， 则恒成立， 即. 令，则， 令，则， 从而，， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 从而， 所以实数的取值范围是； （ii）由题目信息，，当且仅当时取等号. 由（1），， 又注意到， 则. 令， 则 则， 即， 即 . 因，则， 因，则，， 则，从而 ，则取时， 即时， ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年东北三省一区八校联合体第一次模拟考试 数学科试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数、、满足，，，则复数在复平面对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知非零实数不全相等，给出下面两个命题．命题p：若成等差数列，则也成等差数列；命题q∶ 若成等比数列，则也成等比数列，则（ ） A. 命题p和q均为真命题 B. 命题p和命题均为真命题 C. 命题和命题q均为真命题 D. 命题和命题均为真命题 3. 已知是钝角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中c>0，则当最小时，c的值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ） A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B. 若增加窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 10. 在斜三角形中，下列结论可能成立的是（ ） A B. C. D. 11. 下面图形由铰接的薄片构成，固定某一些点会导致所有两杆固定，则下列选项说法正确的是（ ） A. 若固定，则所有连杆固定 B. 若固定，则所有连杆固定 C. 若固定，则所有连杆固定 D. 若固定，则所有连杆固定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则的取值范围是______ 13. 函数过原点的切线方程为________． 14. 设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． （1）证明：、、三点共线； （2）现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 16. 在斜三角形中，. （1）设为三角形的内心，当时，求的最小值； （2）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出理由． 17. 已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． （1）求双曲线C的标准方程； （2）试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 18. 在一个不透明的袋子中，装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸取到的小球颜色． （1）求某种特定颜色两次都被记下的概率； （2）设第一次摸出个球，两次摸球后，恰有种颜色两次都被记下． ①求的分布列；②当时，求． 19. 已知函数有三个零点，满足． （1）求实数a的取值范围； （2）若为上任意个实数，，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题． （i）若函数为凸函数，求b取值范围； （ii）证明∶． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $