专题27：等差数列及其前n项和 （5大考点+10大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题27 等差数列及其前n项和 知识点一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数， 则；； ． （8）若项数为奇数，则； ； ． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点五．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 考点一 等差数列的基本运算 题型01：等差数列的基本运算 【名师点拨】等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【例1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 【例2】（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前n项和，若则的值为 ． 【例3】（24-25高三上·上海奉贤·期末）记为等差数列的前项和.若，，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列满足，，则 . 2．（2024·上海崇明·二模）若等差数列的首项，前5项和，则 ． 3．（2023·上海宝山·统考一模）已知等差数列的前项和为，若则 4．（2023·上海普陀·统考一模）设是等差数列的前项和，若，则 . 5.（24-25高三上·上海松江期末）已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 6．（2021·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）已知正项等差数列的前项和为，，则________． 题型02：与等差数列有关的基本运算 【例4】（2022·上海静安·统考模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________． 【跟踪训练】 1．（22024高二下·上海浦东新·期中）各项均为正数的等比数列满足，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024上海徐汇·上海中学校考模拟预测）已知、、成等差数列，且公差．、、分别是的角、、的对边，则__． 3．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（       ） A． B． C． D． 考点二 等差数列的通项公式 题型03：利用定义求等差数列的通项公式 【例5】（2023•杨浦区二模）若在等差数列中，，，则通项公式　　． 【跟踪训练】 1．（2023•松江区校级模拟）已知等差数列，，，则　　． 2．（2023•松江区二模）参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 　　升． 3．（2022·上海徐汇·统考一模）在数列中，，且，则__________. 题型04：利用Sn与an的关系求等差数列通项公式 【例6】（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________. 【跟踪训练】 1.（24-25高三上·上海徐汇期末）记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 2．（2024·上海青浦·一模）已知数列满足，则 . 考点三 等差数列的判定与证明 题型05：等差数列的判断与证明 【名师点拨】判断证明等差数列方法 判断数列是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明） （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 【例7】（2024·江苏淮安·模拟预测）已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例8】（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 【跟踪训练】 1．（2025黄浦区校级联考模拟），若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，. (1)证明：数列是等差数列， (2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和. 考点四 等差数列的性质 题型06：等差中项 【例9】（2025黄浦区校级联考模拟）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 . 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列满足，则（     ） A． B． C． D． 2.（2025上海高三阶段练习）已知数列满足，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.（2025上海高三阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（       ） A． B． C． D． 题型07：等距性质 【名师点拨】如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 【例10】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（       ） A．74 B．81 C．162 D．148 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三三模）已知等差数列满足，，则（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 3.（2025上海高三阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 题型08：单调性 【例11】（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论： ①数列是递减数列； ②数列是递减数列； ③数列的最大项是； ④数列的最小的正数是． 其中正确的序号是 ． 【例12】（22-23高三下·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.设等差数列的前项和，公差为且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D． 2.已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项． 3.（多选） 已知是等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 4.等差数列的前n项和为，若，，，则不正确的是（   ） A． B．数列是递减数列 C． D． 题型09：衍生等差数列 【例13】（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【跟踪训练】 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2. 3. （2025上海高三阶段练习）在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（ ） A．是开方差数列 B．若是开方差数列，则是等差数列 C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数） D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 3．（2025上海高三阶段练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是（ ） A．不可能为0； B．等差数列一定是等差比数列； C．等比数列一定是等差比数列； D．通项公式为的数列一定是等差比数列 考点五 等差数列前n项和的性质 题型10：等差数列前n项和与中项性质 【例14】（2024青浦高三校联考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【跟踪训练】 1.（21-22高三上·北京通州·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型11：等差数列片段和的性质 【名师点拨】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 【例15】（2025上海高三阶段练习）设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A．45 B．32 C．47 D．54 2．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项为，，，则的值为（ ） A．2 B．0 C．3 D．4 4．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________． 题型12：等差数列前n项和与n的比值问题 【名师点拨】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 【例16】等差数列中，，前项和为，若，则______． 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 . 2．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法不正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 题型13：两个等差数列前n项和的比值问题 【例17】（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 【跟踪训练】 1.（2025嘉定区校级模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 题型14：等差数列偶数项或奇数项的和 【例18】已知等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ） A．30 B．29 C．28 D．27 【例19】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________． 2．在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为______． 题型15：含绝对值的等差数列的前n项和 【名师点拨】 含绝对值等差数列前n项和求解步骤 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 【例20】（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【跟踪训练】 1．（2023·上海青浦·统考一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 2.等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 3.已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 4.已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 5.已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 题型16：等差数列前n项和的最值与范围 【名师点拨】等差数列前n项和最值方法 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 【例21】（22-23高三上·河南·开学考试）已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．21 D．22 【例22】（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【跟踪训练】 1．（2024大同中学高三三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（    ）①为的最小值  ②  ③，  ④为的最小值 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·上海嘉定·一模）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 3．（22-23高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．和均为的最大值 D． 4．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 5．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 考点六 等差数列的综合问题 题型17：等差数列的实际应用 【例23】（2023·广东深圳·校考二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为，容易发现：，，，则（    ） A．45 B．40 C．35 D．30 【跟踪训练】 1．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京西城·期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 升.(结果保留分数) 题型18：等差数列与其他知识的交汇 【例24】（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足，，.则的值为（    ） A．5 B．9 C．4023 D．4049 2．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型19：等差数列的综合问题 【例25】（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 【跟踪训练】 1.（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 1．（2025·上海·高考真题）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 3．（2024•上海）数列，，，的取值范围为 　　． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 5．【2022年上海市高考数学第10题】已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 6．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 7．【2020年上海市高考数学第8题】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则　　　　． 8．【2018年上海市高考数学第6题】记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6+a7＝14，则S7＝　　　　． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 10．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题27 等差数列及其前n项和 知识点一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数， 则；； ． （8）若项数为奇数，则； ； ． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点五．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 考点一 等差数列的基本运算 题型01：等差数列的基本运算 【名师点拨】等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【例1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 【例2】（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前n项和，若则的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题得即， 所以. 故答案为：. 【例3】（24-25高三上·上海奉贤·期末）记为等差数列的前项和.若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . 故选：D. 【跟踪训练】 1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列满足，，则 . 【答案】5 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】因为是等差数列，所以， 则有，解得. 故答案为：. 2．（2024·上海崇明·二模）若等差数列的首项，前5项和，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为等差数列的首项，前5项和， 由等差数列的求和公式，可得，解得. 故答案为：. 3．（2023·上海宝山·统考一模）已知等差数列的前项和为，若则 【答案】 【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由等差数列的性质可得：， 所以， 故答案为：8. 4．（2023·上海普陀·统考一模）设是等差数列的前项和，若，则 . 【答案】21 【分析】由等差数列性质，得，结合等差数列前项和公式即可得. 【详解】由是等差数列，则，即， 则有. 故答案为：. 5.（24-25高三上·上海松江期末）已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 【答案】9 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 故，由，得. 故答案为：9 6．（2021·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）已知正项等差数列的前项和为，，则________． 【答案】22 【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出． 【解析】正项等差数列的前项和为. 由得，所以，（舍） 故答案为：22 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 题型02：与等差数列有关的基本运算 【例4】（2022·上海静安·统考模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________． 【答案】18 【分析】化简函数的解析式，函数图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果. 【解析】 ， 由，可得，当时，， 故函数的图象关于点对称， 由等差中项的性质可得， 故， 所以，数列的前项和为. 故答案为：18 【跟踪训练】 1．（22024高二下·上海浦东新·期中）各项均为正数的等比数列满足，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列的下标进行求解即可. 【解析】因为 所以， 故选：C 2．（2024上海徐汇·上海中学校考模拟预测）已知、、成等差数列，且公差．、、分别是的角、、的对边，则__． 【答案】 【分析】根据等差数列确定，，，变换得到，解得答案. 【解析】、、成等差数列，且公差，所以， 所以，且，即，是直角，， 即，即，即，，， 解得或（舍去） 故答案为： 3．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得： 设的公差为 又 又， 故选：D 考点二 等差数列的通项公式 题型03：利用定义求等差数列的通项公式 【例5】（2023•杨浦区二模）若在等差数列中，，，则通项公式　　． 【分析】根据所给的，，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式． 【解答】解：设数列的公差为 ，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前项和是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． 【跟踪训练】 1．（2023•松江区校级模拟）已知等差数列，，，则　　． 【分析】求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解． 【解答】解：设公差为， 由，， 得，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 2．（2023•松江区二模）参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 　　升． 【分析】设此等差数列为，公差，由题意可得：与的方程组，联立解出即可． 【解答】解：设此等差数列为，公差， 由题意可得：，， 则，，联立解得，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 3．（2022·上海徐汇·统考一模）在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【解析】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 题型04：利用Sn与an的关系求等差数列通项公式 【例6】（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________. 【答案】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】当时，由可得， 两式相减得，即， 即. 当时，，即， 所以，，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列. 则. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（24-25高三上·上海徐汇期末）记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两式作差何解可得，进而可以求解． 【详解】解：因为，则① 所以② ②①可得，所以， 即，所以， 所以，故答案为：． 2．（2024·上海青浦·一模）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】由所给等式得，两式相减可求得的通项公式，代入通项即可得解. 【详解】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 考点三 等差数列的判定与证明 题型05：等差数列的判断与证明 【名师点拨】判断证明等差数列方法 判断数列是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明） （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 【例7】（2024·江苏淮安·模拟预测）已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【详解】当成立时，即存在正整数，对任意的，，都有，则， 若，则，对任意的，都成立，即， 对于数列，满足上述条件，但不是等差数列，故由不能得到. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴，即恒成立， ∴由能得到. 综上得，是的必要不充分条件. 故选：B. 【例8】（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由等差数列的定义进行求解； （2）由（1）问得，则，再由裂项求和进行求解． 【详解】（1）在数列中，，且， ， 是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）得， 则， ，即， 又符合， ， 故， ． 则对， 又，故． 【跟踪训练】 1．（2025黄浦区校级联考模拟），若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，解得， 依题意，存在使得成等差数列， 即存在使得， 即存在使得， 则， ， 设，则， 函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增， 则， 所以，而且，所以. 故选：B 2.（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可. 【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B 3.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，. (1)证明：数列是等差数列， (2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可. （2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案. 【详解】（1）由题知，是等比数列， 设其公比为， 由， 可得：当时，， 两式相减得，， 故数列是等差数列. （2）由知： 当时，， 又，所以， 由（1）设的公差为， 则， 由， 则，， 所以 . 即数列的前20项和为. 考点四 等差数列的性质 题型06：等差中项 【例9】（2025黄浦区校级联考模拟）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解. 【详解】设的公比为， 又因为，，成等差数列， 所以，可得，解得或（舍去）. 故答案为：3. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列是等差数列，所以，即， 所以，故选：A 2.（2025上海高三阶段练习）已知数列满足，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】∵，∴是等差数列． 由等差数列的性质可得，， ∴，， ∴．故选：B 3.（2025上海高三阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等差数列中，，则有，即， 所以. 故选：D 题型07：等距性质 【名师点拨】如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 【例10】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（       ） A．74 B．81 C．162 D．148 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以，即， 所以. 故选：B 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三三模）已知等差数列满足，，则（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可. 【详解】设等差数列的公差为. 由，得，即①； 由，得，②； 由①②得， 则. 故选：A. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解. 【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以， 所以，所以. 故选：C． 3.（2025上海高三阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 故选：C. 题型08：单调性 【例11】（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论： ①数列是递减数列； ②数列是递减数列； ③数列的最大项是； ④数列的最小的正数是． 其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：等差数列的前项和能取到最大值， 数列是递减数列，且，故①正确； ， ，数列先增后减，故②错误； 由，，得，， 数列的最大项是，故③正确； 由，，得数列的最小的正数是，故④正确． 正确的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【例12】（22-23高三下·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且， 其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.故选：B 【跟踪训练】 1.设等差数列的前项和，公差为且，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，由，可得异号， 若，由，则，不满足题意，则，故A正确； 由于，则数列为递减数列，所以，故B正确； 由于时，；时，， 所以时，最大，故C错误； 又， ，故D正确. 故选：C. 2.已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项． 【答案】10 【详解】由题意得：，∴， ，∴，， ∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数， 因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于，∴{||}最小的项是第10项， 故答案为：10 3.（多选） 已知是等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为d， 由于，，故， 则，B错误； ，则数列为递减数列，A正确， 由以上分析可知，时，， 故的最大值为，C正确； ，D错误， 故选：AC 4.等差数列的前n项和为，若，，，则不正确的是（   ） A． B．数列是递减数列 C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，等差数列的公差， 数列是递减数列，B正确； 对于C，等差数列的前8项都为正，第9项为0，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C 题型09：衍生等差数列 【例13】（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】C 【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论. 【详解】因为数列各项为正数，满足，， 故对任意的，，则， 所以，数列的每一项都是正数， 所以，，可得， 由等差中项法可知，数列是等差数列， 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 2. （2025上海高三阶段练习）在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（ ） A．是开方差数列 B．若是开方差数列，则是等差数列 C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数） D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 【解析】A：，故不是开方差数列，错误； B：不一定为常数，错误； C：，所以为常数，即为开方差数列，正确； D：由题意，且，m为常数，则，所以时为常数，则为常数列，当时，，则也为常数列，正确. 故选：CD 3．（2025上海高三阶段练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是（ ） A．不可能为0； B．等差数列一定是等差比数列； C．等比数列一定是等差比数列； D．通项公式为的数列一定是等差比数列 【解析】A选项：若，则数列是常数列，所以分母为0，因为不可能为0，故A正确； B选项：当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B错误； C选项：当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C错误； D选项：因为， 所以，为常数，是等差比数列，故D正确， 故选：AD. 考点五等差数列前n项和的性质 题型10：等差数列前n项和与中项性质 【例14】（2024青浦高三校联考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】因为也成等差数列，故，同理 因为，所以，故 所以. 故选：D 【跟踪训练】 1.（21-22高三上·北京通州·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的前项和性质， 得，，也成等差数列，即， 又因，，则解得， 因此.故选：C. 题型11：等差数列片段和的性质 【名师点拨】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 【例15】（2025上海高三阶段练习）设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 【答案】 【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列， 所以也是等差数列， 因为，， 则构成等差数列， 所以， 解得：， 所以， 所以，即 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【解析】由题可知：成等差数列 所以，又，所以故选：A 2．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的前项和性质，得：，，也成等差数列， 即，又因，，则解得，因此.故选：C. 3．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项为，，，则的值为（ ） A．2 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，，成等差数列，故有，解得.故选：A. 4．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________． 【答案】 【解析】由题设成等差数列，所以，则， 所以.故答案为： 题型12：等差数列前n项和与n的比值问题 【名师点拨】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列． 【例16】等差数列中，，前项和为，若，则______． 【答案】 【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，，，， ，则故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 2．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法不正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 【答案】B 【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，. 对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对； 对于B选项，令，可得，B错； 对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对； 对于D选项，，则， 所以，， 故数列为等差数列，D对. 故选：B. 题型13：两个等差数列前n项和的比值问题 【例17】（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 【答案】/ 【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解. 【详解】因为，为等差数列，所以， 因为，所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2025嘉定区校级模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且， 所以． 故答案为：. 2.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 题型14：等差数列偶数项或奇数项的和 【例18】已知等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ） A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B 【解析】由等差数列前n项和的性质，得=29． 【例19】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【跟踪训练】 1．已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________． 【答案】29 【解析】由等差数列{an}的前n项和性质可知，当项数为2n－1时，，得中间项为第7项，此题n=13，，∴． 2．在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为d, ，解得，且 ，解得故答案为： 题型15：含绝对值的等差数列的前n项和 【名师点拨】 含绝对值等差数列前n项和求解步骤 由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项 （2）在对进行讨论，当时，，当时， 【例20】（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 【跟踪训练】 1．（2023·上海青浦·统考一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 【答案】或 【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解. 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 2.等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 (3)求数列的前16项的和. 【答案】(1) (2) (3)160 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， （2）由（1）知，， 所以， （3）由， 所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 3.已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 4.已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列. （2）解：由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和. 5.已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 题型16：等差数列前n项和的最值与范围 【名师点拨】等差数列前n项和最值方法 求等差数列前项和最值的2种方法 （1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 【例21】（22-23高三上·河南·开学考试）已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．21 D．22 【答案】C 【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案. 【详解】因为， 所以 所以故， 所以满足的正整数的最大值为21． 故选：C． 【例22】（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】C 【分析】通过分析得数列为递减的等差数列，根据得，，即可得到有最大值，为. 【详解】由得，∴数列为递减的等差数列， ∵，∴，， ∴当且时，，当且时，， ∴有最大值，最大值为. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2024大同中学高三三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（    ）①为的最小值  ②  ③，  ④为的最小值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案. 【详解】等差数列中，，则，故②正确； 又，所以，故，则，故③正确； 于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确； 则四个命题正确个数为. 故选：C. 2．（2024·上海嘉定·一模）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【详解】数列的前项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（22-23高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．和均为的最大值 D． 【答案】C 【解析】运用等差数列前n项和的性质、等差数列下标的性质进行判断即可. 【详解】由， 由，故选项B说法正确； 因为，，所以，因此选项A说法正确； 因为，所以等差数列是单调递增数列，因此没有最大值，故选项C说法错误； 由， 因为，所以，因此选项D说法正确. 故选：C 4．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程求得，得到且，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】由等差数列的公差为2，前项和为，若， 可得，解得， 所以，且， 因为，即，整理得，解得， 因为，所以使得成立的的最大值为. 故答案为：. 5．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 考点六 等差数列的综合问题 题型17：等差数列的实际应用 【例23】（2023·广东深圳·校考二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为，容易发现：，，，则（    ） A．45 B．40 C．35 D．30 【答案】B 【分析】根据题意，归纳推理，第层的圆球总数个数表达式，再将，，代入求解即可． 【详解】当时，第1层的圆球总数为， 当时，第2层的圆球总数为， 当时，第3层的圆球总数为， ． 所以第层的圆球总数为， 当时，，当时，， 故． 故选：B． 【跟踪训练】 1．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和，设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，解得，∴.故选：C. 2．（23-24高三上·北京西城·期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 升.(结果保留分数) 【答案】 【解析】记从下部算起第节的容量为， 由题意可知：数列为等差数列，设其公差为， 则，解得：， ，即从下部算起第节容量是升. 题型18 等差数列与其他知识的交汇 【例24】（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得函数周期，从而得到，然后由正弦型函数的单调增区间列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题知. 因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即， 所以，得.所以. 易知当时，单调递增， 即在上单调递增. 又在区间上单调递增，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：A. 【跟踪训练】 1.（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足，，.则的值为（    ） A．5 B．9 C．4023 D．4049 【答案】D 【分析】令，代入原式可得，利用等差数列通项公式基本量计算即可. 【详解】令，代入可得， 即，， 所以数列为等差数列，又，f(3)=9，所以公差， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 3.（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入得出，先说明为等差数列.进而由已知可得出，代入求解即可得出答案. 【详解】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 题型19：等差数列的综合问题 【例25】（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用等差数列求和公式求出，再解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 则， 所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故， 因为，所以，所以， 所以或， 因为，所以，所以的最小值是． 【跟踪训练】 1.（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 【答案】(1)； (2)8 (3) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）求等差数列的基本量即可求解； （2）令，利用裂项相消法即可求解； （3）由题意先求数列，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设公差为，所以， 所以，， （2）令， 所以， 所以，解得，所以满足的n的最小值为8； （3）由题意有，由， 所以当时，，所以， 当，时，，所以， 当时，，所以，当时，，所以， 同理得，， 设数列的前项和为， 所以 ， 所以数列的前14项和为. 1．（2025·上海·高考真题）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 3．（2024•上海）数列，，，的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题． 【解答】解：等差数列由，知数列为等差数列， 即， 解得． 故的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 5．【2022年上海市高考数学第10题】已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 【答案】98． 【解答】解：∵等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S5＝0， ∴0，解得a1＝﹣2d， ∴Sn＝na12nd（n2﹣5n）， ∵d≠0，∴Si（i＝0，1，2⋯，100）中S0＝S5＝0， S2＝S3＝﹣3d，S1＝S4＝﹣2d， 其余各项均不相等， ∴Si（i＝1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98． 故答案为：98． 6．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 【答案】 【分析】直接代入等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 7．【2020年上海市高考数学第8题】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则　　　　． 【答案】 【解答】解：根据题意，等差数列{an}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d， 所以． 故答案为：． 8．【2018年上海市高考数学第6题】记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6+a7＝14，则S7＝　　　　． 【答案】14 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝0，a6+a7＝14， ∴， 解得a1＝﹣4，d＝2， ∴S7＝7a128+42＝14． 故答案为：14． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 10．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$