精品解析：安徽省六安市金安区六安市汇文中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级阶段性系质评估三 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并艾回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 3. 如图，中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选C． 4. 如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C. 过弦的中点的直径垂直于弦 D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．过点C作于点D，根据等面积法算出，再根据勾股定理算出根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，中边上的高为3， 根据网格所在直角三角形可得 故选：A． 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为（ ）min． A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 3.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3. 5min， 故选择：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数性质的应用，涉及二次函数对称轴公式，记住抛物线对称轴公式是解题关键． 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 9. 如图，在四边形中，平分为边的中点，连接交于．若，则线段的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点G，如图，将图形补充成等边三角形，利用和都是含角的直角三角形得出，，的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长度，用等边三角形的性质推导，继而得出，，最后结合，利用这个比例式得到关于的方程，解出即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， 延长、交于点G，如图， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵平分， ∴C为的中点，且， ∴， 连接， ∵E为边的中点，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，利用判定并用其列出关于的方程是解题的关键． 10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为G， 在中，令，得，解得， 令，得， ，， 如图，过A作轴于E，过C作轴于F， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， ∴反比例函数表达式为， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等，涉及知识点较多，难度一般，掌握一线三等角模型，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点在上，若，则 【答案】 【解析】 【分析】取点，连接、，利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求解即可．本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，取点，连接、， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坡度坡角问题．注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意得：斜坡的坡度：，米，， ， （米）， ∴在中， （米） 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，二次函数，是常数，且的图象与轴的一个交点坐标为．若该函数图象的顶点坐标为，则__． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据解析式及顶点坐标可得对称轴为直线，根据对称性求出函数图象与轴的另一个交点坐标，进而得出二次函数的顶点式，即可求解． 【详解】解：函数图象的顶点坐标为， 对称轴为直线， 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为． 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为． ， ， ， 故答案为：9． 14. 如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是______ ；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为______ ． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】（1）如图，由及易证，所以点P在以为直径的圆上，连接，交于，此时长最小，根据勾股定理求解,进而求得为2； （2）如图，作交于，由可证，由知， 从而解得． 【详解】 解：∵四边形矩形， ， ∴ ∵， ， ， 以为直径作，经过点，连接，交于，此时长最小． ∵， ， ∴， 故答案为2． 作交于， ， ， ， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ． 故答案． 【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性质；明确动点P的轨迹，确定取最小值时点的位置是解题的关键；求长的关键是利用矩形的性质及（1）空的结论构造相似三角形求解． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 16. 如图，为直径，弦分别与半径相交，且． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． （1）利用弧和弦的对应关系，得出，即可得出结论； （2）利用弧和圆周角的关系得出的度数，最后根据弧的度数再求圆心角即可． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ， ∵， ∴， ， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的度数为， ∴的度数为， 的度数为， ∴的度数为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）一次函数的函数关系式为，反比例函数的函数关系式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，求函数的解析式，图象交点坐标和不等式的关系等内容，解题的关键是熟练掌握函数的图象和性质． （1）利用待定系数法分别进行求解即可； （2）通过图象的交点坐标即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴反比例函数的函数关系式为； 将代入得， ， ∴， 将和代入得， 解得， 所以一次函数的函数关系式为； 【小问2详解】 解：结合两函数图象的交点坐标， 当时，或． 18. 如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D． （1）求证：FB2=FE•FA； （2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比． 【答案】（1）∵AB∥CD， ∴∠A=∠D． 又∵∠CBF=∠D， ∴∠A=∠CBF， ∵∠BFE=∠AFB， ∴△FBE∽△FAB， ∴ ∴FB2=FE•FA； （2）5：4． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证明FB2=FE•FA，只要证明△FBE∽△FAB即可，根据题目中的条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决； （2）根据（1）中的结论可以得到AE的长，然后根据△ABE与△BEF如果底边分别为AE和EF，则底边上的高相等，面积之比就是AE和EF的比值． 试题解析：（1）略 （2）∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2 ∴32=2×（2+AE） ∴ ∴， ∴△ABE与△BEF的面积之比为5：4． 考点：相似三角形的判定与性质． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出． （2）作出关于坐标原点O成中心对称的． （3）判断是否可由绕某点M旋转得到；若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】 （1）如图所示： （2）如图所示 （3）点即为所求，点M坐标为（0，-1）： 【解析】 【分析】（1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段B1B2的垂直平分线，与线段AA2垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案． 【详解】（1）根据题意，得，， ，，绕点A顺时针旋转90°得：，， 分别连接、、，即为所求; （2），，关于坐标原点O成中心对称点分别为：，， 分别连接、、，即为所求． （3）如图所示，作线段B1B2的垂直平分线，与线段AA2的垂直平分线的交点即为旋转中心M 可由绕点M，顺时针旋转90°得到； 点M坐标为（0，-1）． 【点睛】本题考查了旋转、中心对称、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、中心对称、直角坐标系、垂直平分线的性质，从而完成求解． 20. 应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 应县木塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 应县木塔的同度约为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD=∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC=∠AEN=90°， ∵∠ANE=∠CNM， ∴∠BCD=∠BAM， ∴∠BAM=BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD=AN； （2）3； 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论； （2）先根据AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论； 【详解】（1）略 （2）∵AE=2，AE⊥CD， 又∵ON=1， ∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x， r=OD=OE+ED=2x-1 连结AO，则AO=OD=2x-1， ∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1， ∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2， 解得x=2， ∴r=2x-1=3. 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，是边上一点，于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若为中点， ①求证： ②连接，若，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，得到，利用四边形的内角和，邻补角的定义和同角的补角相等得到，利用相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）①利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换即可得出结论； ②过点作于点，设正方形的边长为，则，，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，． ， ， ， ， ． 四边形的内角和为，， ． ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：为中点， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， 为的中点， ， ， ， ； ②解：过点作于点，如图， 设正方形的边长为，则，， ， 设，则， ， ， ，， ， ，． 同理求得：， ． ． ，， ∴， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； （3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于每个函数，根据“纵三倍点”的定义，即点的纵坐标是横坐标的三倍，也就是，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）首先根据“纵三倍点”的定义，设出交点坐标为，因为该点在直线上，所以可以求出的值，得到交点坐标．然后将交点坐标代入抛物线解析式，再结合抛物线与直线只有一个交点，即联立方程后的判别式，从而求出和的值，得到抛物线的函数表达式． （3）根据“纵三倍点”的定义，将代入抛物线解析式，得到关于的一元二次方程．因为抛物线上有且只有一个“纵三倍点”，所以该一元二次方程有且只有一个解，即判别式，由此得到和的关系式．然后将用这个关系式进行转化，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求出的最值． 【小问1详解】 解：对于①，将代入， ， ， ； 此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”． 对于②，将代入， ， ， ， 解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”． 对于③，将代入， ， ， ， 解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”． 综上，答案为①③． 【小问2详解】 解：设交点为， ∵交点在上， ∴， 解得，则交点为． 将代入，得，即． 联立，消去得， 将代入得． ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ， ， 解得，则． 所以抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：将代入，得， 整理得． ∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”， ∴， ， ； 将代入，得． 对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为． 当时，，无最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级阶段性系质评估三 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并艾回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C. 过弦的中点的直径垂直于弦 D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式，则最佳加工时间为（ ）min． A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 3.5 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 9. 如图，在四边形中，平分为边的中点，连接交于．若，则线段的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数的图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，点在上，若，则 12. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 13. 在平面直角坐标系中，二次函数，是常数，且的图象与轴的一个交点坐标为．若该函数图象的顶点坐标为，则__． 14. 如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是______ ；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为______ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，为直径，弦分别与半径相交，且． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围． 18. 如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D． （1）求证：FB2=FE•FA； （2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转90°得，画出． （2）作出关于坐标原点O成中心对称的． （3）判断是否可由绕某点M旋转得到；若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标． 20. 应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 应县木塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 六、（本题满分12分） 21. 如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，是边上一点，于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若为中点， ①求证： ②连接，若，求正方形的边长． 八、（本题满分14分） 23. 定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； （3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $