精品解析：湖北省黄石市阳新县2024-2025学年七年级下学期期末素质检测数学试卷

阳新县2024-2025学年度下学期期末素质检测 七年级数学试题卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请交答题卡． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 调查神舟号火箭的零件安全情况． B. 公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能 C. 河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量 D. 公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度． 2. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 互为相反数两数和为零 3. 下列说法错误的是（　　） A. 0的平方根是0 B. 4的平方根是 C. 的平方根是 D. 2是4的算术平方根 4. 与最接近的整数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 用四根火柴棒可以摆成如图所示的“土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文字是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 如图，点A，B的坐标分别为．把沿x轴向右平移得到，如果点E的坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：① ② ③，则正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 12. 在第三象限内，点到轴距离为5，到轴的距离为2，则点坐标为___________． 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 15. 若m使得关于x的不等式只有2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有___________ 个． 16. 如图，是的网格，一只蚂蚁在网格左下角位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角的位置，且不能经过点，，和．则不同的走法共有_______种． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 19. 解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 20. 如图，点D、E、F分别在上，且，，下面写出了证明“”部分过程，请完成填空： ，（已知） ______，______（两直线平行，同位角相等） ． ______（ ） ． ______（ ） （等量代换） 21. 近年来，短视频平台成为青少年获取信息，娱乐放松的重要渠道．为更好地了解青少年对短视频内容的偏好，引导平台优化内容推荐算法，某知名短视频平台开展了专项调查． 调查对象与方法： 目标群体：至周岁注册用户 抽样方式：从平台数据库中随机抽取名活跃用户 数据收集：通过用户问卷与后台观看记录结合的方式，统计用户标记为“最喜欢”的视频类别 分类标准：类：知识科普；类：娱乐搞笑；类：生活技能；类：其他． 初步数据整理：平台整理出部分数据，绘制成了如下条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计信息，请你回答下列问题： （1）样本容量 ， ， ； （2）该平台拟计划对某区域内名该平台青少年用户开展一次“生活技能”互动教学活动，请根据样本数据估计大约需要准备多少份教学活动材料（每名用户一份材料）． （3）短视频中的娱乐搞笑类内容因其轻松幽默的特性吸引了广泛受众，但部分视频因价值引导取向不当，对社会文化生态和青少年成长构成潜在风险．如何规范此类内容，营造健康的上网环境，请你提出可供实施的建议． 22. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． （1）的整数部分为________； （2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 23. 学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； （2）甲、乙两队各有多少位学生？ （3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 24. 已知直线分别交直线，直线于点E，点F，射线平分，射线平分，． （1）如图1，求证：； （2）点P为射线上一动点，从点F出发，运动到E，A，P三点共线时停止，的角平分线为，的角平分线交直线于点Q． ①如图2，当时，求的度数； ②试探究与的数量关系，并说明理由． 25. 活动：二元一次方程的“图像”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图像． 二元一次方程的图像是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图像； （2）点、分别是图像上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当时，，求出R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳新县2024-2025学年度下学期期末素质检测 七年级数学试题卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请交答题卡． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 调查神舟号火箭的零件安全情况． B. 公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能 C. 河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量 D. 公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．调查神舟号火箭的零件安全情况，适合普查，故A符合题意； B．公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能，适合抽样调查，故B不符合题意； C．河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量，适合抽样调查，故C不符合题意； D．公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度，适合抽样调查，故D不符合题意． 故选：A． 2. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 互为相反数的两数和为零 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的性质、垂直以及对顶角和相反数的性质等知识判断即可，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，不符合题意； B、两直线平行，内错角相等，为真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题，符合题意； D、互为相反数的两数和为零，为真命题，不符合题意 故选：C． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 0的平方根是0 B. 4的平方根是 C. 的平方根是 D. 2是4的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0的平方根是0，原说法正确，不符合题意； B、4的平方根是，原说法正确，不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，符合题意； D、2是4的算术平方根，原说法正确，不符合题意； 故选C． 4. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键． 直接得出，进而得出最接近的整数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与无理数最接近的整数是4． 故选：B． 5. 用四根火柴棒可以摆成如图所示的“土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文字是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只改变位置，不改变形状，大小和方向，所以平移后的图形中，有两根火柴棒的头部向上，两根火柴棒的头部向右，据此可得答案． 【详解】解；原图形中，有两根火柴棒的头部向上，两根火柴棒的头部向右， ∵平移只改变位置，不改变形状，大小和方向， ∴平移后的图形中，有两根火柴棒的头部向上，两根火柴棒的头部向右， ∴四个选项中，只有D选项中的图形符合题意， 故选；D． 6. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，点A，B的坐标分别为．把沿x轴向右平移得到，如果点E的坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点坐标平移，平移的性质等．根据题意可知点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，继而利用平移性质可得本题答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，把沿x轴向右平移得到，如果点E的坐标为， ∴点A和点D是对应点，点B和点E是对应点， ∴点向右平移2个单位长度得到E， ∴点向右平移2个单位长度为：， 故选：A． 8. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可． 【详解】解：由题意知，符合题意的方程组为， 故选：A． 9. 用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：① ② ③，则正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列不等式组，根据题意分析不等式组即可得到答案． 【详解】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空． 则① ② ③，都成立， 故选：D 10. 如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念， 根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵平分， ∴ 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故C不符合题意；D选项符合题意． 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故B选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的比较大小．先估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ，即， ，即， ， 故答案为：． 12. 在第三象限内，点到轴距离为5，到轴的距离为2，则点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第三象限内，点到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标，纵坐标， ∴点P的坐标为． 故选：． 13. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 15. 若m使得关于x的不等式只有2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有___________ 个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据方程组的解的情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有2个整数解列出不等式组求出m的取值范围；解方程组得到，则可得，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵m使得关于x的不等式只有2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有5，6，7，共3个， 故答案为：3． 16. 如图，是的网格，一只蚂蚁在网格左下角位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角的位置，且不能经过点，，和．则不同的走法共有_______种． 【答案】34 【解析】 【分析】此题考查了坐标的特点，关键是在图形上逐点标出，从左边来的走法加上从下边来的走法就是该点的走法；如果有不经过的点，它右边的点，就只有从下边来的走法；它上边的点，就只有从左边来的走法；直到最后一点，是左边来的走法加上下边来的走法，即可得解． 【详解】如图所示，采用格点法，每点的走法都一一标出，左侧边和下边各个点都是只有一种走法，从下向上，第二行，c点不经过，它右边第一点有1种走法，第二点有2种走法，F点不走，它右边的点，只有1种走法； 向上第三行，第二个点，只有左边来1种走法，向右第三点，可以从左边和从下边走，第四点，从左走2种加上从下边走的2种种走法； 因为F点不走，F上边的点只有从左边来的4种，再向右，右边第六点有左边的4种加上下边的1种，种走法； 向上的第四行，从左向右各点的走法依次1，，，，，； 继续向上的第五行，D点不经过，后面点依次有4，，E点不经过，最右边的点只有从下边来的17种； 最上一行，从左向右，依次有1，1，．，17； 到达B的方法就是从左来的17种方法加上从下边来的17种方法． ∴不同的走法共有34种． 故答案为： 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根及立方根的性质，根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式解得， 所以， 把这个不等式组的解集表示在数轴上： 19. 解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的方法，需要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据甲看错了，求出的值是多少，然后根据乙看错了，求出的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：根据题意，可得 ， 解得：， ， 解得：； ，可得： ， 把代入，解得：， ∴方程组的正确解是． 20. 如图，点D、E、F分别在上，且，，下面写出了证明“”的部分过程，请完成填空： ，（已知） ______，______（两直线平行，同位角相等） ． ______（ ） ． ______（ ） （等量代换） 【答案】；；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．先推出，，再推出，利用平角的性质即可求解． 【详解】证明：，（已知） ，（两直线平行，同位角相等） ． （两直线平行，内错角相等） ． （两直线平行，同位角相等） （等量代换） ． 21. 近年来，短视频平台成为青少年获取信息，娱乐放松的重要渠道．为更好地了解青少年对短视频内容的偏好，引导平台优化内容推荐算法，某知名短视频平台开展了专项调查． 调查对象与方法： 目标群体：至周岁注册用户 抽样方式：从平台数据库中随机抽取名活跃用户 数据收集：通过用户问卷与后台观看记录结合的方式，统计用户标记为“最喜欢”的视频类别 分类标准：类：知识科普；类：娱乐搞笑；类：生活技能；类：其他． 初步数据整理：平台整理出部分数据，绘制成了如下条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计信息，请你回答下列问题： （1）样本容量 ， ， ； （2）该平台拟计划对某区域内名该平台青少年用户开展一次“生活技能”互动教学活动，请根据样本数据估计大约需要准备多少份教学活动材料（每名用户一份材料）． （3）短视频中的娱乐搞笑类内容因其轻松幽默的特性吸引了广泛受众，但部分视频因价值引导取向不当，对社会文化生态和青少年成长构成潜在风险．如何规范此类内容，营造健康的上网环境，请你提出可供实施的建议． 【答案】（1） （2）大约需要准备份教学活动材料 （3）完善监管机制；强化平台责任；家庭和学校引导；鼓励正向创作；社会共治等 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据条形统计图求得的值，根据类的人数除以总人数求得的值，用类的占比，求得的值； （2）根据样本估计总体，用乘以类的占比，即可求解． （3）根据题意写出建议，言之有理即可． 【小问1详解】 解：，，则， 故答案为： ． 【小问2详解】 答：大约需要准备份教学活动材料 【小问3详解】 完善监管机制；强化平台责任；家庭和学校引导；鼓励正向创作；社会共治等 22. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． （1）的整数部分为________； （2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】（1）13 （2）示意图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； 【小问2详解】 解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 23. 学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； （2）甲、乙两队各有多少位学生？ （3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】（1） （2）甲队有40人，乙队有35人 （3）一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； 【小问2详解】 解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； 【小问3详解】 解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 24. 已知直线分别交直线，直线于点E，点F，射线平分，射线平分，． （1）如图1，求证：； （2）点P为射线上一动点，从点F出发，运动到E，A，P三点共线时停止，的角平分线为，的角平分线交直线于点Q． ①如图2，当时，求的度数； ②试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质得，则； （2）①设直线交射线于点，则，所以而，所以， 则，即可根据四边形的内角和等于，求得的度数是； ②作，则，得到，所以，同理，而，且，所以． 【小问1详解】 证明：射线平分，射线平分， ， ， ， ， 【小问2详解】 ①解：如图2，设直线交射线于点，则， ， ， ， 平分平分， ， ， ， 的度数是. ②解：． 理由：如图3，作，则， ， ， 同理， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出及是解题的关键． 25. 活动：二元一次方程的“图像”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图像． 二元一次方程的图像是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图像； （2）点、分别是图像上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当时，，求出R的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①是定值，值为2；②或 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，平面直角坐标系，网格中求图形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别取两个二元一次方程的两个解，得到点到坐标，在平面直角坐标系中标出点再连接两点即可得到图像； （2）①根据题意将点分别代入中得到，，进而即可求出； ②根据题意分别得到点，坐标，设的坐标为，再分两种情况讨论：当点在轴正半轴上时，过点分别作轴、轴的垂线，过点作轴的平行线，交点分别为点，连接．当点在轴负半轴上时，结合建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：令中的、分别等于零，得到， 连接两点即可得到图像； 令中的分别等于零，得到， 连接两点即可得到图像，如图所示：（解法不一） 【小问2详解】 解：①由题意可得：， ， 把点代入，得：， ， ， 是定值，值为2． ②点、分别是、图像上的点， 当时，，解得，所以点坐标为； ， 当点在轴正半轴上时，过点分别作轴、轴的垂线，过点作轴的平行线，交点分别为点，连接． 设的坐标为， ， ， ， ， 解得：， ， 当点在轴负半轴上时， 同理， ， 解得：， ； 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$