专项巩固训练试卷（4）圆内常见的十种辅助线-2025-2026学年九年级上册数学苏科版（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

专项巩固训练试卷（4）圆内常见的十种辅助线 类型一 连半径——构造等腰三角形 1．（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•沭阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝21°，则∠BOE的度数等于　 °． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（2023秋•哈密市期末）如图，⊙O的半径为4，A，B，C三点在圆上，∠ABC＝30°，则AC的长等于 　 ． 类型二 做弦心距——构造直角三角形 5．（2024秋•蒙阴县期中）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3 cm C．cm D．cm 6．（2024•耒阳市一模）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．3 C．4 D．5 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5） 类型三 作直径——转移思想 8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 9．（2023秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，，求AB的长； （Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 类型四 作弦——构造90°的圆周角 10．（2021秋•萧山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC． （1）求证：∠ADG＝∠F； （2）已知CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径长． 11．（2024•牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 12．（2024秋•秦淮区期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AB是⊙O的直径，则∠A+∠B+∠D度数为　 　 ． 13．（2024•双峰县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 14．（2024•宿城区一模）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝5，则AD＝　 ． 15．（2021•杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E． （1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE； （2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB． 类型五 作弦——构造圆内接四边形 16．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形； （2）AF＝EF． 17．（2024秋•姑苏区校级期中）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　） A．62° B．56° C．34° D．54° 类型六 证切线——知公共点，连半径，证垂直 18．（2024秋•泗阳县期末）如图，AB为⊙O直径，射线AC交⊙O于点F，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若DE＝4，EF＝2，求线段BD的长度． 19．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝8，DC＝12，求⊙O的半径； （3）如图2，F为中点，连接EF，在（2）的条件下，求EF的长． 类型七 证切线——未知公共点，作垂直，证半径 20．（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 类型八 见内切圆，连切点或顶点 22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆⊙O的半径r为（　　） A．2 B．1 C． D． 类型九 见外接圆，连半径 作用：外心到个顶点的距离相等 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 类型十 见两切线长，连接切点和圆心，或连接圆心和圆外一点，或连接两切点 24．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．点A、B都在以PO为直径的圆上 C．AB与PD相互垂直平分 D．PC为△BPA的边AB上的中线 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项巩固训练试卷（4）圆内常见的十种辅助线 类型一 连半径——构造等腰三角形 1．（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，证明OE∥AC，再由OA＝OD，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得∠DOE的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接OD，OE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠ABC＝70°， ∴∠OEB＝∠C＝70°， ∴OE∥AC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，， ∵OE∥AC， ∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE， ∴的长度为， 故选：C． 【总结提升】本题考查了弧长的求解，得到圆心角和半径是解题的关键． 2．（2023秋•沭阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝21°，则∠BOE的度数等于　63　 °． 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：连接OD， ∵CD＝OA＝OD，∠C＝21°， ∴∠ODE＝2∠C＝42°， ∵OD＝OE， ∴∠E＝∠EDO＝42°， ∴∠EOB＝∠C+∠E＝42°+21°＝63°， 故答案为：63． 【总结提升】考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【思路引领】连接OA，OC，根据圆周角定理得圆心角为90°，根据勾股定理求出AC，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD． 【详解】解：如图，连接OA，OC． ∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°， 在Rt△AOC中，根据勾股定理得： AC2． ∵CD⊥AB，∠CAB＝30°， ∴CDAC． 故选：C． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中构造圆心角，利用圆周角定理是解题的关键． 4．（2023秋•哈密市期末）如图，⊙O的半径为4，A，B，C三点在圆上，∠ABC＝30°，则AC的长等于 　4　 ． 【分析】根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ABC，所以证明△OAC是等边三角形，已知OA＝OC＝4，可得AC． 【详解】解： ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴AC＝OA＝OC＝4， 故答案为：4． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 类型二 做弦心距——构造直角三角形 5．（2024秋•蒙阴县期中）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3 cm C．cm D．cm 【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出OP即可． 【详解】解：过O作OC⊥AB于C， 则∠OCP＝∠ACO＝90°， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AC＝BCAB8cm＝4cm， ∵BP＝2cm， ∴PC＝BC+BP＝6cm， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC3（cm）， 在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP3（cm）， 故选：D． 【总结提升】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦． 6．（2024•耒阳市一模）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．3 C．4 D．5 【分析】作OF⊥BC于F，得BC＝2FC，由DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°，得OA＝OE＝OC＝3，OD＝3﹣1＝2，由∠ADC＝30°，得OFOD＝1，故BC＝2FC＝24． 【详解】解：作OF⊥BC于F， 得BC＝2FC， 由DE＝1，AD＝5，∠ADC＝30°， 得OA＝OE＝OC＝3，OD＝3﹣1＝2， 由∠ADC＝30°， 得OFOD＝1， 故BC＝2FC＝24． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了圆的计算，解题关键是垂径定理的应用． 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　） A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5） 【分析】过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，由切线的性质可求得PD的长，则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的长，从而可求得P点坐标． 【详解】解： 如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB， ∵P为圆心， ∴AC＝BC， ∵A（0，2），B（0，8）， ∴AB＝8﹣2＝6， ∴AC＝BC＝3， ∴OC＝8﹣3＝5， ∵⊙P与x轴相切， ∴PD＝PB＝OC＝5， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC4， ∴P点坐标为（4，5）， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键． 类型三 作直径——转移思想 8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 【思路引领】连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长． 【详解】解：连接AB，如图所示， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°． ∵∠ADC＝30°， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°． ∴在Rt△ABC中， tan∠ABC， ∴BC． ∵AC＝4， ∴BC4． 故选：A． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键． 9．（2023秋•思明区校级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，，求AB的长； （Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 【分析】（Ⅰ）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB； （Ⅱ）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BCBD，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH，然后在Rt△BCH中计算出CH，从而得到AC的长． 【详解】解：（Ⅰ）如图1， ∵∠DAB＝90°， ∴BD为直径，即BD＝12， ∵， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴ABBD＝6； （Ⅱ）如图2，作BH⊥AC于H， ∵∠DAB＝90°， ∴BD为直径，BD， ∴∠BCD＝90°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠BAC＝45°， ∴∠CBD＝∠BDC＝45°， ∴△CDB为等腰直角三角形， ∴BCBD， 在Rt△ABH中，AH＝BHAB， 在Rt△BCH中，CH， ∴AC＝AH+CH4． 【总结提升】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质． 类型四 作弦——构造90°的圆周角 10．（2021秋•萧山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC． （1）求证：∠ADG＝∠F； （2）已知CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径长． 【分析】（1）连接BG，根据圆周角定理得到∠AGB＝∠AEF＝90°，根据余角的性质得到∠B＝∠F，等量代换得到结论； （2）连接OD，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到DE＝CECD＝3，根据勾股定理结论得到结论． 【详解】（1）证明：连接BG， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴∠AGB＝∠AEF＝90°， ∴∠BAG+∠B＝∠EAF+∠F＝90°， ∴∠B＝∠F， ∵∠ADG＝∠B， ∴∠ADG＝∠F； （2）解：①连接OD，设⊙O的半径为r， ∴OD＝OB＝r， ∵BE＝2， ∴OE＝r﹣2， ∵CD⊥AB， ∴DECD＝3， 在Rt△ODE中，OD2＝DE2+OE2， ∴r2＝（r﹣2）2+32， 解得：r， ∴⊙O的半径长为． 【总结提升】本题考查的是垂径定理，圆周角定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 11．（2024•牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BEC＝20°， ∴∠CAB＝∠BEC＝20°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°， 故选：B． 【总结提升】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2024秋•秦淮区期中）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AB是⊙O的直径，则∠A+∠B+∠D度数为　90°　 ． 【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解． 【详解】解：连接BE， ∴∠D＝∠CBE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠A+∠ABE＝∠A+∠ABC+∠D＝90°， 即∠A+∠B+∠D度数为90°， 故答案为：90° 【总结提升】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13．（2024•双峰县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠CBD∠ABC＝20°，即可求出∠A＝90°﹣∠ABD＝70°． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵D是的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC40°＝20°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°． 故选：C． 【总结提升】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠CBD． 14．（2024•宿城区一模）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝5，则AD＝　5　 ． 【分析】连接CD、OC，根据弧、弦、圆周角之间的关系证明△ACD是等腰直角三角形，即可求得AD的长． 【详解】解：如图，连接CD、OC． ∵∠DAC＝∠ABC， ∴， ∴AC＝CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝5， ∴ADAC＝5． 故答案为：5． 【总结提升】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，证明△ACD是等腰直角三角形是关键． 15．（2021•杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E． （1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE； （2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB． 【分析】（1）利用AC＝BD得到，则，然后根据圆周角定理得到∠ADB＝∠CAD，从而得到结论； （2）作直径CF，连接DF，如图2，先利用垂直定义得到∠ADE+∠CAD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∠CDF＝90°，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】证明：（1）∵AC＝BD， ∴， 即， ∴， ∴∠ADB＝∠CAD， ∴AE＝DE； （2）作直径CF，连接DF，如图2， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD， ∴∠ACB+∠F＝90°， ∵CF为直径， ∴∠CDF＝90°， ∴∠F+∠FCD＝90°， ∴∠ACB＝∠FCD， 即∠OCD＝∠ACB． 另一种方法：∵AC⊥BD， ∴∠ACB+∠DBC＝90°， ∵∠DBC＝∠F， ∵CF为直径， ∴∠CDF＝90°， ∴∠F+∠FCD＝90°， ∴∠ACB＝∠FCD， 即∠OCD＝∠ACB． 【总结提升】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 类型五 作弦——构造圆内接四边形 16．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形； （2）AF＝EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：（1）∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠BAC＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴BD∥CF， ∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形； （2）连接AE， ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠B， ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF＝180°， ∵BD∥CF， ∴∠ECF+∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AF＝EF． 【总结提升】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 17．（2024秋•姑苏区校级期中）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　） A．62° B．56° C．34° D．54° 【分析】先根据∠AOD＝68°，AO∥DC得出∠ODC＝∠AOD＝68°，再由OA＝OD得出∠ADO的度数，进而得出∠ADC的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOD＝68°，AO∥DC， ∴∠ODC＝∠AOD＝68°， ∴OA＝OD， ∴∠ADO56°， ∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝56°+68°＝124°， ∵四边形ADCB是圆内接四边形， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣124°＝56°． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 类型六 证切线——知公共点，连半径，证垂直 18．（2024秋•泗阳县期末）如图，AB为⊙O直径，射线AC交⊙O于点F，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若DE＝4，EF＝2，求线段BD的长度． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠ODA＝∠BAD，而∠BAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，所以OD∥AC，由DE⊥AC于点E，得∠AED＝90°，则∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）连接DF，由∠FED＝90°，DE＝4，EF＝2，求得FD2，由∠BAD＝∠FAD，得，则BD＝FD＝2． 【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∵弦AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）解：连接DF， ∵∠FED＝90°，DE＝4，EF＝2， ∴FD2， ∵∠BAD＝∠FAD， ∴， ∴BD＝FD＝2， ∴线段BD的长度是2． 【总结提升】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝8，DC＝12，求⊙O的半径； （3）如图2，F为中点，连接EF，在（2）的条件下，求EF的长． 【思路引领】（1）连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接OC，过点O作OF⊥AE于点F，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可； （3）连接AF，BF，BE，过点B作BH⊥EF于点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC． ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC． ∵AD⊥CD于点D， ∴OC⊥CD． ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接OC，连接CE，过点O作OF⊥AE于点F，如图， 则AF＝EFAE． 由（1）知：CD是⊙O的切线， ∴∠DCE＝∠DAC． ∵∠D＝∠D， ∴△CDE∽△ADC， ∴CD2＝DE•DA， ∵DE＝8，DC＝12， ∴DA＝18． ∴AE＝DA﹣DE＝18﹣8＝10， ∴EF＝5， ∴DF＝EF+DE＝5+8＝13． 由（1）知：OC⊥CD， ∵DA⊥CD，OF⊥AD， ∴四边形OFDC为矩形， ∴OC＝DF＝13， ∴⊙O的半径为13； （3）解：连接AF，BF，BE，过点B作BH⊥EF于点H，如图， 由（2）知：⊙O的半径为13，AE＝10， ∴AB＝26， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴BE24． ∵F为中点， ∴， ∴AF＝BFAB＝13， ∴∠FAB＝∠FBA＝45°， ∵∠FEB＝∠FAB， ∴∠FEB＝45°， ∴△BHE为等腰直角三角形， ∴BH＝HEBE＝12． ∵BH⊥EF， ∴HF5， ∴EF＝EH+HF＝12517． 【总结提升】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，圆的切线的判定与性质，切割线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 类型七 证切线——未知公共点，作垂直，证半径 20．（2023•银川校级四模）如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长． 【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD＝FD即可证明：⊙D与AC相切； （2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长． 【详解】（1）证明：过D作DF⊥AC于F， ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴BD＝DF， ∴DF是圆的半径， ∴⊙D与AC相切； （2）解：设圆的半径为x， ∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5， ∴AB4， ∵AC，BC，是圆的切线， ∴BC＝CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝2， ∵AB＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x， 在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22， 解得：x， ∴AE＝4﹣3＝1． 【总结提升】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 【思路引领】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）根据勾股定理求出AC＝15，然后根据切线长定理可得AF＝AB＝12，利用勾股定理即可求出半径． 【详解】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF， ∴AC与⊙D相切； （2）解：∵AB＝12，BC＝9， ∴AC15， ∵AC与⊙D相切，AB与⊙D相切， ∴AB＝AF＝12， ∴CF＝AC﹣AF＝15﹣12＝3， ∵DC＝BC﹣BD＝9﹣DF， 在Rt△DCF中，根据勾股定理得： DF2+FC2＝DC2， ∴DF2+32＝（9﹣DF）2， ∴DF＝4． ∴⊙D的半径为4． 【总结提升】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等． 类型八 见内切圆，连切点或顶点 22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆⊙O的半径r为（　　） A．2 B．1 C． D． 【思路引领】根据∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可得AB5，设△ABC三边内切⊙O于点D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD＝OE＝OF，可得四边形CEOF是正方形，OE＝OF＝OD＝CE＝CF＝r，连接OA、OB、OC，由S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，列出方程即可求出△ABC的内切圆⊙O的半径r的值． 【详解】解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 设△ABC三边内切⊙O于点D、E、F，连接OD、OE、OF， ∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD＝OE＝OF， 可得四边形CEOF是正方形， ∴OE＝OF＝OD＝CE＝CF＝r， 连接OA、OB、OC， ∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC， 即AC•BCAB•ODAC•OEBC•OF， ∴3×4＝5r+3r+4r， 解得r＝1． ∴△ABC的内切圆⊙O的半径r为1． 故选：B． 【总结提升】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的定义． 类型九 见外接圆，连半径 作用：外心到个顶点的距离相等 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 【思路引领】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果． 【详解】解：连接OA，OB，OC， ∵∠BDC＝50°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝100°， ∵， ∴∠BOC＝∠AOC＝100°， ∴∠ABC∠AOC＝50°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°． 故选：B． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角． 类型十 见两切线长，连接切点和圆心，或连接圆心和圆外一点，或连接两切点 24．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．点A、B都在以PO为直径的圆上 C．AB与PD相互垂直平分 D．PC为△BPA的边AB上的中线 【思路引领】连接OA、OB，如图，根据切线长定理和切线的性质得到PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB，则可对A选项进行判断；由于∠OAP＝∠OBP＝90°，则根据圆周角定理可对B选项进行判断；利用PA＝PB，OB＝OA可判断OP垂直平分AB，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：连接OA、OB，如图， ∵PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B， ∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB， ∴△BPA为等腰三角形，所以A选项的结论成立； ∵∠OAP＝90°，∠OBP＝90°， ∴点A、B都在以PO为直径的圆上，所以B选项的结论成立； ∵PA＝PB，OB＝OA， ∴OP垂直平分AB，所以C选项的结论不一定成立，D选项的结论成立． 故选：C． 【总结提升】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、线段的垂直平分线的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$