精品解析：四川省邻水中学2026届高三上学期7月月考数学试题

邻水中学高2023级高三上学期七月月考 数学试题 2025.07.24 一．选择题（共8小题，满分30分） 1. 高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（ ） A. 55.8kg B. 54.6kg C. 52.4kg D. 51.8kg 【答案】B 【解析】 【分析】设女生的平均体重为，根据平均数的计算公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：高二（1）班有24名女生，有16名男生， 设女生的平均体重为，则，解得． 故选：B． 2. 复数（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用虚数单位的性质，复数的乘法公式即可求解. 【详解】原式，故B正确. 故选：B. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】由题意，，所以. 故选：D 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 5. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题可得， 因为，所以. 故选：B 6. 如图，过点的直线交抛物线于，两点，点在之间，点与点关于原点对称，延长交抛物线于，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点斜式求解直线方程为，与抛物线联立可得，进而可得，即可由斜率公式化简求解. 【详解】设直线方程为且，, 由，则直线方程为， 联立， 由韦达定理可得，将其代入可得 故, 由可得，即， 解得，故, 故, 故选：A 【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 7. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式列方程组求得和公差后可得结果. 【详解】设等差数列首项为，公差为， 由，， 则，解得 则. 故选：C. 8. 已知是方程的两个根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理与两角和的正切公式结合求解即可. 【详解】由韦达定理可得，，， 又，故. 故选：A 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若， ，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前n项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， 对于A，，且，则是等比数列，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，由知，，则，， 即，，数列是递增数列，C正确； 对于D，显然，则，而， 因此，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. C. 若方程有四个解，则的取值范围是 D. 是的极大值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数为偶函数，直接可以得到A；对B，代值计算；对C，利用导数研究函数的单调性，然后转化为与曲线交点个数可得；对D，通过原函数单调性的判断可得结果. 【详解】对A，由函数是定义在上的偶函数，则， 当时，，所以当时，，正确； 对B，由A可知：，错误； 对C，当时，，， 若，则；若，则， 所以当时，函数在单调递减，在单调递增，且， 又函数是定义在上的偶函数， 所以当时，函数在单调递减，在单调递增， 当与曲线有四个交点时，， 所以若方程有四个解，则的取值范围是，正确； 对D，是的极大值点，故错误； 故选：AC 11. 已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题给条件可得，再根据相似三角形的比例关系即可判断A选项；由A知，，，，离心率，即可判断B、C两项；由题知点横坐标为，纵坐标与相同，所以可得，又点在渐近线上，得，则可得，再代入即可判断D. 【详解】 由题知，且，所以. 又因为为直径，在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知平面向量，，，，，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量垂直数量积为0求出的值，再根据向量的平方等于模长的平方即可求解. 【详解】， 因为，所以，解得， 又因为， 所以， 故答案为： 13. 若函数在处取得极值4，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数和极值点的关系列出方程组即可求解. 【详解】因为在处取得极值4， 所以且. 又，所以①， 又②， 联立①②，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 14. 在一个棱长为10dm的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______dm． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当四个铁球的球心的连线，构成正四面体时半径最大，根据相切计算半径即可. 【详解】记该正四面体为四面体，铁球的最大半径为， 当铁球的半径最大时，把四个铁球的球心两两相连， 此时构成一个棱长为的正四面体， 设I为正三角形的中心，连接， 则dm， ， 即，解得. 所以正四面体的中心O到底面ABC的距离为dm， 又O也是正四面体的中心，同理可得，O到底面ABC的距离为dm， 即，解得． 故答案为：. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象分别可求，根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式， （2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解； （3）当时，，即利用整体代换法即可求解值域. 【小问1详解】 由图知， 设的最小正周期为，则， ，解得． ． 又， 即，又， ． 【小问2详解】 令，· 得， 的单调递减区间为． 【小问3详解】 当时，， 即当时，取到最小值， 当时，取到最大值， ， · ， 即在区间上的值域为. 16. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出，从而求出，即可求解方程； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可. 【小问1详解】 由焦点为得，又离心率，得到， 所以，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消y得， ，得到， 由韦达定理得，，， 又因为， 又原点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即，满足， 所以直线l的方程为. 17. 如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. （1）求证:； （2）如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点， 所以，因为四边形为菱形， 所以，所以. 因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面， 又平面，所以. （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，可证明垂直于含有的平面即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面的法向量求出来，最后利用向量的数量积是否为0即可证明；（ii）将平面的法向量求出来，基于（i）中求出的平面的法向量，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，由代入计算，然后检验即可得到结果； （2）根据题意，先由导数求得函数的极值，然后求得端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得， 经检验符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则，， 令，解得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数有极小值， 时，函数有极大值， 且，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 19. 某企业新研发并生产一批产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品． （1）求一件产品的次品率； （2）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．每件产品的质检费用为2元/个，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个（质检为次品的产品只记一次质检费用）．若有1000件产品等待质检，请估计质检和更换次品电子元件的总费用为多少元？（结果取整数） 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）元 【解析】 【分析】（1）根据对立事件，先求正品的概率，即可求解次品的概率； （2）依题意，，列出分布列并求出期望； （3）设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为，则，利用期望的性质求解. 【小问1详解】 记“任取一件产品为次品”为事件， ； 【小问2详解】 依题意，， 所以， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为， 则， 所以， 所以总费用为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邻水中学高2023级高三上学期七月月考 数学试题 2025.07.24 一．选择题（共8小题，满分30分） 1. 高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（ ） A. 55.8kg B. 54.6kg C. 52.4kg D. 51.8kg 2. 复数（ ） A. B. 5 C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 6. 如图，过点的直线交抛物线于，两点，点在之间，点与点关于原点对称，延长交抛物线于，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 8. 已知是方程的两个根，且，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若， ，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前n项和，则 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. C. 若方程有四个解，则的取值范围是 D. 是的极大值点 11. 已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知平面向量，，，，，则的值是______. 13. 若函数在处取得极值4，则__________． 14. 在一个棱长为10dm的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______dm． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域． 16. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 17. 如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. （1）求证:； （2）如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 19. 某企业新研发并生产一批产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品． （1）求一件产品的次品率； （2）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．每件产品的质检费用为2元/个，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个（质检为次品的产品只记一次质检费用）．若有1000件产品等待质检，请估计质检和更换次品电子元件的总费用为多少元？（结果取整数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $