精品解析：河南省郑州市惠济区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024~2025学年下学期学业质量调研样题 八年级数学 （时间：100分钟 分数：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “数x不大于2”，是指（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，据此可以证明，证明的依据是（　　） A. AAS B. ASA C. SAS D. HL 3. 下列不等式中．与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形是（ ） A. B. C. D. 5. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 且 6. 如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 7. 小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 惠济游 C. 我爱惠济 D. 美我惠济 8. 如图，在中，对角线，相交于点，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 6 9. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（ ）个 A 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 解不等式组：的解为______． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为______． 13. 如果，则的值为________． 14. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 15. 如图，在中，，，，点D为的中点，以为一边在边上方作等腰直角，将绕着点A逆时针旋转，当旋转到B、D、E三点共线时，线段的长为_____． 三、解答题（共75分） 16. （1）分式化简：． （2）解不等式组并在数轴上表示出解集：． 17. 请用文字叙述三角形的中位线定理，并进行证明．在证明过程中，体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 18. 阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： （1）已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． （2）已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 19. 和是全等的等腰直角三角形，、、，点E是上一动点，点F在线段的延长线上，当时，交于点G，连接． （1）求证：． （2）当点E运动到使的位置时，判断的形状，并说明理由． 20. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解： （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 21. 如图（1），． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点D，使四边形为平行四边形； （2）如图（2），如果平行四边形的面积为c，在上取任意一点E，在上任取一点F，连接，，，，设与交于点G，与交于点H，如果的面积为a，的面积为b，则和的面积和为多少？（用含c、a和b的式子表示） 22. “一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点：第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 4000 2 B种 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品单价比A款文创产品的单价少15元，A，B款文创产品的数量相同”． 【建立模型】 请你解决下列问题． （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． （1）当点F与点C重合时，求的长． （2）如图，连接，．在点F的运动过程中： ①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由． ②当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年下学期学业质量调研样题 八年级数学 （时间：100分钟 分数：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “数x不大于2”，是指（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据数x不大于2，得，即可作答． 【详解】解：∵数x不大于2， ∴， 故选：B 2. 如图，，，据此可以证明，证明的依据是（　　） A. AAS B. ASA C. SAS D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】依据图形可得到是公共边，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判断是解题的关键． 3. 下列不等式中．与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】解：根据题意，可得， A、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； B、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； C、与组成的不等式组时，此不等式组无解，符合题意； D、与组成的不等式组时，此不等式组解集为，不符合题意； 故选：C 4. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、，不能判定四边形为平行四边形，有可能是等腰梯形，符合题意； 故选D． 5. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 即且， 故选：D． 6. 如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质定理可判断A，证明，可判断B，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断C，根据直角三角形的性质，可判断D． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点，于点， ∴，故选项A成立，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B成立，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分，故选项C成立，不符合题意； ∵，即， ∴，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 7. 小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 惠济游 C. 我爱惠济 D. 美我惠济 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 【详解】解：∵， 又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 8. 如图，在中，对角线，相交于点，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等．利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（ ）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据异分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解：依题意，小明做法不正确， 正确过程如下：原式； 小亮做法不正确，分式运算不能去掉分母， 正确的过程如下：原式； 小芳的做法正确， 故选：C 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴，过作轴，垂足分别为， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，与关于原点对称， ，，，，，，， 观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期， ， 即点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 解不等式组：的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再找到它们的公共部分，即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，且，，则的周长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键．首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于D、E两点， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：13． 13. 如果，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根据完全平方公式变形，求出，然后将所求分式的分子、分母同时除以x2，最后利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴=， =， =7； ∴， ， ， ， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求分式的值，掌握完全平方公式和分式的基本性质，解题的关键是熟练整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形． 14. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点D为的中点，以为一边在边上方作等腰直角，将绕着点A逆时针旋转，当旋转到B、D、E三点共线时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，再分点E在延长线上和点E在上两种情况，画出示意图，求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 连接， 当点E在延长线上时，如图，   ∵，点D为的中点，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 当点E在上时，如图， 此时，两点重合， ∴； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. （1）分式化简：． （2）解不等式组并在数轴上表示出解集：． 【答案】（1）；（2），详见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式化简，解一元一次不等式组，合并解集的口诀为：大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小则无解，熟记上述口诀是解题的关键． 先算括号内的通分，因式分解等，约分即可；先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集. 详解】（1）解：原式 ． （2）解： 解：由①，得， 由②，得， 所以，不等式组的解为， 不等式组的解集在数轴上表示如下， 17. 请用文字叙述三角形的中位线定理，并进行证明．在证明过程中，体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 【答案】三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，详见解析；B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理的证明，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先根据三角形中位线定理写出三角形中位线定理，再写出对应的已知和求证，延长到到F，使，连接，证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，，据此可证明结论． 【详解】解：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半； 已知：如图，是的中位线． 求证：，． 证明：如图，延长到到F，使，连接 ∵E是的中点， ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 在证明过程中，体现的数学思想主要是转化思想． 18. 阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： （1）已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． （2）已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】（1）p的值为6 （2）另一个因式为，k的值为 【解析】 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【小问1详解】 解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； 【小问2详解】 设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 19. 和是全等的等腰直角三角形，、、，点E是上一动点，点F在线段的延长线上，当时，交于点G，连接． （1）求证：． （2）当点E运动到使的位置时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）是等腰直角三角形，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角以及已知条件可得，即，进而得到即可解答． 【小问1详解】 证明：∵和是全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴等腰直角三角形． 20. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解： （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义计算，即可解答； （2）根据新定义计算，即可解答； （3）根据新定义可得，由可化为，代入即可解答． 小问1详解】 解：∵为“十字分式方程”， ∴， ； 故答案为：． 【小问2详解】 ∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴． 【小问3详解】 ∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴， ∴． 21. 如图（1），． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点D，使四边形为平行四边形； （2）如图（2），如果平行四边形的面积为c，在上取任意一点E，在上任取一点F，连接，，，，设与交于点G，与交于点H，如果的面积为a，的面积为b，则和的面积和为多少？（用含c、a和b的式子表示） 【答案】（1）详见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先作线段的垂直平分线交于，延长至，使，连接，则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得即为所求； （2）连接，因为四边形是平行四边形，所以，根据两平行线间的距离处处相等，进而得到等底等高的两三角形面积相等，易证的面积和的面积相等，进一步即可解决． 【小问1详解】 解：如图（答案不唯一），即为所求． ； 【小问2详解】 解：如图： 连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， 同理， ，， 四边形的面积， ∴和的面积和为； 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，三角形的面积的计算，熟练的作图是解本题的关键. 22. “一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点：第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 4000 2 B种 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B款文创产品的数量相同”． 【建立模型】 请你解决下列问题． （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A款文创产品的进货单价是元，B款文创产品的进货单价是元 （2）购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润时1800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．根据，两款文创产品的数量相同，再建立分式方程求解即可； （2）设总利润为元，购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，由题意得，可得．设销售完这批货后获得利润为元，可得，再利用一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设A款文创产品的进货单价是元，则B款文创产品的进货单价是元，根据题意：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则， 答：A款文创产品的进货单价是元，B款文创产品的进货单价是元； 【小问2详解】 解：设总利润为元，购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件， 根据题意，得， 解得． 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，W的最大值为， 此时， 答：购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是1800元． 23. 如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． （1）当点F与点C重合时，求的长． （2）如图，连接，．在点F的运动过程中： ①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由． ②当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①和总相等，详见解析；②14或11或8 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得四边形、四边形是平行四边形，再由已知推导出是的平分线，由等腰三角形的性质可得，过点作交于点，求出，再由等面积法求出的长即可得到答案，所以； （2）①证明，则可证明； ②过点作交于，由等积法可得，求出，分三种情况讨论：当时，；当点与点重合时，，此时，当时，，在中，，可得；当时，，过点作交于，所以，能求出，，则；当时，，当点在上时，，此时点与点重合，此时． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，， 由平移可知，，， 四边形、四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 如图1，过点作交于点，设交于M， ， ， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：①，证明如下： 如图2，，，， ， ； ②如图2，过点作交于， 由①可知， ， 当时， ， ， ， ， 当时，，在中，， ； 当时，， ， ， 过点作交于， ， ，， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， 当点在上时，，此时点与点重合， ； 综上所述：的长为14或11或8． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，平行四边形的性质与判定，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$