第2章 实数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 实数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．关于的叙述正确的是（   ） A．在数轴上不存在表示 的点 B． C． D．与最接近的整数是3 6．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上，和对应的点分别为A、B，点A是线段的中点，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图，的直角边在数轴上，点A表示，且，若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C．1.2 D． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 9．（22-23八年级上·北京石景山·期末）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（21-22八年级上·山东济南·期中）若的两边a，b满足，则它的第三边c为（   ） A．5 B．5或 C． D．或 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算： ． 12．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 13．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 14．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 15．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 16．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 17．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 18．（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) （2)． 20．（本题6分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 21．（本题8分）（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 22．（本题8分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 23．（本题8分）（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3） 已知，，为的三边长．化简：． 25．（本题10分）（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 26．（本题10分）（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 实数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性即可得答案． 【规范解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（   ） A．7 B．16 C．25 D．81 【答案】D 【思路引导】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键． 【规范解答】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ∴ 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的大小估算，实数的大小比较，解题的关键是算出a，b，c的值． 先根据平方根，立方根的概念得出，再根据无理数的大小估算得出，进而即可比较． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 5．关于的叙述正确的是（   ） A．在数轴上不存在表示 的点 B． C． D．与最接近的整数是3 【答案】D 【思路引导】本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，算术平方根等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，求算术平方根即可． 【规范解答】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示的点，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、与最接近的整数是3，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上，和对应的点分别为A、B，点A是线段的中点，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查数轴上表示的数以及中点的定义，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解题的关键．由点A是线段的中点，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：设点C所对应的实数为， 点A是线段的中点， ， 和对应的点分别为A、B， ， ， 解得， 故选：D． 7．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图，的直角边在数轴上，点A表示，且，若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C．1.2 D． 【答案】D 【思路引导】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果．本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 【规范解答】解：由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为；, 故选D． 8．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【规范解答】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【考点评析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 9．（22-23八年级上·北京石景山·期末）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【思路引导】估算出无理数的大小，进而可以求解． 【规范解答】解：， ， ， ， 点距离此点最近． 故选：B． 【考点评析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值． 10．（21-22八年级上·山东济南·期中）若的两边a，b满足，则它的第三边c为（   ） A．5 B．5或 C． D．或 【答案】B 【思路引导】首先根据非负数的性质求得a=3，b=4；然后由勾股定理求得c的长度．这里需要分类讨论：4为直角边和斜边两种情况． 【规范解答】解：∵Rt△ABC的两边a,b满足， ∴a-3=0且b-4=0． ∴a=3，b=4． 当b为直角边时，由勾股定理知：，即c=5； 当b为斜边时，由勾股定理知：，即c=； 综上所述，c为5或． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·四川内江·期中）计算： ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键． 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：9． 12．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【规范解答】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 13．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【规范解答】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 14．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：由勾股定理得：， 以点为圆心，为半径画弧交数轴于点， 所表示的数为， 的值为， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握利用数轴判断式子或字母的符号、绝对值的性质和二次根式的性质是解题关键．由数轴可知：，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【规范解答】解：由图可知：，， ， 故答案为：． 16．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了无理数的估算，找出整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． 【规范解答】， ， 整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． ，， ， 故答案为：1． 17．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【规范解答】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．观察式子可知：，，故可看作平方的结果． 【规范解答】解：， ． 故答案为： 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是银题的关键． （1）先化简各二次根式，再计算括号内的，然后计算除法，最后计算加减即可； （2）先用完全平方公式计算，二次根式除法法则计算，再计算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（本题6分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用，实数的混合运算： （1）求出边长，即可得出结果，根据两点间的距离公式求出线段的长度即可； （2）①根据数轴上点的移动规则，进行计算即可；②利用非负性进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，线段的长度为； （2）①由题意，得：实数c的值为； ②∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴或． 21．（本题8分）（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 22．（本题8分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 23．（本题8分）（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】（1）1（2） 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，理解题意熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据隐含条件得出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴得，，，进一步判断出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【规范解答】解：（1）隐含条件， 解得， ， ； （2）由数轴得，，， ，， ． 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【规范解答】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 25．（本题10分）（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【答案】(1)；10 (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ； ， =10． 故答案为：；10； （2）， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 26．（本题10分）（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）（2）（3）长为，宽为（4）图见解析 【思路引导】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【规范解答】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 因此如下图即为所求： 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$