专题2.4 实数（章节复习）知识梳理+27个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.4 实数（章节复习） （知识梳理+27个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平方根 2 知识点梳理02：无理数 3 知识点梳理03：立方根的定义 3 知识点梳理04：实数 4 知识点梳理05：二次根式 4 知识点梳理06：二次根式的乘除法法则 5 知识点梳理07：最简二次根式 6 知识点梳理08：同类二次根式 6 知识点梳理09：二次根式的加减 6 知识点梳理10：二次根式的混合运算 6 优选题型 考点讲练 7 考点1：实数的性质 7 考点2：实数与数轴 8 考点3：实数的大小比较 10 考点4：勾股定理与无理数 11 考点5：利用算术平方根的非负性解题 13 考点6：无理数整数部分的有关计算 14 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 16 考点8：算术平方根的实际应用 17 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 18 考点10：利用平方根解方程 19 考点11：已知一个数的立方根，求这个数 20 考点12：立方根的实际应用 22 考点13：算术平方根和立方根的综合应用 23 考点14：程序设计与实数运算 24 考点15：利用二次根式的性质化简 25 考点16：复合二次根式的化简 26 考点17：二次根式的乘除混合运算 28 考点18：二次根式的加减运算 29 考点19：二次根式的混合运算 30 考点20：分母有理化 31 考点21：已知字母的值，化简求值 33 考点22：比较二次根式的大小 34 考点23：二次根式的应用 35 考点24：实数的混合运算 37 考点25：新定义下的实数运算 38 考点26：实数运算的实际应用 39 考点27：与实数运算相关的规律题 41 中考真题 实战演练 43 难度分层 拔尖冲刺 45 基础夯实 45 培优拔高 49 知识点梳理01：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点梳理02：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理03：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点梳理04：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识点梳理05：二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根 式。 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 知识点梳理06：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法 （3） 则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 知识点梳理07：最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点梳理08：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点梳理09：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点梳理10：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 考点1：实数的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【规范解答】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【规范解答】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【考点评析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 考点2：实数与数轴 【典例精讲】实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 【变式训练】（24-25八年级上·北京昌平·期中）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长 ，点F表示的数是 ． 【答案】 / 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据正方形的边长为3，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【规范解答】解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F表示的数为． 故答案为：；． 考点3：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 【答案】 【思路引导】本题考查实数的大小比较，根据被开方数越大，二次根式越大直接比较即可得到答案； 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 【答案】(1)，或， (2)当时，；当时，． 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，根据平方根求原数： （1）根据无理数的估算方法求出的范围即可求出a、c的值，根据平方根的定义即可求出b的值； （2）根据（1）所求先求出的结果，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵在两个连续的自然数和之间， ∴或 ∵是的一个平方根， ∴； ∴，或，； （2）解：当，时，， ∵， ∴， ∴； 当时，． 考点4：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2）解：如图，在中，， 则，即点F表示． 【变式训练】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【规范解答】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 考点5：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】，20 【思路引导】本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键． 先计算整式混合运算，利用非负数求出的值，最后代入求值即可． 【规范解答】解：由得， ， 解得， 将代入上式得， 原式． 【变式训练】（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 考点6：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得的小数部分，的整数部分，再代入求值即可． 【规范解答】（1）解：， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，则， ∵，则， ∴． 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·广东江门·期中）计算： ． 【答案】/ 【思路引导】此题考查了化简绝对值、算术平方根的性质，首先化简绝对值，然后计算加减即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 【答案】(1)， (2)，见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证； 【规范解答】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想＝，＝ 故答案为：， （2）解：猜想＝，验证如下： 考点8：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 【答案】王芳的想法不可行． 【思路引导】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【规范解答】解：设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又 ，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行． 【变式训练】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算．先由正方形面积为2可知边长为，而后根据点A表示的数为0即可得到答案． 【规范解答】解：∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为0， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【思路引导】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由可得， ， ， 的立方根是3． 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、平方根以及一元一次方程的应用等知识，理解并掌握算术平方根、平方根的定义和性质是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可知，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列出方程，求出的值，然后求出的值，最后求出这个正数即可． 【规范解答】（1）解：∵，且的算术平方根为3， ∴，解得； （2）解：∵一个正数的平方根为，， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数为． 考点10：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中的 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查的是利用平方根的含义解方程，利用立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可． 【规范解答】（1）解： 或 或； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 考点11：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， 的平方根为． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 考点12：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【规范解答】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长． 【答案】(1)6厘米 (2)5厘米 【思路引导】本题主要考查了立方根、算术平方根的应用，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体体积公式列式求解即可； （2）设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，根据长方体的体积公式可得求解即可获得答案． 【规范解答】（1）解：由题可知，铁块的棱长为（厘米）； （2）由题可知，长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴这个正方形的边长为5厘米． 考点13：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（20-21七年级下·广西柳州·期中）若，则 的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根的定义可得，进而代入根据立方根的定义即可求解 【规范解答】解：∵ ∴ 即 故答案为： 【考点评析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)． 【变式训练】（20-21八年级上·河南洛阳·期中）如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】5 【思路引导】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得的值，将的值代入计算得出的值，再求其立方根即可． 【规范解答】解：一个正数的两个平方根是和， ， ． ， ． ， 的立方根为5， 的立方根为5， 故答案是：5． 【考点评析】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力． 考点14：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【规范解答】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了程序图的运算，求算术平方根和立方根，无理数的判断，相反数的概念等知识，解题的关键是根据题意列出算式． 根据程序图将代入利用算术平方根和立方根的性质求解即可． 【规范解答】当输入的x值为2时， ∴64的算术平方根为8，是有理数 ∴8的立方根为2，是有理数， ∴2的算术平方根为，是无理数 ∴输出 ∴y的相反数为． 故答案为：． 考点15：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、立方根，再计算加减法即可； （2）先计算负整数指数幂、绝对值和二次根式，再去括号计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点16：复合二次根式的化简 【典例精讲】（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【思路引导】根据二次根式的性质化简即可求解． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式训练】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 考点17：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （）分别计算二次根式除法和乘法，再合并即可求解； （）分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘除法运算化简，再合并，即可求解； （2）根据完全平方公式及二次根式的性质，先化简，再合并，即可求解． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 考点18：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算: (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的运算，涉及到了平方差公式和二次根式的混合运算，解题关键是掌握运算法则与方法． （1）先化简二次根式与计算乘方和去绝对值，再计算即可； （2）先计算二次根式的除法和平方差，再合并即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2） 【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各数，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点19：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂与负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算立方根、化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂，再计算加减法即可得． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和二次根式的乘除运算法则先化简，再合并即可，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ． 考点20：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ∴ ∴ 考点21：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【规范解答】（1）； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ； (2)若 的小数部分a， 求的值 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题考查了无理数的估算，平方差公式的计算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，即可知道的小数部分， （2）与（1）同理得，则，然后代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴， 则的小数部分是， 即， 则． 考点22：比较二次根式的大小 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ，， ∵， ∴， ∴； （2）解： ，， 又，即， ， ∴， ∴． 【变式训练】（22-23七年级下·山东临沂·期中）比较大小： 填“>”，“<”或“=”）． 【答案】< 【思路引导】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数作差，判断差的正负即可． 【规范解答】解：∵ ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数的大小比较，掌握用作差法比较实数大小是解题的关键． 考点23：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【规范解答】解：由的三边长分别为4，5，7， 得． ∴三角形的面积． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）活动课上，淇淇打算用长方形卡纸做一个长、宽、高的比为的长方体纸盒，且纸盒的底面积为，他设计的展开图（阴影部分）如图所示（恰好剪出），关于①、②，下列判断①这个长方体纸盒的体积为；②该长方形卡纸的长为，宽为；正确的是（   ） A．①、②都不对 B．①、②都对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】B 【思路引导】本题考查算术平方根的应用，认识立体图形．设长方体纸盒的长是、宽是、高是，得到，求出，即可求出这个长方体纸盒的体积，该长方形卡纸的长和宽． 【规范解答】解：∵长方体纸盒的长、宽、高的比为， ∴设长方体纸盒的长是、宽是、高是， ∴， ∴（舍去负值）， ∴这个长方体纸盒的体积， 该长方形卡纸的长为，宽为， ∴①对②对． 故选：B． 考点24：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根，立方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算即可； （2）首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和立方根，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【规范解答】解： ． 考点25：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【规范解答】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 【答案】 或 0或 【思路引导】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 【规范解答】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 考点26：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 【变式训练】（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【思路引导】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 考点27：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【答案】(1) (2)18 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． （1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可； （2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【规范解答】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； （2）解： ． ． 【变式训练】．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3)40 【思路引导】本题考查了二次根式的分母有理化和规律探究，找到规律是解题的关键； （1）根据已知的等式找到规律即可解答； （2）根据（1）等式规律即可解答； （3）根据（2）的规律将每一项变形后再计算加减即可． 【规范解答】（1）解：∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：， ∴第5个等式是； 故答案为：． （2）解：由（1）题的等式规律可得：第个等式为（为正整数）； 故答案为：； （3）解： ． 1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根定义，进行求解即可．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 2．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【规范解答】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 4．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式的运算，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【思路引导】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【规范解答】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 基础夯实 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了二次根式的加减运算，除法运算，以及二次根式的化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加减法，除法运算法则和二次根式的化简性质求解即可． 【规范解答】解：A：，计算正确，故此选项符合题意； B：，显然，原计算错误，故此选项不符合题意； C：，故，显然，原计算错误，故此选项不符合题意； D：，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【规范解答】解： ． 故选A． 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用非负数的性质可得，，即得，，得到以为边的等腰三角形的三边可能为或，再根据三角形的三边关系解答即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴以为边的等腰三角形的三边可能为或， 当三边为时，，三角形不存在； 当三边为时，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 本题作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【规范解答】解：作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，如图所示： ， 在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：； 5．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到的值； （2）仿照（1）的作法，取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形，解答即可． （3）请仿照方法化简解答即可． 本题考查了勾股定理，分母有理化，无理数的作图，熟练掌握勾股定理，分母有理化是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到； 故答案为：． （2）解：取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形， 以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，于数轴交于点C， 如图：    则点C即为所求． （3）解：， 故 ． 培优拔高 6．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【规范解答】A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【规范解答】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 9．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先算除法及二次根式化简，再合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，并化简绝对值，最后合并同类二次根式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 【答案】(1)2，3，5 (2) (3)120 (4)1 【思路引导】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ， ∴，， ∴． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 实数（章节复习） （知识梳理+27个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平方根 2 知识点梳理02：无理数 3 知识点梳理03：立方根的定义 3 知识点梳理04：实数 4 知识点梳理05：二次根式 4 知识点梳理06：二次根式的乘除法法则 5 知识点梳理07：最简二次根式 6 知识点梳理08：同类二次根式 6 知识点梳理09：二次根式的加减 6 知识点梳理10：二次根式的混合运算 6 优选题型 考点讲练 7 考点1：实数的性质 7 考点2：实数与数轴 7 考点3：实数的大小比较 8 考点4：勾股定理与无理数 8 考点5：利用算术平方根的非负性解题 9 考点6：无理数整数部分的有关计算 10 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 10 考点8：算术平方根的实际应用 11 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 11 考点10：利用平方根解方程 12 考点11：已知一个数的立方根，求这个数 12 考点12：立方根的实际应用 13 考点13：算术平方根和立方根的综合应用 14 考点14：程序设计与实数运算 14 考点15：利用二次根式的性质化简 14 考点16：复合二次根式的化简 15 考点17：二次根式的乘除混合运算 15 考点18：二次根式的加减运算 16 考点19：二次根式的混合运算 16 考点20：分母有理化 17 考点21：已知字母的值，化简求值 18 考点22：比较二次根式的大小 19 考点23：二次根式的应用 19 考点24：实数的混合运算 20 考点25：新定义下的实数运算 20 考点26：实数运算的实际应用 20 考点27：与实数运算相关的规律题 21 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 24 知识点梳理01：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点梳理02：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理03：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点梳理04：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识点梳理05：二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根 式。 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 知识点梳理06：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法 （3） 则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 知识点梳理07：最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点梳理08：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点梳理09：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点梳理10：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 考点1：实数的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 考点2：实数与数轴 【典例精讲】实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·北京昌平·期中）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长 ，点F表示的数是 ． 考点3：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 【变式训练】（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． (1)求a，b，c的值． (2)比较与的大小． 考点4：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【变式训练】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 考点5：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【变式训练】（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 考点6：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【变式训练】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·广东江门·期中）计算： ． 【变式训练】（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 考点8：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 【变式训练】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 【变式训练】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 考点10：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）求下列各式中的 (1) ； (2) 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) 考点11：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 考点12：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长． 考点13：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（20-21七年级下·广西柳州·期中）若，则 的值为 ． 【变式训练】（20-21八年级上·河南洛阳·期中）如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 考点14：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 考点15：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点16：复合二次根式的化简 【典例精讲】（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【变式训练】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 考点17：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（1）计算：； （3） 计算： 考点18：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算: (1) ． (2) 【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1) ； (2)． 考点19：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) ； (2) 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算． 考点20：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 考点21：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ； (2)若 的小数部分a， 求的值 考点22：比较二次根式的大小 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 考点23：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）活动课上，淇淇打算用长方形卡纸做一个长、宽、高的比为的长方体纸盒，且纸盒的底面积为，他设计的展开图（阴影部分）如图所示（恰好剪出），关于①、②，下列判断①这个长方体纸盒的体积为；②该长方形卡纸的长为，宽为；正确的是（   ） A．①、②都不对 B．①、②都对 C．①对②不对 D．①不对②对 考点24：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算． (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： 考点25：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 考点26：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【变式训练】（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 考点27：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【变式训练】．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 2．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 4．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 基础夯实 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）求 的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 培优拔高 6．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 9．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$