专题2.2 平方根与立方根（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.2 平方根与立方根 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：求一个数的算术平方根 5 考点2：利用算术平方根的非负性解题 6 考点3：估计算术平方根的取值范围 7 考点4：无理数整数部分的有关计算 7 考点5：与算术平方根有关的规律探索题 8 考点6：算术平方根的实际应用平方根概念理解 9 考点7：求一个数的平方根 9 考点8：求代数式的平方根 10 考点9：求代数式的平方根 10 考点10：利用平方根解方程 10 考点11：立方根概念理解 11 考点12：求—个数的立方根 12 考点13：已知一个数的立方根，求这个数 12 考点14：立方根的实际应用 12 考点15：算术平方根和立方根的综合应用 13 考点16：程序设计与实数运算 14 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 16 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 考点4：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 考点5：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【变式训练】（21-22八年级·江苏·假期作业）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 x 0.04 y 400 … (1)表格中x＝　 　；y＝　 　； (2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈1.435，则≈　 　； ②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　． 考点6：算术平方根的实际应用平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 考点7：求一个数的平方根 【典例精讲】（21-22八年级上·河北保定·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（20-21七年级下·湖南长沙·期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为． 王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法． 考点8：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列实数（每相邻两个1之间依次多1个2）、中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 考点9：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【变式训练】（21-22九年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 考点10：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 【变式训练】（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和， (1)求，的值； (2)求的值． 考点11：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 考点12：求—个数的立方根 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 考点13：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数，，，，0.010101…中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 姓名：×××得分：________ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③ ； ④．⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A．16分 B．12分 C．8分 D．4分 考点14：立方根的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) (2) (3) 已知的平方根是，的立方根是2，是的小数部分，求． 【变式训练】（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 考点15：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【变式训练】（21-22七年级下·甘肃武威·期末）已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 考点16：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 3．（2021·四川南充·中考真题）若，则 ． 4．（2021·广西百色·中考真题）实数的整数部分是 ． 5．（2021·广东·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D．9 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）下列实数：，0，，0.31313，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，，则 ． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： ． 5．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的算术平方根． 10．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 培优拔高 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 15．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 16．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 17．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 19．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）（1）计算：； （2）如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 平方根与立方根 （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：求一个数的算术平方根 5 考点2：利用算术平方根的非负性解题 6 考点3：估计算术平方根的取值范围 8 考点4：无理数整数部分的有关计算 9 考点5：与算术平方根有关的规律探索题 10 考点6：算术平方根的实际应用平方根概念理解 12 考点7：求一个数的平方根 13 考点8：求代数式的平方根 14 考点9：求代数式的平方根 15 考点10：利用平方根解方程 16 考点11：立方根概念理解 17 考点12：求—个数的立方根 18 考点13：已知一个数的立方根，求这个数 19 考点14：立方根的实际应用 21 考点15：算术平方根和立方根的综合应用 22 考点16：程序设计与实数运算 23 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 31 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【规范解答】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2)8 【思路引导】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加法即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，再去括号，最后计算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】，20 【思路引导】本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键． 先计算整式混合运算，利用非负数求出的值，最后代入求值即可． 【规范解答】解：由得， ， 解得， 将代入上式得， 原式． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质、一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形的面积公式列式即可； （3）设点，则，然后根据的面积是的面积的2倍，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ， 又点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：设点，则， 当时，， 由题意得：， 解得：， ∴点P的坐标为或． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【规范解答】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 【变式训练】（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【答案】1 【思路引导】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【规范解答】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考点4：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； （2）解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 考点5：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【思路引导】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 【变式训练】（21-22八年级·江苏·假期作业）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 x 0.04 y 400 … (1)表格中x＝　 　；y＝　 　； (2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈1.435，则≈　 　； ②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　． 【答案】(1)0.4；40 (2)①143.5；②0.03489 【思路引导】（1）把n=0.16代入x=求解即可；把n=1600代入y=求解即可； （2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解； ②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解． 【规范解答】（1）解：当n=0.16时，x===0.4， 当n=1006时，x===40， 故答案为：0.4，40； （2）解：①已知≈1.435，则≈143.5； 故答案为：143.5； ②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489． 故答案为：0.03489． 【考点评析】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑． 考点6：算术平方根的实际应用平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、平方根以及一元一次方程的应用等知识，理解并掌握算术平方根、平方根的定义和性质是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可知，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列出方程，求出的值，然后求出的值，最后求出这个正数即可． 【规范解答】（1）解：∵，且的算术平方根为3， ∴，解得； （2）解：∵一个正数的平方根为，， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数为． 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，根据算术平方根性质求出，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，， ∴， 同理，得， ∵，即， ∴正方形的边长，即． ∴正方形的边长可能是． 故选：B． 考点7：求一个数的平方根 【典例精讲】（21-22八年级上·河北保定·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可得． 【规范解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 无意义，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了平方根、算术平方根的定义以及它们最基本的运算，熟练理解这些概念是解决本题的关键；需要特别注意的是：负数没有平方根和算术平方根，正数有两个平方根，正数有一个算术平方根． 【变式训练】（20-21七年级下·湖南长沙·期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为． 王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法． 【答案】这个正数为4或1，正确过程见解析 【思路引导】根据平方根和算术平方根的概念求解即可． 【规范解答】解：依题意可知：是两数中的一个． ①当时 解得：，则：，所以这个正数为； ②当 解得：，则：，所以这个正数为． 综上，这个正数是或． 【考点评析】本题考查平方根和算术平方根的定义、解一元一次方程，解答的关键是熟知一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根，零的平方根为0 ，负数没有平方根． 考点8：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列实数（每相邻两个1之间依次多1个2）、中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【规范解答】解：， ，是有理数， 无理数有：、（每相邻两个1之间依次多1个2）、共三个． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根，以及算术平方根的非负性，先根据算术平方根的非负性得出，即，再代入，然后进行平方根，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∴的平方根是． 考点9：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【思路引导】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【规范解答】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 【变式训练】（21-22九年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【答案】 【思路引导】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【规范解答】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 考点10：利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，无理数的估算，根据立方根和平方根的定义可求出a、b的值，根据无理数的估算方法可得的取值范围，进而求出c的值，再由平方根的定义可得答案． 【规范解答】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式训练】（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和， (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质． （1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可； （2）把a，b的值代入，然后根据二次根式的性质化简即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∴． ∵正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． 考点11：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【思路引导】本题考查了立方根和平方根的应用，理解平方根和立方根的定义是解题关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， 解得：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的计算方法是关键． （1）根据平方根的意义得到，即可得到的值； （2）变形为，根据立方根的意义得到，即可得到的值． 【规范解答】（1）解： ∴    ∴或 （2）解： ∴ 考点12：求—个数的立方根 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解此题的关键． （1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解； （2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ． （2）解： ． 考点13：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数，，，，0.010101…中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的定义，算术平方根，立方根等知识，根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【规范解答】解：在，，，，0.010101…中，无理数有，，，共3个， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 姓名：×××得分：________ 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是；②的绝对值是；③ ； ④．⑤平方根与立方根相等的数是0和1； A．16分 B．12分 C．8分 D．4分 【答案】C 【思路引导】本题考查倒数、绝对值、算术平方根、立方根及平方根与立方根相等的数的概念，需逐一判断各小题的正误，统计正确题数后计算得分即可． 【规范解答】解：①的倒数是，而非，故错误； ②的绝对值是，故正确； ③表示4的算术平方根，结果为，而非，故错误； ④，故正确； ⑤平方根与立方根相等的数只有（的平方根和立方根均为），而的平方根为，立方根为，不相等，故错误； 综上，正确题数为②和④，共2题，得分为分， 故选：C． 考点14：立方根的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4)已知的平方根是，的立方根是2，是的小数部分，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，平方根、立方根，估计无理数的取值范围： （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减运算； （3）先化简二次根式，计算立方根，再进行加减运算； （4）根据立方根及算术平方根的定义求出a，b的值，再估算出的取值范围即可求出c的值，代入代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解：由题意知，， 联立，得， 解得， 由，得，即， 则的小数部分为：，即， 故． 【变式训练】（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【规范解答】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 考点15：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【答案】正方体的棱长约为 【思路引导】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【规范解答】解：设正方体的棱长为， 由题意得，，即， ∵， ∴； 答：正方体的棱长约为． 【变式训练】（21-22七年级下·甘肃武威·期末）已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【思路引导】根据立方根的性质得到a=64，求出=8，由此得到答案． 【规范解答】解：∵a的立方根是4， ∴a=43=64， ∴， ∵8的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了由一个数的立方根求这个数，求一个数的平方根，熟练掌握立方根定义及平方根定义是解题的关键． 考点16：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【规范解答】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，根据流程图逐个求解即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得， 输入时， ，是有理数，再次返回输入得到是无理数输出， 故答案为：． 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【规范解答】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2021·四川南充·中考真题）若，则 ． 【答案】 【思路引导】利用平方根的定义解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】此题考查平方根的定义：一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，熟记定义是解题的关键． 4．（2021·广西百色·中考真题）实数的整数部分是 ． 【答案】10 【思路引导】根据，即可得出的整数部分． 【规范解答】解：， 即， ∴的整数部分为10， 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是确定无理数位于哪两个整数之间． 5．（2021·广东·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【思路引导】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值． 【规范解答】∵，，且 ∴， 即，且 ∴， ∴ 故选：B． 【考点评析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零． 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查实数的分类，根据无理数的定义（无限不循环小数）逐项判断即可． 【规范解答】解：A.是分数，属于有理数，不符合题意； B.是整数，属于有理数，不符合题意； C.是有限小数，属于有理数，不符合题意； D.是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）下列实数：，0，，0.31313，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如…等；字母表示的无理数，如π等． 根据无理数的定义判断得出即可． 【规范解答】解：， 无理数有：，，共2个， 故选：A 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】26或38 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，完全平方公式的应用．利用算术平方根的性质求得，利用完全平方公式求得，再分情况讨论，代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：26或38． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了零指数幂，求算术平方根、去绝对值符号，解题的关键是掌握相应的运算法则，先对各项进行求解或化简，再算加减运算． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 【答案】4或5 【思路引导】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决本题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得到，求出的值即可求解． 【规范解答】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴这个正数的值为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【思路引导】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】0 【思路引导】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、零指数幂，先根据题意估算出a与b的值，再代入进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是0． 10．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)1 (3)的算术平方根为4 【思路引导】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴； （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的算术平方根． 培优拔高 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【思路引导】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【规范解答】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 12．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【规范解答】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 13．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义即无限不循环小数判断即可． 【规范解答】解：， 在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中， 无理数有3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，，一共3个， 故选：C 14．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【规范解答】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 16．（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，将式子变形为，由算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出，再化简式子可得出，再根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可得出，，进而代入代数式即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 17．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【规范解答】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)或 (2) (3)或 【思路引导】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质． （1）整理后，利用平方根的定义即可求解； （2）整理后，利用立方根的定义首先求出，然后即可求解； （3）整理后，利用平方根的定义即可求解． 【规范解答】（1）解： ∴ ∴ 解得：或； （2）解： ∴ ∴ 解得： （3）解： ∴ ∴ 解得：或 19．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）（1）计算：； （2）如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】（1）；（2）天 【思路引导】本题考查了算术平方根，立方根，勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）根据算术平方根和立方根定义化简，即可求解． （2）根据勾股定理可得，代入数进行计算即可． 【规范解答】解：（1） （2）解： ， ∴， ． ，，， ， （天）． 答：天才能把隧道凿通． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)15 (3) 【思路引导】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$