专题2.1 认识实数（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.1 认识实数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：生活中存在不是有理数的数 1 知识点梳理02：无理数的概念 2 知识点梳理03：实数的相关概念和性质 2 知识点梳理04：实数与数轴的关系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 4 考点3：实数概念理解 6 考点4：实数的分类 8 考点5：实数的性质 9 考点6：实数与数轴 10 考点7：实数的大小比较 11 考点8：勾股定理与无理数 13 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 23 知识点梳理01：生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点梳理02：无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数（①小数；②位数无限;③不循环，三者缺一不可） 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点梳理03：实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数.（在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数） 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点梳理04：实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 考点1：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【思路引导】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【规范解答】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数就是无限不循环小数即可得到答案． 【规范解答】解：在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，是无限不循环小数， 故选C． 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·山东青岛·期末）小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢? 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的 更接近； (2)请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程． (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 【答案】(1)2 (2)56.5的算术平方根在7和8之间，更接近8 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）比较1.5的平方和2.5的大小即可得解； （2）观察56.5在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和56.5的大小即可得解； （3）由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近，再根据前面思路证明即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 的算术平方根与整数2更接近， 故答案为：2； （2）解：，，且， 的算术平方根在整数7和8之间， ，，且， ， 的算术平方根与整数8更接近； （3）解：猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近； 证明：设、均大于，且， ， 的算术平方根与更接近． 考点3：实数概念理解 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式． （2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明． （3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数，，．（任选之一） 【答案】（1）见解析，答案不唯一；（2）不正确，证明见解析；（3）见解析 【思路引导】（1）根据题意和有理数的运算法则书写即可； （2）根据0乘以任何数都得0，证明说法即可； （3）首先根据题意画出面积符合要求的正方形，根据正方形的面积公式可推出边长，进而利用圆规在数轴上截取出相应长度的点即可得出对应数据． 【规范解答】解：（1）-8和-3，计算如下： 原式 （答案不唯一） （2）不正确；理由如下： 若有理数为0，无理数为，那么，，结果仍为有理数， ∴原说法不正确； （3）如图所示建立数轴； ①选择面积为2，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； ②选择面积为5，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； ③选择面积为8，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； （以上任选其一作答即可，答案不唯一）． 【考点评析】本题考查有理数的运算，实数与数轴等，掌握有理数的运算法则，理解实数与数轴的关系是解题关键． 【变式训练】（20-21八年级下·福建厦门·阶段练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∴，， ， 故选：C． 【考点评析】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值． 考点4：实数的分类 【典例精讲】（23-24八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 【答案】D 【思路引导】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【规范解答】解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意； B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意； D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意； 故选：D 【变式训练】（20-21七年级下·河南三门峡·期中）把下列各数填在相应的大括号里：，0，，，，，，，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）． 分数：{                          …}； 整数：{                          …}； 负有理数：{                      …}； 无理数：{                        …}． 【答案】，；，0，，；，，；，，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）． 【思路引导】根据实数的概念和分类解答． 【规范解答】分数：{，，…}； 整数：{，0，，，…}； 负有理数：{，，，…}； 无理数：{，，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），…}． 【考点评析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键． 考点5：实数的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【规范解答】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【变式训练】（22-23八年级上·甘肃酒泉·期末）的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数是 ． 【答案】 / 【思路引导】直接利用立方根的性质、平方根的定义、倒数的定义分别得出答案． 【规范解答】的立方根为， 的平方根为， 的倒数是， 故答案为：，，． 【考点评析】此题主要考查了立方根的性质、平方根的定义、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 考点6：实数与数轴 【典例精讲】（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【答案】B 【思路引导】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 设A表示的数是a，根据点C是的中点，得，求解即可． 【规范解答】解：设A表示的数是a， ∵点C是的中点， ∴ 解得：， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理和数轴和实数的关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 连接，在中，利用勾股定理求出，再根据C位于数轴的原点处，利用线段和差和数轴和实数的关系就可得出答案． 【规范解答】解：连接， ， 则， 在中 ， ， ， 点D在原点左侧， 点D在数轴上代表的数为， 故答案为：． 考点7：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 【变式训练】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)杆子底端B外移的距离小于顶端下滑距离，理由见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，无理数大小估算，实数大小比较，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据勾股定理求出的长度，进而得出结果； （2）利用无理数大小估算得出，进而得出结果即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 梯子的顶端A沿墙下滑至C点，， ， ， 由勾股定理得：， ， 即杆子底端B外移； （2）解：由（1）可知杆子底端B外移的距离为， 杆子顶端下滑距离为， ， ， ， ， 杆子底端B外移的距离小于顶端下滑距离． 考点8：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为． 【思路引导】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； （2）设秋干的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：由图3的左图可知：，即， 由图3的右图可知：，即， ∴， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． ∴绳索的长为． 41．（22-23八年级上·全国·单元测试）（1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【思路引导】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）过表示2的点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径，画弧，交数轴的正半轴于点，则点即为所求； （2）过点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，点即为所求． 【规范解答】解：（1）如图，点即为所求； 由作图可知：； （2）如图，点即为所求； 由作图可知：； 1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【规范解答】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 3．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【规范解答】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 5．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在实数，，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义，逐项判断即可． 【规范解答】解：在实数，，，，，中，其中无理数有，， 共个． 故选：A． 2．（2025·福建福州·三模）下列各数中为最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，最小的数是， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在实数，，，，3.121121112……中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，初中无理数最常见的三种类型：①开方开不尽的数，如，；②特定结构的无限不循环小数，如；③含有的最简式子． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【规范解答】解：,在实数，，，，3.121121112……中，无理数有：，，3.121121112……， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键． 分别对，运用勾股定理求解，即可求出，再由即可求解． 【规范解答】解：如图， 由图可得，，， ∴，， ∴， ∴在数轴上点表示的数是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）比较大小（填“”或“”）： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 先求出，进而得出，进而得出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）比较大小： ．(填“”“”或“”) 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数的大小比较，根据，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 【答案】(1)3 (2)； 【思路引导】本题主要考查了实数分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键理解相关定义． （1）根据无理数定义进行解答即可； （2）根据实数分类方法进行求解即可． 【规范解答】（1）解：，， （每两个“1”之间依次多一个“0”）中无理数有，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）共3个， ∴主办方需要准备3个“无理数”的席位； （2）解：“整数”席：{}； “分数”席：{}． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)的整数部分为 ，小数部分为 ； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． （1）估算的大小，然后进行解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （3）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分，从而求出，然后求出，最后求出的相反数即可． 【规范解答】（1）∵， ∴的整数部分是3，小数部分是 （2）∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分是； （3）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是：． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是多少？该正方形的边长为多少？ (2)估计正方形边长的值在哪两个整数之间？ (3)设该正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 【答案】(1)面积是10，边长为 (2)3和4之间 (3) 【思路引导】本题考查无理数的估算，算术平方根应用，结合图形及已知条件求得正方形的面积及边长是解题的关键． （1）根据图形，利用大三角形的面积减去4个小三角形的面积即可求得阴影部分正方形的面积，继而求得其边长； （2）利用无理数的估算即可求得答案； （3）结合（2）中所求结果即可求得，的值，然后代入中利用相反数定义即可求得答案． 【规范解答】（1）解：， 即图中阴影部分正方形的面积是10，边长为； （2）解：， ， 即正方形边长的值在3和4之间； （3）解：由（2）可得，， 则， 其相反数为． 10．（23-24七年级下·广西南宁·期末）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． (2)求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③37 (2)56 【思路引导】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【规范解答】（1）① ，， 又， ， 能确定50653的立方根是个两位数． ②∵50653的个位数是3， 又， 能确定50653的立方根的个位数是7， ③如果划去50653后面的三位653得到数50， 而，则，可得， 由此能确定50653的立方根的十位数是3， 因此50653的立方根是37． （2）解： ， 又， ， 能确定175616的立方根是个两位数 ∵175616的个位数是6， 又， 能确定175616的立方根的个位数是6， 如果划去175616后面的三位616得到数175， 而， 则， 可得， 由此能确定175616的立方根的十位数是5， 因此175616的立方根是56． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在实数，0，，，1.41中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数，据此进行分析，即可作答． 【规范解答】解：是分数，不属于无理数； 0是整数，不属于无理数； 是圆周率，是无限不循环小数，属于无理数； 属于无理数； 1.41是有限小数，不属于无理数； 综上，无理数有和，共2个， 故选：C． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【思路引导】根据数轴上的点与实数是一一对应的，解答即可． 本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【规范解答】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【规范解答】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 15．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点），以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【规范解答】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴N点所表示的数为：． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，点，，．在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)在图中画出关于y轴对称的； (2)在x轴上找一点P，使得的值最小，则的最小值为 ； (3)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【思路引导】此题主要考查了轴对称变换和利用轴对称求最短路线问题，求三角形面积， （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）找到关于轴的对称点，连接交轴于点，得到当点，P，三点共线时，的值最小，即的长度根据勾股定理求解即可； （3）利用割补法计算面积即可； 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 由对称得，， ∴， ∴当点，P，三点共线时，的值最小，即的长度， ∴， ∴的最小值为； （3）解：的面积是． 18．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． (1)按照上面的解法，化简：； (2)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次格式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出，， ，，然后根据二次格式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． 【规范解答】（1）解：由可知：， ， ， ； （2）解：由数轴知：，， ，， ； （3）解： ， ， 当时，，， ， （舍去）； 当时，，， ，符合条件； 当时，，， ， （舍去）； x的取值范围为． 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点所表示的数即可； （2）根据题意，求出，再将，的值代入代数式求值即可． 【规范解答】（1）解：由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为不超过的最大整数， ∴， ∴ ． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（）根据阅读材料解答即可求解； （）根据阅读材料解答即可求解； 本题考查了无理数的估算，实数的运算，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． 【规范解答】（1）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ， ，， ， ，， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识实数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：生活中存在不是有理数的数 1 知识点梳理02：无理数的概念 2 知识点梳理03：实数的相关概念和性质 2 知识点梳理04：实数与数轴的关系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 4 考点3：实数概念理解 4 考点4：实数的分类 5 考点5：实数的性质 5 考点6：实数与数轴 5 考点7：实数的大小比较 6 考点8：勾股定理与无理数 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 11 知识点梳理01：生活中存在不是有理数的数 在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为的大正方形，由拼法可知=2. 拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 . 知识点梳理02：无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数（①小数；②位数无限;③不循环，三者缺一不可） 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； (4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π，  等； (5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。 知识点梳理03：实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数.（在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数） 2.实数的分类 (1)按概念分类 (2)按正负性分类 3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 表示 性质 相反数 实数 的相反数是 －. ， b 互为相反数←→ ＋b=0 绝对值 实数 的绝对值表示为 ||. (1) ||= (2) || ≥ 0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ||=|－| 倒数 实数 与 互 为 倒数(其 中 ≠ 0) . (1) ， b 互为倒数←→ b=1 (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数 4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 知识点梳理04：实数与数轴的关系 1.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.“一一对应”包含两层含义： (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 考点1：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        }； 非负实数：{                        }； 无理数：{                        }． 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·山东青岛·期末）小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢? 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的 更接近； (2)请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程． (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 考点3：实数概念理解 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式． （2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明． （3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数，，．（任选之一） 【变式训练】（20-21八年级下·福建厦门·阶段练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点4：实数的分类 【典例精讲】（23-24八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 【变式训练】（20-21七年级下·河南三门峡·期中）把下列各数填在相应的大括号里：，0，，，，，，，，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）． 分数：{                          }； 整数：{                          }； 负有理数：{                      }； 无理数：{                        }． 考点5：实数的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23八年级上·甘肃酒泉·期末）的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数是 ． 考点6：实数与数轴 【典例精讲】（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【变式训练】（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是 ． 考点7：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的杆子斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端A沿墙下滑． (1)求杆子底端B外移的距离（的长）； (2)试判断杆子底端B外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 考点8：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 41．（22-23八年级上·全国·单元测试）（1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 2．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 4．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在实数，，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·福建福州·三模）下列各数中为最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在实数，，，，3.121121112……中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是 ． 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）比较大小（填“”或“”）： ． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）比较大小： ．(填“”“”或“”) 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{      } “分数”席：{      } 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)的整数部分为 ，小数部分为 ； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是多少？该正方形的边长为多少？ (2)估计正方形边长的值在哪两个整数之间？ (3)设该正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 10．（23-24七年级下·广西南宁·期末）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． (2)求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在实数，0，，，1.41中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）与数轴上的点一一对应的是（   ） A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数 13．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 15．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点），以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 16．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，点，，．在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)在图中画出关于y轴对称的； (2)在x轴上找一点P，使得的值最小，则的最小值为 ； (3)求的面积； 18．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． (1)按照上面的解法，化简：； (2)实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； (3)若，求的取值范围． 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$