6.3平面向量的重要应用——解三角形讲义-2026届高三数学一轮专题复习

§6.3 平面向量的重要应用——解三角形 目录 知识点一：正弦定理与余弦定理 2 知识点二：解三角形 2 题型1：利用正、余弦定理解三角形 3 题型2： 判断三角形形状 6 题型3： 解三角形与三角恒等变换的综合问题 7  与三角形面积、周长有关的问题 7  解与三角形中边角有关的量的取值范围 8  三角形中的证明问题 9 题型4：求解平面几何有关问题 10 题型5：三角形应用问题 12  测量距离问题 13  测量高度问题 14  测量角度问题 15 【强化训练】 15 知识点一：正弦定理与余弦定理 1. 正弦定理 定理：（是外接圆的半径） 常见变形： (1) (2) (3) (4) . 2. 余弦定理 定理：在中，有；；. 常见变形：；；. 知识点二：解三角形 1. 解三角形 (1) 利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解出后可根据已知条件对方程的根进行取舍. (2) 在中，已知和时，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况.具体解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2. 三角形的面积公式 (1) （表示边上的高). (2) . (3) (为三角形的内切圆半径 ). (4) （其中). · 常用结论 在中，常有以下结论： (1) . (2) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3) (4) 在锐角三角形中， (5) 在斜三角形中，. (6) . (7) 三角形中的射影定理 在中， 题型1：利用正、余弦定理解三角形 方法提炼 1. 利用正弦定理解三角形的类型：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2. 利用余弦定理解三角形的类型：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边或三边的关系求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 3. 高线问题的处理策略 (1) 等面积法：. (2) . (3) . 4. 中线问题的处理策略：如图①，中，为的中线，已知，及 ，求中线长. (1)倍长中线：如图②，构造全等，再用余弦定理即可； (2)向量法：，平方即可； (3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即. · 若将条件“为的中线”换为“”，则可以考虑方法(2)或方法(3). 5. 角平分线问题的处理策略：在中，平分. (1) 角平分线定理： ； (2) 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理. 【例1.1.】 记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且. (1)若，求的长度； (2)求的取值范围. 【例1.4.】 已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【例1.5.】 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【例1.6.】 如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 . 【例1.7.】 如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .    题型2： 判断三角形形状 方法提炼 判断三角形形状的两种思路 (1) 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2) 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用这个结论． 【例2.1.】 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【例2.2.】 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【例2.3.】 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【例2.4.】 （多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 题型3： 解三角形与三角恒等变换的综合问题 · 与三角形面积、周长有关的问题 方法提炼 三角形面积公式的应用原则 (1) 对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【例3.1.】 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【例3.3.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【例3.4.】 已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，. (1)若边上的高为1，求的面积的最大值； (2)若，求的周长的最大值. 【例3.5.】 在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例3.6.】 锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【例3.7.】 如图所示，在中，，AD平分，且，，则= 时，最短.    · 解与三角形中边角有关的量的取值范围 方法提炼 利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解即可.需注意：(1)灵活应用三角形内角和定理，大边对大角.(2)已知条件中的限制条件，如：已知为锐角三角形，则要求三个角均为均为锐角之外，还要求. 【例3.8.】 已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【例3.9.】 锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，则边c的取值范围是 . 【例3.10.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【例3.11.】 的内角的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【例3.12.】 在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【例3.13.】 在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【例3.14.】 如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. · 三角形中的证明问题 方法提炼 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程. 【例3.15.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．证明：. 【例3.16.】 记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【例3.17.】 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 题型4：求解平面几何有关问题 方法提炼 1. 平面几何中解三角形问题的求解思路： (1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理解决． (2) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 2. 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质. 【例4.1.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． 【例4.2.】 如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 . 【例4.3.】 如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【例4.4.】 在平面四边形中，，，，.    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【例4.5.】 如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【例4.6.】 如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 题型5：三角形应用问题 方法提炼 1. 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东： (2)南偏西： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即 2. 解三角形的应用问题的要点 (1) 从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素； (2) 利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解． · 测量距离问题 【例5.1.】 如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【例5.2.】 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【例5.3.】 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 · 测量高度问题 【例5.5.】 某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（    ） A．m B．m C．m D．m 【例5.6.】 雷峰塔位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（   ） A．68m B．70m C．72m D．74m 【例5.7.】 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 · 测量角度问题 【例5.8.】 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 在中，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3. 在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 4. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 5. （多选）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 6. （多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 7. 在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 8. 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 9. 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 10. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 11. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 12. 的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 13. 在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §6.3 平面向量的重要应用——解三角形 目录 知识点一：正弦定理与余弦定理 2 知识点二：解三角形 2 题型1：利用正、余弦定理解三角形 3 题型2： 判断三角形形状 11 题型3： 解三角形与三角恒等变换的综合问题 13  与三角形面积、周长有关的问题 13  解与三角形中边角有关的量的取值范围 20  三角形中的证明问题 28 题型4：求解平面几何有关问题 30 题型5：三角形应用问题 37  测量距离问题 38  测量高度问题 41  测量角度问题 44 【强化训练】 44 知识点一：正弦定理与余弦定理 1. 正弦定理 定理：（是外接圆的半径） 常见变形： (1) (2) (3) (4) . 2. 余弦定理 定理：在中，有；；. 常见变形：；；. 知识点二：解三角形 1. 解三角形 (1) 利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解出后可根据已知条件对方程的根进行取舍. (2) 在中，已知和时，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况.具体解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2. 三角形的面积公式 (1) （表示边上的高). (2) . (3) (为三角形的内切圆半径 ). (4) （其中). · 常用结论 在中，常有以下结论： (1) . (2) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3) (4) 在锐角三角形中， (5) 在斜三角形中，. (6) . (7) 三角形中的射影定理 在中， 题型1：利用正、余弦定理解三角形 方法提炼 1. 利用正弦定理解三角形的类型：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2. 利用余弦定理解三角形的类型：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边或三边的关系求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 3. 高线问题的处理策略 (1) 等面积法：. (2) . (3) . 4. 中线问题的处理策略：如图①，中，为的中线，已知，及 ，求中线长. (1)倍长中线：如图②，构造全等，再用余弦定理即可； (2)向量法：，平方即可； (3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即. · 若将条件“为的中线”换为“”，则可以考虑方法(2)或方法(3). 5. 角平分线问题的处理策略：在中，平分. (1) 角平分线定理： ； (2) 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理. 【例1.1.】 记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 【例1.2.】 在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 【例1.3.】 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且. (1)若，求的长度； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为平分，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，得，所以； （2）因为，设， 所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以 【例1.4.】 已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 【例1.5.】 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 【例1.6.】 如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 . 【答案】/0.75 【详解】设在三角形与三角形中， 解得： 作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故答案为：. 【例1.7.】 如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .    【答案】 【详解】在中，可知， 因为，且为的平分线，可知， 则， 在中，可得， 在中，可得， 所以； 因为， ， 在中，由正弦定理可得， 则，解得， 由正弦定理可得， 且为的平分线，则，可得， 在中，由正弦定理可得， 在中，可知，则， 在中，可知， 在中，可知， 所以. 故答案为：；. 题型2： 判断三角形形状 方法提炼 判断三角形形状的两种思路 (1) 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2) 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用这个结论． 【例2.1.】 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【详解】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A 【例2.2.】 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 【例2.3.】 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 【例2.4.】 （多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【详解】根据三角形性质，由可知，根据正弦定理可知，可得，所以A正确； 已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，B错误； 根据三角形性质，，当时，可知， 所以为锐角三角形，C正确； 由得， 边角互化得， 由得， 化简得，即，化简得， 解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 故选：AC. 题型3： 解三角形与三角恒等变换的综合问题 · 与三角形面积、周长有关的问题 方法提炼 三角形面积公式的应用原则 (1) 对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【例3.1.】 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 【例3.3.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【例3.4.】 已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，. (1)若边上的高为1，求的面积的最大值； (2)若，求的周长的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为若边上的高为1，所以， 正弦定理得，可得. 所以的面积. 又，所以当时，的面积有最大值，最大值为1. （2）由正弦定理知，可得，则或. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 因为，所以的周长的最大值为. 【例3.5.】 在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解法1：设，则 在中，由正弦定理，故； 在中，由正弦定理，故； ，当，即时，面积最小值． 解法2：由角平分线性质可知，，所以有 ， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立． 故而． 故选：D. 【例3.6.】 锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 【例3.7.】 如图所示，在中，，AD平分，且，，则= 时，最短.    【答案】. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以，因为，所以， 所以， 方法一： 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为，所以，所以， 由（2）知，所以，即当时，最短. 方法二： ， 当且仅当，即时，故此时，即. · 解与三角形中边角有关的量的取值范围 方法提炼 利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解即可.需注意：(1)灵活应用三角形内角和定理，大边对大角.(2)已知条件中的限制条件，如：已知为锐角三角形，则要求三个角均为均为锐角之外，还要求. 【例3.8.】 已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 【例3.9.】 锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，则边c的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，则 由得，， 又 ， 所以，化简得， 锐角中，可得，即， 因此边的取值范围是. 故答案为： 【例3.10.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【例3.11.】 的内角的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 由正弦定理得， 又因为， 则有， 因，，则， 且，故． 由余弦定理，，代入得，， 因，则有，即得， 故的面积． （2）由正弦定理，可得，且， 代入化简得：． 因为钝角，故由，可得， 则，，即， 故的取值范围是 【例3.12.】 在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 若，则矛盾，故，所以， 而，所以． （2）因角的平分线为，则， 因，且，则， ∴，∴， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 【例3.13.】 在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得， 代入上式，可得， 因为，可得，所以， 又因为，所以． （2）①若，则即是高线又是角平分线，且， 所以等边三角形， 如图：延长交于. 因为为的垂心，所以也是的外心和重心. 因为，可得，，所以，所以. 所以的面积为. ②如图：延长交于，连接并延长交于. 因为为垂心，所以，. 又因为，所以，. 因为，且，则，， 又因为，， 则， 因为，可得， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以取得最大值. 所以的取值范围为. 【例3.14.】 如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. · 三角形中的证明问题 方法提炼 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程. 【例3.15.】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．证明：. 【详解】证明：由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 【例3.16.】 记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 【例3.17.】 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． （2）因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 题型4：求解平面几何有关问题 方法提炼 1. 平面几何中解三角形问题的求解思路： (1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理解决． (2) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 2. 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质. 【例4.1.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）， 在△ABC中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ，即， ，，，即， 又，，即,. （2）设，令，， 在中，由正弦定理得，，，. 在中，由正弦定理得，，，，， ，解得. 【例4.2.】 如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 . 【答案】 【详解】设， 在中，由余弦定理，得. 因为，所以. 由正弦定理，得，所以. 因为，所以. 在中，由余弦定理，得 ， 其中，，所以当时，， 所以. 综上，当的长最大时，的值为. 故答案为：. 【例4.3.】 如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 【例4.4.】 在平面四边形中，，，，.    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，则 ， 由正弦定理得，， 所以， 因为 ， 所以； （2）因为，，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 在中，由正弦定理得， 则 ， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即. 【例4.5.】 如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 【例4.6.】 如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以. 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 题型5：三角形应用问题 方法提炼 1. 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东： (2)南偏西： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即 2. 解三角形的应用问题的要点 (1) 从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素； (2) 利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解． · 测量距离问题 【例5.1.】 如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D 【详解】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D 【例5.2.】 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 【例5.3.】 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 【例5.4.】 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C · 测量高度问题 【例5.5.】 某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，则， 得到，则该建筑物的高度. 故选：B. 【例5.6.】 雷峰塔位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（   ） A．68m B．70m C．72m D．74m 【答案】C 【详解】令直线的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 【例5.7.】 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. · 测量角度问题 【例5.8.】 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理可得 在中，易知， 则 整理可得 故选：D 【强化训练】 1. 在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 2. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 3. 在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 而， 所以. 故选：D 4. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 5. （多选）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 【答案】AB 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 6. （多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 7. 在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 8. 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 【答案】373 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 9. 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 10. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 11. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 12. 的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 13. 在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$